התפלגות ריילי

התפלגות ריילי

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$ \ \sigma $
תומך	$ \ [0,\infty ) $
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$ \ {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}) $
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$ \ 1-\exp(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}) $
תוחלת	$ {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \sigma $
סטיית תקן	$ \ {\sqrt {\frac {4-\pi }{2}}}\sigma $
חציון	$ \sigma {\sqrt {\ln(4)}}\, $
ערך שכיח	$ \sigma \, $
שונות	$ {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2} $
אנטרופיה	$ 1+\ln \left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma ^{3}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}} $
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$ M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right) $
צידוד	$ {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}} $
גבנוניות	$ -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}} $

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר $ \ \sigma $, המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור.

פונקציית הצפיפות היא $ f(x|\sigma )={\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}} $.

המומנטים נתונים על ידי $ \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\, $,

כאשר $ \ \Gamma $ מסמנת את פונקציית גמא.

בפרט, מתקבלים:

התוחלת $ \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}} $,

השונות $ {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2} $,

הצידוד $ {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}} $

והגבנוניות $ -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}} $.

אמידת פרמטרים

בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר $ \sigma $ (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה $ {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}. $

דגימה מהתפלגות ריילי

בהינתן שיש בידינו משתנה מקרי u מהתפלגות אחידה רציפה סטנדרטית (בין 0 ל-1), אז למשתנה X המוגדר על ידי:

$ X=\sigma {\sqrt {-2\ln(u)}}\, $

יש התפלגות ריילי עם פרמטר $ \sigma $. תוצאה זו מושגת על ידי שימוש בשיטת דגימת ההעתקה ההופכית (ITS).

התפלגויות קשורות

• אם $ \ X,Y\sim N(0,\sigma ^{2}) $ משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז $ \ R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma ) $ מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
• אם $ \ R\sim \mathrm {Rayleigh} (1) $, אז $ \ R^{2} $ מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש.
• אם $ \ X $ מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, $ \ X\sim \mathrm {Exponential} (x|\lambda ) $, אז

$ \ Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (y|\sigma ) $.

• אם $ \ R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma ) $ אז לסכום הריבועים $ \ \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2} $ יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- $ 2\sigma ^{2} $:

$ \ [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2}) $.

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וייבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא ליניארית, וערכה הוא $ h(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\! $.

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• התפלגות רייס

לקריאה נוספת

• Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות ריילי בוויקישיתוף

• התפלגות ריילי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות ריילי30042348Q637150