התפלגות F
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים
d
1
,
d
2
{\displaystyle \ d_{1},d_{2}}
תומך
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0,+\infty )}
פונקציית צפיפות הסתברות
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
פונקציית ההסתברות המצטברת
I
d
1
x
d
1
x
+
d
2
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
תוחלת
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}
d 2 > 2
ערך שכיח
d
1
−
2
d
1
d
2
d
2
+
2
{\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}
d 1 > 2
שונות
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}
d 2 > 4
צידוד
(
2
d
1
+
d
2
−
2
)
8
(
d
2
−
4
)
(
d
2
−
6
)
d
1
(
d
1
+
d
2
−
2
)
{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
d 2 > 6
בהסתברות וסטטיסטיקה , התפלגות F , ידועה גם כהתפלגות פישר־סנדקור היא התפלגות רציפה . התפלגות F מופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F ).
הגדרה וסימון כאשר משתנה מקרי
X
{\displaystyle X}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
X
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}
f
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
=
1
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
(
d
1
d
2
)
d
1
2
x
d
1
2
−
1
(
1
+
d
1
d
2
x
)
−
d
1
+
d
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
פונקציית בטא . בשימושים רבים נהוג שהמשתנים
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
מספרים שלמים חיוביים , אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.
תכונות משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
כי בריבוע :
X
=
U
1
/
d
1
U
2
/
d
2
{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
בלתי תלויים ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל באנליזת שונות , משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן כדי להראות אי־תלות של
U
1
{\displaystyle U_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
