פונקציה אופיינית (הסתברות)

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות. הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף לינארי של משתנים אקראיים.

הגדרה

הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי X היא פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של e^itX, כאשר i הוא היחידה הדמיונית ו-t מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]$

בחישוב התוחלת כאינטגרל, הפונקציה האופיינית מתקבלת כהתמרת פורייה הפוכה של פונקציית צפיפות ההסתברות:

$\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx$

לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):

$\varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)$

בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.

שימושים

• הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:

$\varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$

• ניתן לחשב את המומנטים (אם הם קיימים) על ידי גזירת הפונקציה האופיינית:

$\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}\,\!$

דוגמאות

התפלגות	הפונקציה האופיינית
התפלגות מנוונת	$\,e^{ita}$
התפלגות בינומית	$\,(1-p+pe^{it})^{n}$
התפלגות פואסון	$\,e^{\lambda (e^{it}-1)}$
התפלגות אחידה	$\,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
התפלגות נורמלית	$\,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
התפלגות כי בריבוע	$\,(1-2it)^{-k/2}$
התפלגות קושי	$\,e^{ix_{0}t-\gamma |t|}$
התפלגות מעריכית	$\,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$