טרנספורמציית סטילטיס

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות ובאנליזה מרוכבת, טרנספורמציית סטילטיס (Stieltjes transformation), או התמרת סטילטיס של מידת הסתברות $\mu$ על הישר הממשי עם תומך $I$ היא הפונקציה המרוכבת $S_{\mu }:\mathbb{ℂ}\mathrm{\setminus }I\to \mathbb{ℂ}$ המוגדרת על ידי

$$S_{\mu }(z)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{1}{x-z}d\mu (x).$$

בפרט, ניתן לראות כי $S_{\mu }$ מוגדרת היטב בחצי המישור העליון והתחתון של המישור המרוכב.

ההתמרה קרויה על שם המתמטיקאי ההולנדי תומאס יוהנס סטילטיס (Thomas Joannes Stieltjes) אשר הציגה לראשונה ב-1894.

להתמרת סטילטיס שימושים שונים במתמטיקה, כאשר העיקרי שבהם הוא בתורת המטריצות האקראיות ובפרט בניתוח התפלגות הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות.

תכונות

סימטריה

לכל $z\in \mathbb{ℂ}$ מתקיים כי $\overline{S_{\mu }(z)}=S_{\mu }(\bar{z})$. לכן, לרוב מספיק לנתח את התנהגות טרנספומצית סטילטיס בחצי המישור המרוכב העליון.

נגזרות

על פי כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל, ניתן לראות כי -

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}{S}_{\mu }^{(n)}(z)=\underset{I}{\int }\frac{n!}{(x-z{)}^{n+1}}d\mu (x)$$

בפרט, ניתן לחסום את הנגזרות בעזרת החלק המדומה של $z$ -

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}|S_{\mu }^{(n)}(z)|\le \underset{I}{\int }\frac{n!}{|x-z{|}^{n+1}}d\mu (x)\le \frac{n!}{|Im(z){|}^{(n+1)}}.$$

אנליטיות, פיתוח לטור חזקות ומומנטים

כפי שראינו, טרנספורמציית סטילטיס $S_{\mu }$ היא פונקציה חלקה, ובנוסף, מהחסמים לעיל ניתן להסיק כי היא פונקציה אנליטית בתחום הגדרתה $\mathbb{ℂ}\mathrm{\setminus }I$.

תחת ההנחה כי ל-$\mu$ קיימים מומנטים מכל סדר (למשל אם ל-$\mu$ תומך חסום), נוכל לפתח את טור טיילור של $S_{\mu }$ ולקבל-

$$S_{\mu }(z)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{1}{x-z}d\mu (x)=-\frac{1}{z}\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{1}{1-\frac{x}{z}}d\mu (x)=-\frac{1}{z}\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{x}{z}\right)}^{n}d\mu (x)=-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-(n+1)}\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{x}^{n}d\mu (x)$$

לכן, אם $X$ משתנה מקרי בעל התפלגות $\mu$, נקבל כי -

$$S_{\mu }(z)=-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-(n+1)}\mathbb{𝔼}[X^n]$$כלומר, המקדמים של תור החזקות הם המומנטים של $X$.

ניתוח החלק המדומה

אם נכתוב עבור $z\in \mathbb{ℂ}$, $z=a+ib$ נקבל כי -

$$Im(S_{\mu }(z))=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }Im\left(\frac{1}{t-z}\right)d\mu (t)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }Im\left(\frac{\overline{t-z}}{(t-z)(\overline{t-z})}\right)d\mu (t)=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{b}{(t-a{)}^2+b^2}d\mu (t)$$

בפרט, מאגף ימין ניתן לראות כי $S_{\mu }$ ממפה את חצי המישור המרוכב העליון לעצמו, ולכן, בשילוב עם כך ש $S_{\mu }$ אנליטית, נסיק כי היא פונקצית הרגלוץ.

נוסחת ההיפוך של סטילטיס

תחת תנאים מסוימים ניתן לשחזר את המידה $\mu$ מטרנספורמציית סטילטיס המתאימה $S_{\mu }$ בעזרת תוצאה חשובה הנקראת נוסחת ההיפוך של סטילטיס.

לדוגמה, אם פונקציית ההתפלגות המצטברת של $\mu$ רציפה בקטע $[a,b]\subset \mathbb{ℝ}$ אזי

$$\frac{1}{\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}Im(S_{\mu }(x+iϵ))dx⟶\mu ([a,b])$$כאשר $ϵ\to 0^{+}$.

מתכונת הסימטריה המרוכבת המצוינת לעיל ניתן לשכתב תוצאה זו ולכתוב

$$\frac{S_{\mu }(\cdot +iϵ)-S_{\mu }(\cdot -iϵ)}{2\pi i}⟶\mu$$כאשר $ϵ\to 0^{+}$ .

