פונקציית התפלגות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה  Xa, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי:  FX(a)=Pr(Xa) מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

  1. הגבול  limaFX(a) שווה ל-0.
  2. הגבול  limaFX(a) שווה ל-1.
  3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר  FX(a)FX(b) לכל  ab.
  4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות  a<X<b. ואכן, אם דורשים ש-  Pr(Xa)=F(a), נובע שהגבול משמאל  limxbF(b) שווה להסתברות  Pr(X<b). מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה  a<X<b,  a<Xb,  aX<b ו-  a<X<b.

בפרט נובע ש- P(X=b)=FX(b)limxbFX(x), כך שהסיכוי למאורעות  X=b הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

F(x)=xf(t)dt.

דוגמאות

קובייה

נניח ש-X הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של X נתונה על ידי:

F(x)={0: x<11/6: 1x<22/6: 2x<33/6: 3x<44/6: 4x<55/6: 5x<61: x6.

התפלגות ברנולי

דוגמה נוספת: נניח ש-X הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי p, ואת הערך 0 בסיכוי 1p (למשל: אם p=40% אז 1p=60%).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של X נתונה על ידי:

F(x)={0: x<01p: 0x<11: x1.

כי ההסתברות ש-X יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא 1p.

התפלגות אחידה רציפה

נניח ש-X מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של X נתונה על ידי:

F(x)={0: x<0x: 0x<11: x1.

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי X יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע  Xx לכל מספר x בין 0 ל-1 היא x.


קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית התפלגות35609815Q386228