גבול של פונקציה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

גבול של פונקציה הוא מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, שמתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת בתחום ההגדרה של הפונקציה (פרט אולי לנקודה עצמה), גדל בלי הגבלה או קטן בלי הגבלה.

מושגי יסוד רבים באנליזה מוגדרים בשפה של גבולות של פונקציות, לדוגמה הרציפות, והגזירות מוגדרים על ידי קיום של גבולות מסוימים.

פונקציות ממשיות

כאשר עוסקים בפונקציה ממשית, יש עניין רב בשאלה לאן "שואפים" ערכי הפונקציה כאשר ערכי המשתנה מתקרבים לנקודה מסוימת. ניתן לחשוב על גבול של פונקציה באופן פשטני כנקודה שאם נוסיף אותה לפונקציה היא תהיה המשך "טבעי" שלה. באופן אינטואיטיבי $\ L$ הוא הגבול של הפונקציה בנקודה $\ x_{0}$ אם כאשר $\ x$ הולך ומתקרב ל- $\ x_{0}$ אז ערך הפונקציה $\ f(x)$ מתקרב ל-$\ L$. באופן כללי, הפונקציה לא צריכה להיות מוגדרת בנקודת הגבול. יתר על כן, פעמים רבות גם כאשר הפונקציה מוגדרת בנקודת הגבול, הגבול לא שווה לערך הפונקציה. לדוגמה, לפונקציה הבאה יש גבול בנקודה x=0 והוא שווה ל-0, אף על פי שערך הפונקציה בנקודה הוא 1:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&&x\neq 0\\1&&x=0\end{matrix}}\right.$

בנוסף לכך קיימים הגבול מימין והגבול משמאל של פונקציה. הגבול מימין של הנקודה $\ x_{0}$ מוגדר, באופן אינטואיטיבי, כמספר $\ L$ שכאשר $\ x$ הולך ומתקרב ל-$\ x_{0}$ מימין (כלומר מתקרב מכיוון המספרים הגדולים מ-$\ x_{0}$) אזי ערך הפונקציה הולך ומתקרב ל-$\ L$. באופן דומה מוגדר גם הגבול משמאל (הפעם המשתנה שואף ל-$\ x_{0}$ מכיוון המספרים הקטנים ממנו). הצורך בגבולות אלו מתברר כאשר רוצים לחשב גבול של פונקציה מהסוג הבא:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&&x=0\\x&&x>0\\2&&x<0\end{matrix}}\right.$

בנקודה $\ x=0$ לפונקציה לא קיים גבול, מאחר שלא קיים מספר אחד שאליו שואפת הפונקציה כאשר $\ x$ שואף ל-0. לעומת זאת קיימים גבולות מימין ומשמאל. הגבול מימין שווה ל-0 והגבול משמאל שווה ל-2. כפי שניתן לראות, אין חובה לכך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ואין חובה לכך שאחד מהם יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה עצמה.

ניתן להגדיר את מושג הגבול של פונקציה בשתי דרכים שקולות: אחת מסתמכת על הגדרת הגבול בסדרות ומסתכלת על התנהגות הסדרות ששואפות לנקודה, והשנייה עומדת בפני עצמה. הגדרת הגבול בעזרת סדרות מאפשרת להחיל משפטים שנכונים על גבולות של סדרות גם לגבולות של פונקציות.

בהגדרה באמצעות סדרות, אומרים שפונקציה מתכנסת לגבול בנקודה מסוימת, אם ורק אם עבור כל הסדרות שמתכנסות לאותה נקודה, הסדרות המתקבלות מהפעלת הפונקציה על אברי אותן סדרות מתכנסות לאותו גבול.

ההגדרה העצמאית אומרת שעבור כל סביבה של נקודת הגבול, ניתן למצוא סביבה של הנקודה שאליה ערכי ה-x מתקרבים כך שכל התמונות של הנקודות הקרובות לנקודה שאותה בודקים יעברו לאותה סביבה של נקודת הגבול. תמונת הפונקציה באותה נקודה שאליה מתקרבים ערכי ה-x לא רלוונטית לגבול, אלא רק הערכים שקרובים אליה. רק כאשר פונקציה היא רציפה יש חשיבות גם לנקודה שאליה מתקרבים.

הגדרות

עד כה דנו בגבול מבלי להגדיר אותו מתמטית ובאופן מדויק. כיום מקובלות שתי הגדרות (שקולות) של גבול. הראשונה, של קארל ויירשטראס, מבוססת על עבודתו של קושי, ומנוסחת בשפה של אפסילון ודלתא. השנייה, על-פי היינה, מבוססת על התנהגות של סדרות. ההגדרות שקולות זו לזו: כל פונקציה המתכנסת לגבול ℝ ∪ {∞,-∞}∋ L כלשהו בהתאם להגדרה אחת, מתכנסת לגבול L גם בהתאם לאחרת.

