התפלגות חצי המעגל של ויגנר

התפלגות חצי המעגל של ויגנר
	פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	R>0 הרדיוס (ממשי)
תומך	x∈[−R,R]
פונקציית צפיפות הסתברות; (pdf)	2πR2R2−x2
פונקציית ההסתברות המצטברת; (cdf)	12+xR2−x2πR2+arcsin⁡(xR)π; עבור −R≤x≤R
תוחלת	0
חציון	0
ערך שכיח	0
שונות	R24
אנטרופיה	ln⁡(πR)−12
פונקציה יוצרת מומנטים; (mgf)	2I1(Rt)Rt
פונקציה אופיינית	2J1(Rt)Rt
צידוד	0
גבנוניות	−1

התפלגות חצי המעגל של ויגנר, הקרויה על שם הפיזיקאי זוכה פרס נובל יוג'ין ויגנר, היא התפלגות על הקטע $[- R, R]$ כך שפונקציית הצפיפות שלה מתארת חצי מעגל ״מכווץ״ (או ״מנופח״), כלומר חצי אליפסה הממורכזת בראשית הצירים $(0, 0)$ :

f (x) = {\begin{cases} \frac{2}{π R^{2}} \sqrt{R^{2} - x^{2}} & if | x | \leq R \\ 0 & if | x | > R \end{cases}

הפרמטר $R$ לרוב נקרא הרדיוס של ההתפלגות.

פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות היא:

F (x) = {\begin{cases} 0 & if x < - R \\ \frac{1}{2} + \frac{x \sqrt{R^{2} - x^{2}}}{π R^{2}} + \frac{\arcsin (\frac{x}{R})}{π} & if | x | \leq R, \\ 1 & if x > R . \end{cases}

התפלגות זו מתארת את אחת התכונות הבסיסיות של מטריצות אקראיות לפיה לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית (או הרמיטית במקרה המרוכב) אקראית (תחת תנאים מסוימים) יש התפלגות של חצי המעגל של ויגנר בגבול, כאשר הממד של המטריצה האקראית שואף לאינסוף.

תכונות

פונקציית הצפיפות של התפלגות חצי המעגל של ויגנר היא סימטרית ומקבלת ערך מקסימלי ב-0. לפיכך, התוחלת, החציון והערך השכיח של ההתפלגות שווים לאפס.

מומנטים

מטעמי סימטריה, כל המומנטים מסדר אי-זוגי שווים לאפס. המומנטים מסדר זוגי הם:

μ_{2 k} = E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{k! (k + 1)!} \frac{R^{2 k}}{2^{2 k}} = (\frac{R}{2})^{2 k} C_{k}

כאשר $C_{k}$ הם מספרי קטלן. בפרט במקרה שבו $R = 2$ המומנטים הזוגיים הם בדיוק מספרי קטלן^[1]:

$\begin{aligned} μ_{2 k} & = \frac{1}{2 π} \int_{- 2}^{2} x^{2 k} \sqrt{4 - x^{2}} d x \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{2} x^{2 k} \sqrt{4 - x^{2}} d x \\ (sub: x = 2 \sqrt{y}) & = \frac{2^{2 k + 1}}{π} \int_{0}^{1} y^{k - 1 / 2} (1 - y)^{1 / 2} d y \\ = \frac{2^{2 k + 1}}{π} B (k + 1 / 2, 3 / 2) \\ = \frac{2^{2 k + 1}}{π} \frac{Γ (k + 1 / 2) \cdot Γ (3 / 2)}{Γ (k + 2)} \\ = \frac{1}{k + 1} (\binom{2 k}{k}) \\ = C_{k} \end{aligned}$

במעברים נעשה שימוש בתכונות של פונקציית בטא ופונקציית גמא. למומנטים הללו חשיבות רבה כאשר מוכיחים התכנסות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים להתפלגות חצי המעגל של ויגנר באמצעות שיטת המומנטים^[2].

פונקציה יוצרת מומנטים

הפונקציה יוצרת מומנטים עבור ההתפלגות נתונה על ידי:

g (t) = E [e^{t X}] = 2 \frac{I_{1} (R t)}{R t}

,

כאשר $I_{1}$ היא פונקציית בסל מותאמת מהסוג הראשון.

פונקציה אופיינית

הפונקציה האופיינית של ההתפלגות נתונה על ידי:

ϕ (t) = E [e^{i t X}] = 2 \frac{J_{1} (R t)}{R t}

כאשר $J_{1}$ היא פונקציית בסל מהסוג הראשון.

