התפלגות גאומטרית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
התפלגות גאומטרית ("סופרת ניסיונות")
פונקציית ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים 0<p<1 (ההסתברות להצלחה)
תומך k{1,2,3,}
פונקציית הסתברות
(pmf)
(1p)k1p
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
1(1p)k
תוחלת 1p
סטיית תקן 1pp2
חציון log(2)log(1p) (לא יחיד אם log(2)log(1p) הוא מספר שלם)
ערך שכיח 1
שונות 1pp2
אנטרופיה 1ppln(1p)lnp
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
pet1(1p)et
פונקציה אופיינית peit1(1p)eit
צידוד 2p1p
גבנוניות 6+p21p

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הגאומטרית היא אחת משתי התפלגויות ההסתברות הבדידות הבאות:

  • התפלגות ההסתברות של X – מספר ניסויי ברנולי הנדרשים עד להשגת הצלחה אחת. X נע בטווח 1,2,3,.
  • התפלגות ההסתברות של Y=X1 – מספר הכשלונות בניסויי ברנולי לפני ההצלחה הראשונה. Y נע בטווח 0,1,2,.

כיצד נקבע מי משתי התפלגויות אלו מכונה ההתפלגות הגאומטרית הוא עניין של מוסכמה ונוחות, בהתאם להקשר.

אם ההסתברות להצלחה בכל ניסיון היא p, אז ההסתברות ש-k ניסיונות נדרשים עד להשגת ההצלחה הראשונה היא:

P(X=k)=(1p)k1p

בצורה דומה, ההסתברות שיהיו k כישלונות לפני ההצלחה הראשונה היא:

P(Y=k)=(1p)kp

בשני המקרים, סדרת ההסתברויות היא סדרה גאומטרית, ומכאן שמה של ההסתברות.

לדוגמה, נניח כי קוביית משחק רגילה מוטלת שוב ושוב עד הפעם הראשונה בה מופיע המספר 1. התפלגות מספר זריקות הקוביה היא התפלגות גאומטרית עם הפרמטר p=1/6.

תכונות

חוסר זיכרון: בדומה להתפלגות המעריכית, גם התפלגות גאומטרית היא חסרת זיכרון:

P(X=n+mX>n)=P(X=m)

(הסיכוי להצלחה בניסיון ה-n+m לאחר n כישלונות, שווה לסיכוי להצלחה בניסיון ה-m).

בנוסף, מתקיים:

P(X>n)=(1p)n

(הסיכוי שההצלחה הראשונית תקרה לאחר n ניסיונות הוא הסתברות ל-n כישלונות רצופים).

התוחלת והשונות של ההתפלגות הגאומטרית של מספר הניסיונות עד להצלחה נתונות על ידי:

E(X)=1p;var(X)=1pp2

ואילו התוחלת והשונות של ההתפלגות הגאומטרית של מספר הכשלונות עד להצלחה נתונות על ידי:

E(Y)=1pp;var(Y)=1pp2

ראו גם

קישורים חיצוניים


הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות גאומטרית30384382Q729523