גבול בנקודה

תהא $\,f$ פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של $\ x_{0}$ (אך לא בהכרח בנקודה $\ x_{0}$ עצמה).

הגדרת קושי

לפונקציה $\,f$ יש גבול $\ L$ בנקודה $\ x_{0}$ אם לכל $\ \varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים $\ \delta >0$ מתאים כך שאם -$\ 0<|x-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(x)-L|<\varepsilon$.

הגדרת היינה

לפונקציה $\,f$ יש גבול $\ L$ בנקודה $\ x_{0}$ אם לכל סדרה $\ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ שכולן שונות מ-$\ x_{0}$, אם $\ x_{n}\to x_{0}$ אז $\ f(x_{n})\to L$.

כאמור לעיל, ההגדרות שקולות זו לזו ומעבר בין ההגדרות מסייע רבות לחישובי גבולות שונים.

אפיון גבול של פונקציה לפי קושי

ערך מורחב – הגדרת הגבול לפי קושי

תנאי קושי הוא אפיון שקול לגבול של פונקציה בנקודה. פונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה, היא פונקציה שאם המרחק בין כל שני איברים בתחום שלה קטן מגודל נתון אז גם המרחק בין כל שני ערכי הפונקציה של איברים אלה קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שפונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול של הפונקציה, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע קיום גבול של פונקציה בנקודה מבלי להתייחס לגבול עצמו, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

הגדרה: לפונקציה $\,f$ יש גבול בנקודה $\ x_{0}$ אם לכל $\ \varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים $\ \delta >0$ מתאים כך שלכל $x,y$, אם -$\ 0<|x-x_{0}|<\delta$ וגם $\ 0<|y-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

גבול אינסופי בנקודה

נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון $\varepsilon -\delta$):

הפונקציה $\,f$ שואפת לאינסוף בנקודה $\ x_{0}$ אם לכל $\ T>0$ (גדול כרצוננו) קיים $\ \delta >0$ מתאים כך שלכל -הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0<|x-x_0|<\delta } מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)>T} .

נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_0} אם לכל סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty} המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_n \to x_0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_n\ne x_0} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x_{n})\to \infin} .

שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=\infin} . באופן דומה ניתן להגדיר שאיפה למינוס אינסוף כאשר בנוסח הראשון ההבדל מתבטא בכך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T<0 } ושהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)<T} , ובנוסח השני מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x_{n})\to - \infin} .

הגדרת הגבול מימין והגבול משמאל

פונקציה לא רציפה שבה הגבול מימין שונה מהגבול משמאל, ראו רציפות למחצה.

הגדרה בלשון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon-\delta} :

א. לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} יש גבול מימין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_0} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \varepsilon > 0} (קטן כרצוננו) קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta>0} מתאים כך שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 < x -x_0< \delta } אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L| < \varepsilon} . מסמנים זאת כך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to x_0^+}f(x)=L} .

ב. לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} יש גבול משמאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_0} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \varepsilon > 0} (קטן כרצוננו) קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta>0} מתאים כך שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 > x-x_0 > -\delta } אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L| < \varepsilon} . מסמנים זאת כך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to x_0^-}f(x)=L} .

גבול באינסוף

גבול סופי

נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon-\delta} ):

לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} יש גבול סופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \to \infin} אם לכל $\ \varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S>0} מתאים כך שלכל -הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x>S } מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L| < \varepsilon} .

נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):

לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} יש גבול סופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \to \infin} אם לכל סדרה $\ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_n\to \infin} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x_{n})\to L} .

באופן דומה ניתן להגדיר גבול כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \to - \infin} , כאשר ההבדלים בהגדרה בנוסח הראשון הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S<0} והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x<S } , ובנוסח השני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_n\to - \infin} .

גבול אינסופי

נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon-\delta} ):

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \to \infin} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T>0} (גדול כרצוננו) קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S>0} מתאים כך שלכל -הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x>S } מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)>T} .

נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \to \infin} אם לכל סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty} המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_n\to \infin} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x_{n})\to \infin} .

גם כאן ניתן להגדיר באופן דומה עבור גבולות השואפים למינוס אינסוף ועבור גבולות בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \to - \infin} .

ראו גם

• אריתמטיקה של גבולות
• הגבול של sin(x)/x

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גבול של פונקציה בוויקישיתוף

• Limits and Continuity - הסבר על גבולות של פונקציה

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

גבול של פונקציה40508154Q33540