פונקציית בסל

במתמטיקה, פונקציית בֶּסֶּל היא פתרון $y(x)$ למשוואה דיפרנציאלית הנקראת משוואת בסל:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-p^2)y=0$

כאשר p הוא קבוע (ממשי או מרוכב) הנקרא הסדר של פונקציית בסל. ברוב המקרים במדע הוא מספר שלם או חצי-שלם.

משוואת בסל מופיעה בתחומים רבים בפיזיקה בהן תופעה בעלת סימטריה גלילית או כדורית מתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית הכוללת את אופרטור הלפלסיאן. בין אלה ניתן למנות את משוואת לפלס באלקטרומגנטיות, משוואת החום המתארת זרימת חום, משוואת שרדינגר במכניקת הקוונטים ובתיאור תבנית עקיפה המתקבלת דרך מיפתח עגול.

פונקציית בסל הוגדרה לראשונה על ידי המתמטיקאי דניאל ברנולי והוכללה על ידי פרידריך בסל.

היסטוריה

גלים ובעיות בתורת האלסטיות

פונקציית בסל הופיעה לראשונה בעבודתו של דניאל ברנולי ב-1732, בעודו חוקר את הבעיה של מיתר מתנודד, בעיה שנחקרה קודם על ידי אביו יוהאן ברנולי. דניאל התייחס לשרשרת גמישה בעלת צפיפות אורכית אחידה התלויה מנקודה קבועה בקצה העליון שלה וחופשית בקצה התחתון שלה (בעיית השרשרת התלויה של ברנולי). הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית המתארת את אופני התנודה של השרשרת הוביל להצגה של הפונקציה הנקראת כיום פונקציית בסל מסדר אפס, $J_0(x)$. ברנולי פיתח גם שיטה נומרית לחישוב שורשי הפונקציה. לאחר מכן, לאונרד אוילר מצא ב-1736 קשר בין פונקציות אחרות (המכונות כיום פולינומי לאגר) לבין הפתרון של ברנולי. אוילר התייחס גם לשרשרת בעלת צפיפות אורכית לא אחידה, מה שהוביל להצגה של הפונקציות הנקראות כיום פונקציות בסל מותאמות $I_n(x)$.

באמצע המאה ה-18, ז'אן לה רון ד'אלמבר מצא נוסחה המאפשרת לפתור את משוואת הגלים. בשנת 1771, נתגלעה מחלוקת בין ברנולי, אוילר, ד'אלמבר וז'וזף לואי לגראנז' לגבי טבעם של הפתרונות המתארים מיתרים מתנודדים.

אוילר חקר ב-1778 את הבעיה של קריסה, והציג את המושג החשוב של עומס קריטי. כדי לפתור את הבעיה הוא הציג את הטור האינסופי המייצג את $J_{\pm 1/3}(x)$. אוילר גם פתר את הבעיה של תיאור התנודות של תופים דו-ממדיים עגולים ב-1780, בעזרת הפרדת משתנים בקואורדינטות גליליות. כדי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית שהתקבלה הוא הציג את הטורים האינסופיים המקושרים ל-$J_n(x)$, כאשר n טבעי.

בשלהי המאה ה-18, פייר-סימון לפלס ומארק אנטואן פרסבל מצאו דרכים שקולות לייצג את פונקציות בסל. פרסבל למשל מצא הצגה אינטגרלית של $J_0(x)$ באמצעות פונקציית הקוסינוס.

בתחילת המאה ה-19, ז'וזף פורייה השתמש ב-$J_0(x)$ כדי לפתור את משוואת החום בבעיה בעלת סימטריה גלילית. פורייה זכה ב-1811 בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים על עבודתו זו. עם זאת, רוב הפרטים של עבודתו זו, כולל השימוש בטורי פורייה, לא פורסמו עד 1822.סימאון דני פואסון, שהיה נתון באותו זמן בתחרות עם פורייה, הרחיב ב-1823 את עבודתו של פורייה, והציג תכונות חדשות של פונקציות בסל, כמו גם את פונקציות בסל מסדר חצי-שלם (שכעת נקראות פונקציות בסל כדוריות).

בעיות אסטרונומיות

ב-1770, לגראנז' הציג את הפיתוח לטור אינסופי של פונקציות בסל במטרה לפתור את משוואת קפלר, משוואה טרנסצנדנטית ידועה באסטרונומיה. פרידריך וילהלם בסל קרא את פתרונו של לגראנז' אולם מצא אותו קשה להבנה. ב-1813 במכתב לקרל פרידריך גאוס, בסל פישט את החישוב של לגראנז' באמצעות פונקציות טריגונומטריות. בסל פרסם את עבודתו ב-1819, ובאופן בלתי תלוי הציג את שיטת טורי פורייה, לה הוא לא היה מודע כי היא פורסמה כמה שנים מאוחר יותר. ב-1824, בסל פרסם חקירה שיטתית ומקיפה של הפונקציות הללו, מה שבסופו של דבר הקנה לפונקציות הללו את שמו. בספרות הישנה יותר פונקציות אלו נקראות לפעמים פונקציות גליליות או אף פונקציות בסל-פורייה.

