התפלגות בולצמן

התפלגות בולצמן היא מושג מרכזי במכניקה סטטיסטית.

ההתפלגות מתארת את ההסתברות של מערכת הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי עם מאגר חום בטמפרטורה T, להיות במצב מסוים המתואר על ידי האינדקס i, כאשר אנרגיית המערכת היא E_i.

הסתברות זו נתונה על ידי:

$p_i=\frac{\exp (-E_i/k_{B}T)}{Z}$

כאשר:

• $Z=\sum _i\exp \left(\frac{-E_i}{k_{B}T}\right)$ היא פונקציית החלוקה
• ו-k_B הוא קבוע בולצמן

במכניקה סטטיסטית מתייחסים לאוסף המערכות המוגדרות על ידי אותה הבעיה הפיזיקלית, ואותם גדלים מקרוסקופיים (טמפרטורה, לחץ, פוטנציאל כימי, וכדומה), אך נבדלים על ידי המצב המיקרוסקופי של כל החלקיקים. אוסף זה נקרא צבר (ensemble), ועל ידי התייחסות למשקלים סטטיסטיים בהתאם להתפלגות ההסתברות, מתאר צבר זה נכונה מערכות בשיווי משקל תרמודינמי. התפלגות בולצמן מתאימה לצבר קנוני, המוגדר על ידי מספר קבוע של חלקיקים בכל המערכות, ועל ידי הטמפרטורה של הצבר בכללותו.

בגבול שבו מתקרבת הטמפרטורה לאפס המוחלט, מתבדרת פונקציית החלוקה (או מתקרבת ל-0 אם כל האנרגיות חיוביות), וההסתברויות עבור מערכת ללא ניוון נוטות כולן ל-1 ול-0, עבור מצב היסוד ומצבים מעוררים בהתאמה. במקרה שיש יותר ממצב אחד עם אנרגיה מינימלית, נאמר שמצב היסוד מנוון, והאנטרופיה תהיה שונה מ-0 גם בטמפרטורה 0 קלווין.

בכל טמפרטורה סופית יהיה סיכוי לאכלוס של מצבים בעלי אנרגיות גבוהות יותר. ככל שהאנרגיה של מצב גבוהה יותר, ההסתברות להימצא בו נמוכה יותר. סיכוי סביר לאכלוס יהיה במצבים שהפרש האנרגיה שלהם ממצב היסוד הוא בסדר גודל של k_BT.

עבור מערכות קלאסיות, התפלגות בולצמן נותנת את התפלגות מקסוול-בולצמן למהירויות. בנוסף, ההתפלגות חסרת זיכרון בהיותה התפלגות מעריכית.

לפי התורה הארגודית כל מערכת דינמית תגיע לבסוף לשיווי משקל, שבו הסיכויים לאכלוס מצב מתוארים על ידי התפלגות בולצמן. למרות זאת, העולם שסביבנו רווי במערכות שאינן בשווי משקל. אנרגיית השמש מחזיקה את אטמוספירת כדור הארץ מחוץ לשיווי משקל ובכך מאפשרת את תופעות מזג האוויר, הנובעות משאיפת המערכת לחזור לשיווי משקל תרמודינמי. עקרון הפעולה של הלייזר מבוסס על דחיפת מערכת קוונטית אל מחוץ לשיווי משקל ליצירת היפוך אוכלוסייה.

גזירת התפלגות בולצמן מעקרונות ראשוניים

כל מערכת פיזיקלית בעלת מספר גדול מאוד של חלקיקים תשאף למצב מקרוסקופי כזה שמספר המיקרו-מצבים התואמים לו, בכפוף לאילוצים שנובעים משיווי המשקל התרמי, הוא מקסימלי. טענה זאת היא תוצאה ישירה מן ההנחה שמסלולה של מערכת במרחב הפאזה (מסלול ביחס לזמן) "מבקר" בכל אחד מהמצבים המיקרוסקופיים בהסתברות שווה, כך שהמצב המקרוסקופי המסתבר ביותר הוא זה שמתייחס למספר מירבי של מיקרו-מצבים. למעשה, גם כאשר המערכת אינה מורכבת ממספר גדול של חלקיקים, הנחת הארגודיות מראה שניתן להחליף חישוב מאפיינים סטטיסטיים של צבר כגון ממוצע וסטיית התקן של התפלגות האנרגיה, בדגימה של מצבו של חלקיק יחיד לאורך זמן רב, כך שהתפלגות בולצמן עדיין תקפה במובן שהיא מנבאת כמה זמן חלקיק יחיד יימצא במצב מסוים.