טרנספורמציית סטילטיס

טרנספורמציית סטילטיס של ההתפלגות נתונה על ידי^[3]:

s (z) = - \frac{2}{R^{2}} (z - \sqrt{z^{2} - R^{2}})

עבור $z$ מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי והקונבנציה שבשורש ריבועי מרוכב נלקח הערך עם החלק המדומה החיובי. בעזרת הטרנספורמציה, בנוסף לשיטת המומנטים, נעשה שימוש על מנת להוכיח התכנסות סדרת התפלגויות להתפלגות חצי המעגל של ויגנר^[2].

חוק חצי המעגל של ויגנר במטריצות אקראיות

אחת הבעיות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות, שזכתה לתשומת הלב הרבה ביותר, היא הבנת הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות^[4]. אין זו באמת בעיה יחידה, אלא מחלקה רחבה של בעיות: ישנן דרכים רבות לבנות מטריצה אקראית (מה שמוביל להתפלגויות ערכים עצמיים שונות באופן דרסטי), וישנם הרבה היבטים שונים להבנת הערכים העצמיים בכל מודל מטריצה אקראית נתון.

רוב היישומים המוקדמים של תורת המטריצות האקראיות עסקו בהתנהגות הגבולית של הספקטרום כאשר גודל המטריצה שואף לאינסוף, בין אם לפיתוח הבנה סטטיסטית של מטריצות "גדולות מאוד", או שימוש במטריצות גדולות כדי לקרב אופרטורים ממימד אינסופי. מאז סוף שנות ה-50 של המאה ה-20, המחקר על ניתוח ספקטרלי גבולי של מטריצות אקראיות בממדים גבוהים מושך עניין רב בקרב מתמטיקאים, חוקרי הסתברות וסטטיסטיקאים.

כלי חשוב להבנת הערכים העצמיים של מטריצה אקראית הוא ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD): עבור מטריצה אקראית $M$ בעלת ערכים עצמיים $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ה-ESD של $M$ , המסומנת $μ_{M}$ , מוגדרת כך:

μ_{M} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} δ_{λ_{j}}

עבור מטריצה אקראית הרמיטית (או סימטרית, במקרה הממשי) הערכים העצמיים שלה כולם ממשיים (על סמך משפט הפירוק הספקטרלי) ולכן ה-ESD של המטריצה תהיה התפלגות חד-ממדית ממשית.

במאמר פורץ דרך^[5], הוכיח ויגנר כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות $M_{n}$ , ממימד $n$ , תחת האילוצים הבאים (עבור סימון איברי המטריצות בתור $v_{i j}$ ):

איברי המטריצה על האלכסון הראשי ומעליו ( $v_{i j}$ עבור $i \leq j$ ) מתפלגים באופן בלתי-תלוי.
$v_{i j}$ מתפלגים באופן סימטרי.
ל- $v_{i j}$ קיימים כל המומנטים והם חסומים (לא תלויים ב- $i, j$ ). בפרט, מסימטריות, כל המומנטים האי-זוגיים מתאפסים.
$v_{i j}$ בעלי מומנט שני השווה לקבוע: $m^{2}$ .

ה-ESD של סדרת המטריצות המנורמלות $W_{n} : = \frac{1}{\sqrt{n}} M_{n}$ מתכנס בתוחלת להתפלגות חצי המעגל.

תוצאה זו, הקרויה, חוק חצי המעגל של ויגנר, מהווה את אחת התוצאות האוניברסליות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות^[6]. עבודתו המקורית של ויגנר הוכללה והורחבה רבות לאורך השנים ולהלן ״שיפור״^[7] ל-התכנסות כמעט תמיד (קרוי לפעמים חוק חצי המעגל החזק):

נניח כי ${x_{i j}}_{1 \leq i \leq j}$ אוסף אינסופי של משתנים מקריים ממשיים כך ש- ${x_{i j}}_{1 \leq i < j}$ הם בלתי תלויים ושווי התפלגות ( $i i d$ ) עם שונות 1 ומומנט רביעי סופי וכן ${x_{i i}}_{1 \leq i}$ הם $i i d$ . יהיו $X_{n}$ המטריצות האקראיות הסימטריות המורכבות מהאיברים ${x_{i j}}_{1 \leq i, j \leq n}$ וכן $μ_{n}$ ה-ESD של המטריצות המנורמלות: $\frac{1}{\sqrt{n}} X_{n}$ . אז, כאשר $n$ שואף לאינסוף, $μ_{n}$ מתכנסת כמעט תמיד להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. למעשה, עבור ערך עצמי אקראי $λ$ במטריצה $X_{n}$ מסדר $n$ :

\lim_{n \to \infty} P (λ < t \sqrt{n}) = \int_{- 2}^{t} \frac{1}{2 π} \sqrt{4 - x^{2}} d x

.