פונקציית בסל מהסוג הראשון

פונקציות בסל מן הסוג הראשון

בפתרון משוואת בסל כטור חזקות (לפי שיטת (טור) פרובניוס) מתקבלת פונקציית בסל מהסוג הראשון

$J_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(n+p+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2n+p}$

כאשר p, הקבוע במשוואת בסל, הוא דרגת פונקציית בסל ו-$\mathrm{\Gamma }(z)$ היא פונקציית גמא.

פתרון נוסף מתקבל בשיטה זו על ידי החלפה של p ב-p-:

$J_{-p}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(n-p+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2n-p}$

אם p איננו מספר שלם, $J_p(x)$ ו$J_{-p}(x)$ הם שני פתרונות בלתי תלויים למשוואת בסל, שהיא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, ולכן צירוף ליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי למשוואת בסל. אך כאשר p הוא מספר שלם, ניתן להראות שמתקיים הקשר:

$J_{-p}(x)=(-1{)}^p{J}_p(x)$

במקרה כזה הפתרונות אינם בלתי תלויים, והפתרון הנוסף הוא פונקציית בסל מהסוג השני.

תכונות פונקציית בסל

• $J_p(x=0)=0$ לכל p, למעט $J_0(x=0)=1$.
• עבור p חצי שלם, $J_p(x)$ ניתנת להבעה באמצעות פונקציות טריגונומטריות. כך, למשל:

$J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin (x)$

שורשי פונקציית בסל, $u_{p,n}$, הם הנקודות בהן פונקציית בסל מדרגה p מתאפסת. אין נוסחה אנליטית לקבלתם, אך בפיזיקה ובתחומי ההנדסה נוהגים להניח מספר הנחות לגביהם שטרם הוכחו באופן פורמלי:

• שורשי פונקציות בסל אינם מחזוריים.
• עבור p טבעי, לפונקציה יש מספר אינסופי של שורשים.
• לפונקציות בעלות דרגות p שונות אין שורשים משותפים מלבד זה שב-x=0.

יחסי נסיגה:

• $J_{p-1}(x)+J_{p+1}(x)=\frac{2p}{x}{J}_p(x)$
• $J_{p-1}(x)-J_{p+1}(x)=2\frac{d}{dx}{J}_p(x)$

יחסי אורתוגונליות:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{J}_p(x{u}_{p,m})J_p(x{u}_{p,n})dx=\frac{{\delta }_{m,n}}{2}[J_{p+1}(u_{p,m}){]}^2=\frac{{\delta }_{m,n}}{2}[J_{p^{\prime }}(u_{p,m}){]}^2$

כאשר ${\delta }_{m,n}$ היא הדלתא של קרונקר.

פונקציית בסל מהסוג השני

פונקציית נוימן

פונקציית בסל מהסוג השני, הנקראת גם פונקציית נוימן או פונקציית וובר, היא פתרון שני של משוואת בסל מדרגה p שהיא מספר לא-שלם, והיא מתבדרת ב-x=0. הפונקציה מסומנת בדרך כלל $Y_p(x)$ והיא מוגדרת:

$Y_p(x)=\frac{J_p(x)\cos (p\pi )-J_{-p}(x)}{\sin (p\pi )}$

עבור דרגה p=n שהיא מספר שלם מגדירים את פונקציית בסל מהסוג השני להיות הגבול:

$Y_n(x)=\underset{p\to n}{\lim }{Y}_p(x)$

הפתרון הכללי למשוואת בסל מדרגה p יכול אם כן להיכתב בצורה הבאה:

$y_p(x)=A{J}_p(x)+B{Y}_p(x)$

פונקציות בסל המותאמות

פונקציית בסל המותאמת מן הסוג הראשון

פונקציות בסל המותאמות (לעיתים גם פונקציות בסל ההיפרבוליות), הן הפתרונות למשוואה שונה במקצת, אך דומה:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+p^2)y=0$

בשונה מפונקציות בסל הרגילות, הן אינן מתנדנדות סביב ציר ה־$x$. ישנם שני סוגים של פונקציות בסל המותאמות: $I_p(x)$ המתבדרת כאשר $x\to \mathrm{\infty }$ ו־$K_p(x)$ המתבדרת ב־$x=0$. הנוסחאות לפונקציות הן:

$I_p(x)=i^{-p}{J}_p(ix)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!\mathrm{\Gamma }(k+p+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2k+p}$;

$K_p(x)=\frac{\pi }{2}\frac{I_{-p}(x)-I_p(x)}{\sin p\pi }$.

גם כאן כאשר $p$ הוא מספר שלם לוקחים גבול.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית בסל בוויקישיתוף

• פונקציית בסל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציית בסל, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציית בסל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• פונקציית בסל, דף שער בספרייה הלאומית

מקורות

• Dutka, Jacques (1995). "On the early history of Bessel functions". Archive for History of Exact Sciences. 49 (2): 105–134.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית בסל41512119Q219637