כדוגמה, נניח כי למערכת מסוימת המצויה בטמפרטורה $T$ יש שלוש רמות אנרגיה, ונוסחת התפלגות בולצמן מנבאת ש-1/2 מן החלקיקים יימצאו ברמת היסוד, 1/3 ברמה השנייה ו-1/6 ברמה השלישית. עבור מערכת בעלת מספר גדול מאוד של חלקיקים סביר להניח שהפער בין התפלגות האנרגיות לזו שנחזתה היא מזערית, אולם עבור מערכות קטנות מן ההכרח שיימצא פער גדול יותר; במקרה זה, יש לפרש את התחזית של נוסחת בולצמן כאילו חלקיק נתון יימצא 1/2 מהזמן ברמת היסוד, 1/3 מהזמן ברמה השנייה ו-1/6 מהזמן ברמה השלישית, זאת כאשר דגימת מצב החלקיק מתבצעת לאורך פרק זמן ארוך מספיק.

מן השיקולים שהוסברו בפסקה הראשונה עולה שמצבה של מערכת בעלת מספר חלקיקים גדול ומצויה בשיווי משקל תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה $T$ יתייצב במצב של אנטרופיה מקסימלית (זהו החוק השני של התרמודינמיקה). לפיכך, ניתן לגזור את התפלגות בולצמן עבור מערכת של $N$ חלקיקים ורמות אנרגיה אפשריות $E_i$ מן העקרון של מיקסום האנטרופיה בתוספת האילוצים שמספר החלקיקים קבוע ושהאנרגיה הכוללת של המערכת קבועה (שיווי משקל תרמי).

נסמן ב-$n_i$ את מספר החלקיקים להם אנרגיה $E_i$. לפי נוסחת האנטרופיה של בולצמן, האנטרופיה של המערכת עבור מצב מקרוסקופי מסוים נתונה על ידי מכפלת קבוע בולצמן בלוגריתם של פונקציית הריבוי $W$. פונקציית הריבוי נתונה נתונה על ידי המקדם המולטינומי $(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n_0,n_1,n_2\dots })$, ולכן האנטרופיה היא:

$S(n_0,n_1,n_2,\dots )=k_B\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}(\frac{N!}{n_0!\cdot n_1!\cdot n_2!\cdots })$

ניעזר בקירוב סטרלינג עבור $N$ גדול מאוד, $\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}N!=N\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}N-N$ ונקבל:

$S=k_B[(N\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}N-\sum _i{n}_i\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}{n}_i)-(N-\sum _i{n}_i)]$

האיבר $N-\sum _i{n}_i$ מתאפס בכפוף לאילוץ שמספר החלקיקים קבוע. לפיכך נקבל:

$S=k_B[N\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}N-\sum _i{n}_i\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}{n}_i]$.

נחפש את נקודת הקיצון של האנטרופיה $S(n_0,n_1,n_2,\dots )$, ולשם כך נשווה את הדיפרנציאל שלה לאפס:

$0=dS=-k_B\sum _i(1+\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}{n}_i)d{n}_i$

מכיוון שמספר החלקיקים קבוע מתקיים $\sum _{i}d{n}_i=0$ ולכן נקבל $dS=-\sum _i\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}(n_i)d{n}_i$. כדי להתחשב באילוצים נפעיל את שיטת כופלי לגראנז' - האילוצים הם $dN=\sum _{i}d{n}_i=0$ ו-$dE=\sum _i{E}_{i}d{n}_i=0$ ולכן נוסיף אותם בעזרת משתנים מלאכותיים $\alpha ,\beta$:

$0=-\sum _i(\alpha +\beta E_i+\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}{n}_i)d{n}_i$

כדי שהשוויון יתקיים ביחס לווריאציה (שינוי) בכל אחד מהמשתנים $n_i$ המקדם של $d{n}_i$ צריך להתאפס לכל $i$, ולפיכך:

$0=\alpha +\beta E_i+\mathbb{𝕝}\mathbb{𝕟}{n}_i$

כלומר $n_i=e^{-\alpha }{e}^{-\beta E_i}$. את הקבוע $e^{-\alpha }$ נמצא מהנחת הנרמול, $N=\sum _i{n}_i$ וכך נקבל $e^{-\alpha }=\frac{N}{\sum e^{-\beta E_i}}$. הקבוע $\beta$ מוכרח להיות בעל יחידות הופכיות לאנרגיה, וכן מצב המערכת חייבת להתכנס לרמת היסוד (כל החלקיקים יהיו ברמת היסוד) כאשר הטמפרטורה שואפת לאפס המוחלט, $T\to 0$, מה שמוביל למסקנה ש-$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$. קיבלנו את התפלגות בולצמן:

$\frac{n_i}{N}=\frac{e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}{\sum e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות בולצמן בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות בולצמן41425071Q834200