פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $X\le a$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: $F_X(a)=\mathrm{Pr}(X\le a)$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול $\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(a)$ שווה ל-0.
2. הגבול $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(a)$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $F_X(a)\le F_X(b)$ לכל $a\le b$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $a<X<b$. ואכן, אם דורשים ש- $\mathrm{Pr}(X\le a)=F(a)$, נובע שהגבול משמאל $\underset{x\to b^{-}}{\lim }F(b)$ שווה להסתברות $\mathrm{Pr}(X<b)$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $a<X<b$, $a<X\le b$, $a\le X<b$ ו- $a<X<b$.

בפרט נובע ש-$P(X=b)=F_X(b)-\underset{x\to b^{-}}{\lim }{F}_X(x)$, כך שהסיכוי למאורעות $X=b$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

דוגמאות

קובייה

נניח ש-$X$ הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $X$ נתונה על ידי:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& :x<1\\ 1/6& :1\le x<2\\ 2/6& :2\le x<3\\ 3/6& :3\le x<4\\ 4/6& :4\le x<5\\ 5/6& :5\le x<6\\ 1& :x\ge 6.\end{array}$

התפלגות ברנולי

דוגמה נוספת: נניח ש-$X$ הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי $p$, ואת הערך 0 בסיכוי $1-p$ (למשל: אם $p=40\mathrm{\%}$ אז $1-p=60\mathrm{\%}$).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $X$ נתונה על ידי:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& :x<0\\ 1-p& :0\le x<1\\ 1& :x\ge 1.\end{array}$

כי ההסתברות ש-$X$ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא $1-p$.

התפלגות אחידה רציפה

נניח ש-$X$ מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $X$ נתונה על ידי:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& :x<0\\ x& :0\le x<1\\ 1& :x\ge 1.\end{array}$

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי $X$ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע $X\le x$ לכל מספר $x$ בין 0 ל-1 היא $x$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף

• פונקציית התפלגות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית התפלגות35609815Q386228