ערך עצמי

באלגברה ליניארית, ערך עצמי (eigenvalue) של העתקה ליניארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, המסומן לרוב כ-$\lambda$, כך שקיים וקטור שונה מווקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שעבורו הפעלת ההעתקה או הכפלתו במטריצה שקולה לכפל הווקטור עצמו באותו סקלר.

בגלל הקשר ההדוק בין העתקות ליניאריות לבין המטריצות שמייצגות אותן (כלומר, אפשר לחשוב על שתיהן כעל שני תיאורים שונים של אותו רעיון), ההגדרה של ערך עצמי זהה בשני המקרים.

גיאומטרית, וקטורים הם כמויות רב־ממדיות שיש להן גודל וכיוון, ולעיתים מצוירים כחיצים. העתקה ליניארית מסובבת, מותחת או מעוותת את הווקטורים עליהם היא פועלת. הווקטורים העצמיים של העתקה ליניארית הם אותם וקטורים שמותחים או מכווצים בלבד, ללא סיבוב או עיוות. הערך העצמי (שיכול להיות גם מספר שלילי או מרוכב) המתאים הוא הגורם שבו הווקטור העצמי מותח או מכווץ. אם הערך העצמי שלילי, כיוונו של הווקטור העצמי מתהפך. וקטור עצמי, או וקטור אופייני, הוא אם כן, וקטור שעבורו ההעתקה מתפקדת כמו כפל במספר: היא מותחת או מכווצת אותו מבלי לשנות את כיוונו (למעט אפשרות של היפוך כיוון). באופן אינטואיטיבי, השפעת הערך העצמי על הווקטור העצמי היא מידת ה"מתיחה" או ה"כיווץ" שהווקטור עובר, מבלי שההעתקה תסיט אותו או "תעקם" אותו לכיוון אחר.

הווקטורים והערכים העצמיים של העתקה ליניארית משמשים לאפיין אותה, ולכן הם ממלאים תפקיד חשוב בכל התחומים שבהם נעשה שימוש באלגברה ליניארית, מגאולוגיה ועד מכניקת הקוונטים. בפרט, לעיתים קרובות מערכת מיוצגת על־ידי העתקה ליניארית שתוצאותיה מוזנות חזרה כקלטים לאותה ההעתקה (משוב). ביישום כזה, הערך העצמי הגדול ביותר הוא בעל חשיבות מיוחדת, משום שהוא קובע את התנהגותה ארוכת־הטווח של המערכת לאחר הפעלה חוזרת ונשנית של ההעתקה, והווקטור העצמי המתאים לו מהווה את מצב שיווי־המשקל של המערכת.

לעיתים קרובות, משתמשים בקיצור ו"ע עבור "וקטור עצמי", וכן בקיצור ע"ע עבור "ערך עצמי".

הגדרה פורמלית

יהי $V$ מרחב וקטורי ותהא $T:V\to V$ העתקה ליניארית.

אם קיים וקטור $v\in V$ השונה מאפס, וסקלר $\lambda$ כך שמתקיים: $T(v)=\lambda v$,

אזי נקרא ל־$\lambda$ ערך עצמי (eigenvalue) של $T$, ול־$v$ נקרא וקטור עצמי (eigenvector) של $T$ השייך לערך העצמי $\lambda$.

בהתאמה, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי $A$ מטריצה ריבועית מסדר $n$ מעל שדה $\mathbb{𝔽}$ ויהי $v\in {\mathbb{𝔽}}^n$ וקטור השונה מאפס. אזי,

אם קיים סקלר $\lambda \in \mathbb{𝔽}$ כך ש-$Av=\lambda v$, $v$ יקרא וקטור עצמי של $A$ השייך לערך העצמי $\lambda$.

וקטור עצמי ומרחב עצמי

עבור מטריצה $A$ אשר מוכפלת בווקטור $v$, אם התוצאה היא אותו הווקטור ($v$), רק מוכפל בסקלר דהיינו $Av=\lambda v$, כפי שתואר לעיל, ניתן לכנות את הווקטור וקטור עצמי של המטריצה $A$, ואת $\lambda$ ערך עצמי של המטריצה.

על מנת למצוא את הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר $\lambda$, ניתן לבטא את $\lambda$ בצורה מטריציונית באמצעות הכפלתו במטריצת היחידה $I$ כך שהשוויון נשמר: $Av=\lambda Iv$. העברת אגפים וקיבוץ הגורמים המוכפלים ב-$v$ מובילים למשוואה הבאה: $(A-\lambda I)v=\mathit{0}$, אשר מייצגת מערכת משוואות הומוגנית. פתרון המערכת הזו יוביל למציאת הערכים העצמיים של $A$, אם קיימים. למשוואה זו יהיה פתרון שאינו טריוויאלי (כלומר, $v\ne \mathit{0}$) אם ורק אם הדטרמיננטה של אגף שמאל תהיה שווה לאפס: $\det (A-\lambda I)=\mathit{0}$.

אוסף הפתרונות נקרא המרחב העצמי של $\lambda$, והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים, אז $\lambda$ הוא ערך עצמי, ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים ליניארית זה בזה.