הוכחה

מניתוח החלק המרוכב של $S_{\mu }$ המופיע בפרק התכונות נקבל כי -

$$\frac{1}{\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}Im(S_{\mu }(x+iϵ))dx=\frac{1}{\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{ϵ}{(t-x{)}^2+{ϵ}^2}d\mu (t)dx=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{1}{\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{ϵ}{(t-x{)}^2+{ϵ}^2}dxd\mu (t)$$

$$=\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }\frac{1}{\pi }[\arctan ({ϵ}^{-1}(b-t))-\arctan ({ϵ}^{-1}(b-t))]d\mu (t){\underset{ϵ\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}}_{(*)}\underset{\mathbb{ℝ}}{\int }{\mathbf{𝟏}}_{[a,b]}(t)d\mu (t)=\mu ([a,b])$$

כאשר המעבר $(*)$ נובע ממשפט ההתכנסות הנשלטת.

מסקנה - שחזור פונקציית הצפיפות

מנוסחת ההיפוך של סטילטיס נוכל להסיק כי אם $Im(S_{\mu }(z))$ רציפה בנקודה $z=x+0\cdot i$ אז נגזרת רדון-ניקודים של $\mu$ קיימת בנקודה ונתונה על ידי -

$$\frac{1}{\pi }Im(S_{\mu }(x)).$$

משפט הרציפות של סטילטיס

נוסחת ההיפוך של סטילטיס מבטיחה לנו שתחת תנאים מתאימים, טרנספורמציית סטילטיס $S_{\mu }$ קובעת ביחידות את המידה $\mu$. משפט הרציפות של סטליטיס מכליל תוצאה זו ומאפשר לנו לנתח את ההתנהגות הגבולית של סדרת מידות על ידי ניתוח הגבול של התמרות סטילטיס המתאימות.

ניסוח פורמלי

יהיו $\{{\mu }_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ מידות הסתברות מקריות מעל הישר הממשי ותהא $\mu$ מידת הסתברות.

אז, התנאים הבאים מתקיימים:

• ${\mu }_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{{𝓌}}{\to }}\mu$ כמעט תמיד אם ורק אם $S_{{\mu }_n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{S}_{\mu }$ כמעט תמיד בחצי המישור המרוכב העליון.

• ${\mu }_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{{𝓌}}{\to }}\mu$ בהסתברות אם ורק אם $S_{{\mu }_n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{S}_{\mu }$ בהסתברות בחצי המישור המרוכב העליון

• ${\mu }_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{{𝓌}}{\to }}\mu$ בתוחלת אם ורק אם $S_{{\mu }_n}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{S}_{\mu }$ בתוחלת בחצי המישור המרוכב העליון.

שימושים בתורת המטריצות האקראיות

ערך מורחב – התפלגות חצי המעגל של ויגנר

בעזרת משפט הרציפות של סטילטיס ניתן להוכיח את חוק חצי המעגל של ויגנר.

גרסה בסיסית של חוק זה קובעת כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות $M_n\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$ המקיימות:

1. ל $M_n$ כניסות בלתי תלויות ושוות התפלוגת.
2. ל $(M_n{)}_{ij}$ תוחלת 0 ושונות 1 לכל $i,j\in [n]$ .
3. ל $(M_n{)}_{ij}$ מומנטים מכל סדר לכל $i,j\in [n]$.

ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD) של $M_n$, המוגדרת להיות ${\mu }_{M_n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\delta }_{{\lambda }_i(M_n)}$ כאשר ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots \le {\lambda }_n$ הם הערכים העצמיים של $M_n$, מתכנסת בתוחלת להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. כלומר -

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\lambda (M_n)<t\sqrt{n})=\underset{-2}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{2\pi }\sqrt{4-x^2}dx.$$

למשפט זה הכללות שונות אשר מבטיחות התכנסות כמעט תמיד תחת הנחות מקלות.

סקיצה להוכחה

התמרת סטילטיס של המטריצה המנורמלת ${\mu }_{\frac{1}{\sqrt{n}}{M}_n}$ היא $S_{\frac{1}{\sqrt{n}}{M}_n}(z)=\frac{1}{n}tr{(\frac{1}{\sqrt{n}}{M}_n-zI)}^{-1}$.

ההתמרה של התפלגות חצי המעגל של וויגנר, $S_{{\mu }_{sc}}$ נתונה על ידי -$$S_{{\mu }_{sc}}(z)=\frac{\sqrt{z^2-4}-z}{2}$$

לכן, על פי משפט הרציפות של סטילטיס, על מנת להוכיח את המשפט די להראות כי לכל $z\in \mathbb{ℂ}$ בחצי המישור המרוכב העליון מתקיים כי -

$$S_{\frac{1}{\sqrt{n}}{M}_n}(z)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{S}_{{\mu }_{sc}}(z).$$הוכחה מלאה ניתן למצוא בקישור המצורף.

ראו גם

• מטריצה אקראית
• התפלגות חצי המעגל של ויגנר
• התפלגות טרייסי-וידום
• התפלגות מרצ'נקו-פסטור

קישורים חיצוניים

• Z. D. Bai ,Convergence Rate of Expected Spectral Distributions of Large Random Matrices, 1993
• Terence Tao, Topics in random matrix theory, 2012
• Roland Speicher, Lecture Notes on "Random Matrices", 2020
• Song Mei, Random Matrices and Stieltjes Transforms, 2021

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

טרנספורמציית סטילטיס40076231Q3537578