קשר להסתברות חופשית

הסתברות חופשית (אנ') היא ענף מתמטי תחת תורת ההסתברות, המהווה הרחבה של תורת ההסתברות, שעוסק במשתנים מקריים ״לא קומוטטיביים״. בהסתברות חופשית, להתפלגות חצי המעגל של ויגנר תפקיד המקביל לזה של ההתפלגות הנורמלית בהסתברות הקלאסית. בתורת ההסתברות החופשית, תפקידם של הקומולנטים (אנ') נתפס על ידי "קומולנטים חופשיים" ובדיוק כפי שהקומולנטים מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא נורמלית, כך גם ה״קומולנטים החופשיים״ מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא התפלגות חצי המעגל של ויגנר.

ראו גם

קישורים חיצוניים

התפלגות חצי המעגל של ויגנר, באתר MathWorld (באנגלית)

Bai & Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices, 2010
Wolfram Language & System Documentation Center WignerSemicircleDistribution
Elizabeth Meckes, The Eigenvalues of Random Matrices
Terence Tao, Topics in random matrix theory

הערות שוליים

↑ ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 2.1.1 עמוד 16 ״Moments of the Semicircular Law״
^ ^2.0 ^2.1 ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 1.3 עמוד 9 ״Methodologies״
↑ ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 2.3.1 עמוד 31 ״Stieltjes Transform of the Semicircular Law״
↑ מאמר של Elizabeth Meckes - ״The Eigenvalues of Random Matrices״ https://arxiv.org/abs/2101.02928 עמוד 1 - ״Introduction״
↑ מאמר של יוג'ין ויגנר מ-1958 על התפלגות הערכים העצמיים במטריצות אקראיות מסוימות https://www.jstor.org/stable/1970008 ״On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices״
↑ ספרו של טרנס טאו ״Topics in random matrix theory״ - https://terrytao.wordpress.com/wp-content/uploads/2011/02/matrix-book.pdf פרק 2.4 ״The semicircular law״ עמוד 159
↑ מאמר של L. Arnold מ-1971 עם הכללה של חוק חצי המעגל של ויגנר https://link.springer.com/article/10.1007/BF00534107 ״On Wigner's semicircle law for the eigenvalues of random matrices״

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות חצי המעגל של ויגנר39945638Q2246294

[1] ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 2.1.1 עמוד 16 ״Moments of the Semicircular Law״

[1.3&9-2] 2.0 ^2.1 ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 1.3 עמוד 9 ״Methodologies״

[3] ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 2.3.1 עמוד 31 ״Stieltjes Transform of the Semicircular Law״

[4] מאמר של Elizabeth Meckes - ״The Eigenvalues of Random Matrices״ https://arxiv.org/abs/2101.02928 עמוד 1 - ״Introduction״

[5] מאמר של יוג'ין ויגנר מ-1958 על התפלגות הערכים העצמיים במטריצות אקראיות מסוימות https://www.jstor.org/stable/1970008 ״On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices״

[6] ספרו של טרנס טאו ״Topics in random matrix theory״ - https://terrytao.wordpress.com/wp-content/uploads/2011/02/matrix-book.pdf פרק 2.4 ״The semicircular law״ עמוד 159

[7] מאמר של L. Arnold מ-1971 עם הכללה של חוק חצי המעגל של ויגנר https://link.springer.com/article/10.1007/BF00534107 ״On Wigner's semicircle law for the eigenvalues of random matrices״

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

פונקציית ההסתברות המצטברת
פונקציית צפיפות ההסתברות


מאפיינים
פרמטרים	$R > 0$ הרדיוס (ממשי)
תומך	$x \in [- R, R]$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{2}{π R^{2}} \sqrt{R^{2} - x^{2}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac{1}{2} + \frac{x \sqrt{R^{2} - x^{2}}}{π R^{2}} + \frac{\arcsin (\frac{x}{R})}{π}$ עבור $- R \leq x \leq R$
תוחלת	$0$
חציון	$0$
ערך שכיח	$0$
שונות	$\frac{R^{2}}{4}$
אנטרופיה	$\ln (π R) - \frac{1}{2}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$2 \frac{I_{1} (R t)}{R t}$
פונקציה אופיינית	$2 \frac{J_{1} (R t)}{R t}$
צידוד	$0$
גבנוניות	$- 1$

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • מקסוול-בולצמן • בוז-איינשטיין • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת

התפלגות חצי המעגל של ויגנר

תוכן עניינים