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה $(A-\lambda I)v=0$. הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

מציאת ערכים עצמיים

ערכים עצמיים מאפשרים להציג העתקות ומטריצות בצורות פשוטות ומובנות יותר, ולכן מציאתם היא חיונית. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית בתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, בהתאם לסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים:

• השיטה התאורטית הנפוצה ביותר היא באמצעות הפולינום האופייני של המטריצה, שכן הערכים העצמיים הם שורשיו.
• שיטה להערכה של הערכים העצמיים מבלי למצוא אותם במדויק נתונה על ידי עיגולי גרשגורן.
• הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה.

• למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
• סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
• מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

שיטות נומריות

עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. שיטות אלה מחשבות קירוב לערכים העצמיים ולווקטורים העצמיים, אבל הקירוב יכול להיות בכל דיוק רצוי. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמיים היא אלגוריתם QR.

אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים

אלגוריתם	קלט	פלט	תיאור	שלב אתחול	שלב עדכון
שיטת החזקה	מטריצה כללית	הערך העצמי הגדול והווקטור העצמי המתאים לו	מתחילים מווקטור שרירותי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות.	$b_0$ שרירותי	$b_{k+1}=\frac{A{b}_k}{\Vert A{b}_k\Vert }$
שיטת החזקה ההפוכה	מטריצה כללית ומספר $\lambda$ (קירוב לערך העצמי המבוקש)	הערך העצמי הקרוב ביותר ל$\lambda$ ואת הווקטור העצמי המתאים לו	מפעילים את שיטת החזקה על $(A-\lambda I{)}^{-1}$
אלגוריתם QR	מטריצה כללית (יעיל יותר על מטריצת הסנברג)	כל הערכים והווקטורים העצמיים	מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים פירוק QR של $A_k=Q_k{R}_k$ (‏$Q_k$ היא מטריצה אורתוגונלית ו-$R_k$ היא מטריצה משולשית עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים לפירוק שור והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית.	$A=Q_1{R}_1$	$A_{k+1}=R_k{Q}_k$
איטרציות יעקובי	מטריצה סימטרית ממשית	כל הערכים והווקטורים העצמיים	בכל איטרציה מצמידים את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך מלכסנים את המטריצה
אלגוריתם לנצוש	מטריצה סימטרית או מטריצה הרמיטית ומספר האטרציות	חלק מהערכים העצמיים
אלגוריתם ארנולדי	מטריצה כללית ומספר האטרציות	חלק מהערכים העצמיים	מקבילה של אלגוריתם לנצוש למטריצה כללית

ספקטרום

ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות $t$ בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל־$A-tI$. קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

היסטוריה

ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים מוצגים לרוב בהקשרים של אלגברה ליניארית או תורת המטריצות. עם זאת, מבחינה היסטורית הם הופיעו לראשונה במחקר של תבניות ריבועיות ומשוואות דיפרנציאליות.

במאה ה-18, לאונרד אוילר חקר את תנועת הסיבוב של גוף קשיח וגילה את חשיבות הצירים הראשיים. ז'וזף-לואי לגראנז' הבין שהצירים הראשיים הם הווקטורים העצמיים של מטריצת האינרציה. בתחילת המאה ה-19, אוגוסטן-לואי קושי הראה כיצד עבודתם של אוילר ולגראנז' יכולה לשמש למיון משטחים ריבועיים והכליל זאת לממדים כלליים. מאוחר יותר, ז'וזף פורייה השתמש בעבודותיהם של לגראנז' ופיייר-סימון לפלס כדי לפתור את משוואת החום באמצעות הפרדת משתנים בחיבורו מ-1822, Théorie analytique de la chaleur (תיאוריה אנליטית של החום).

בתחילת המאה ה-20, דויד הילברט חקר את הערכים העצמיים של אופרטורים אינטגרליים באמצעות התבוננות עליהם כמטריצות אינסופיות. הוא היה הראשון להשתמש במילה הגרמנית "eigen" ("שלו" או "עצמי") לציון ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים בשנת 1904, אם כי ייתכן שהשימוש נבע משימוש קודם של הרמן פון הלמולץ.

האלגוריתם המספרי הראשון לחישוב ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים הופיע בשנת 1929, כאשר ריכרד אדלר פון מיזס פרסם את "שיטת החזקה" (power method). פון מיזס ועמיתתו הילדה פולצ'ק-גיירינגר פרסמו מאמר בכתב העת Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM), שבו הציגו את השיטה לחישוב הערך העצמי הגדול ביותר של מטריצה. השיטה, הידועה גם כ-"Von Mises Iteration", מבוססת על חזרה על הכפלת מטריצה בווקטור והנרמול של התוצאה, עד שהווקטור המתכנס מייצג את הווקטור העצמי המתאים.

ראו גם

• לכסון מטריצות
• משפט קיילי המילטון
• פולינום אופייני
• פולינום מינימלי
• צורת ז'ורדן
• משפט פרון-פרובניוס

קישורים חיצוניים

• מחשבון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים (בגרמנית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ערך עצמי41748056Q190524