חזקה (מתמטיקה)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, חֶזְקָה (או העלאה בחזקה) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"מעריך". חזקה מסמנים בסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^b} כאשר a הוא הבסיס ו-b המעריך. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והמעריך הוא מספר טבעי, חזקה מהווה קיצור של פעולת הכפל; כלומר - a בחזקת b היא המכפלה של b גורמים השווים כולם לבסיס: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^b = \underbrace{a \times \cdots \times a}_b} .

את הצורה הבסיסית הזו של חזקה ניתן להכליל למערכות מספרים רחבות יותר, ואף למבנים מתמטיים שבהם האיברים כלל אינם מספרים. על בסיס פעולת החזקה מגדירים פונקציות מתמטיות שמשמשות תדיר את כל תחומי המדעים.

טרמינולוגיה וסימון

כאמור, את פעולת החזקה כאשר a הבסיס ו-b המעריך מסמנים ב-a^b. סימון זה הוכנס לשימוש על ידי רנה דקארט ב-1637.^[1] קדמו לו דרכים אחרות לרישום חזקה, החל מאוקלידס.^[2] כאשר לא ניתן להשתמש בסימון המקובל, למשל במכונת כתיבה או בשפות תכנות מסוימות, נהוג הסימון a^b.^[3] בשפות תכנות אחרות משמש הסימון a**b.^[4]

הפעולה נקראת העלאה בחזקה (כגון "a בחזקת b" או "a מועלה בחזקת b"). כאשר המעריך הוא מספר טבעי בין 3 ל-10 (כולל) נהוג לקצר ולקרוא "a ב-n-ית", כאשר n הוא שם המספר הסודר. למשל "8 בשלישית", "2 ברביעית" ו"4 בעשירית" משמעם 8³, 2⁴ ו-4¹⁰, בהתאמה. מקרה מיוחד הוא כאשר המעריך הוא 2, אז נהוג לקרוא לחזקה $\ a^{2}$ "a בריבוע", משום ששטח ריבוע שווה לאורך צלעו בחזקת 2. למשל "5 בריבוע" משמעו 5². התוצאה של העלאת מספר שלם בחזקה שנייה נקראת מספר ריבועי, או פשוט "ריבוע". תוצאת העלאת מספר שלם בחזקה שלישית נקראת לפעמים מספר מעוקב. המילה "חזקה" משמשת גם לציון תוצאת הפעולה.

מבחינת סדר פעולות חשבון, נהוג כי החזקה קודמת לארבע פעולות החשבון, וכי יש לחשב את המעריך לפני ביצוע פעולת החזקה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\cdot b^c = a \cdot (b^c)} ,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{b^c} = a^{(b^c)}} ,
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -a^b = -(a^b)} , וכדומה.

חזקה טבעית

המופע הפשוט ביותר של חזקה הוא חזקה בעלת מעריך טבעי, כגון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^7} , כאשר המעריך מציין כמה פעמים יש לכפול את מספר הבסיס בעצמו. חזקה כזו אפשר להגדיר באמצעות נוסחת נסיגה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^1 = a} , ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n>1} מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^n=a \cdot a^{n-1} } .

דוגמאות

$\ 4^{3}=4\cdot 4^{2}=4\cdot (4\cdot 4)=64$
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^2 = (-1)\cdot(-1) = 1}

חוקי החזקות

מהגדרה זו ניתן להסיק מספר מאפיינים בסיסיים של חזקות, הנקראים חוקי חזקות:^[5]

החוק	דוגמה
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10^3 \cdot 10^4 = 10^{3+4} = 10^7 = 10,000,000}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a \ne 0)\quad \frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \quad \frac{10^5}{10^3}= 10^{5-3} = 10^2 = 100}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(a^m)}^n = a^{mn}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(10^2)}^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1,000,000}
${(a\cdot b)}^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(2 \cdot 5)}^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1,000}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b \ne 0)\quad {\left(\frac{a}{b}\right)}^n = \frac{a^n}{b^n}}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \quad {\left(\frac{6}{3}\right)}^2 = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4}

דוגמאות לשימוש

האגדה מספרת שכאשר המלך הציע לממציא השחמט לקבוע את הגמול שיינתן לו תמורת המצאתו, אמר הממציא: "אדוני המלך, יינתן לי גרגר חיטה אחד במשבצת הראשונה של לוח השחמט, שני גרגרים במשבצת השנייה, ארבעה גרגרים במשבצת השלישית, וכך הלאה – בכל משבצת יינתן לי מספר גרגרים כפול מאשר בקודמתה". ציווה המלך על עבדיו לקיים את הבקשה, אך מהר מאוד גילה שבכל אסמי הממלכה אין מספיק חיטה. כמה גרגרים נדרש המלך לשים במשבצת האחרונה, היא המשבצת ה-64?
תשובה: ניתן לראות מתיאור משאלתו של הממציא, שבמשבצת ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} יש להניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{(n-1)}} גרגרים,^[6] ולכן במשבצת ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 64} יש להניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{63}} גרגרים. במקום להשתמש במחשבון כדי לחשב מספר זה, ניתן להעריך את סדר הגודל של המספר אם נזכור כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{10} = 1,024} , ניעזר בקירוב למספר זה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1,000 = 10^3} , שעמו קל יותר לחשב ידנית, ונשער את גודלו של המספר באמצעות חישוב על גב מעטפה.
בהתאם לחוקי החזקות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{63} = 2^{(10 \cdot 6 + 3)} = (2^{10})^6 \cdot 2^3} שהם יותר מאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 8} כפול $\ 10^{18}$ , כלומר מספר בן 19 ספרות. התוצאה המדויקת היא 9,223,372,036,854,775,808.
אליס ובוב רוצים ליצור ביניהם ערוץ מאובטח להעברת מידע, כך שאיש מלבדם לא יוכל לקלוט את המידע העובר בו. לשם כך עליהם להחליט על מפתח סודי משותף שבעזרתו יוכלו להצפין ולקרוא את המידע שהם משתפים. אם אליס ובוב לא יכולים להיפגש, ההחלטה על המפתח הסודי חייבת להתקבל בערוץ קשר פומבי החשוף לכל. כדי להתגבר על בעיה זו פותח פרוטוקול דיפי-הלמן^[7] שעושה שימוש בחוקי חזקות כדי לקבוע מפתח משותף סודי על גבי ערוץ פומבי. נוהל הפרוטוקול עובד כך:
אליס בוחרת מספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} ובוב בוחר מספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} . הם מחליטים יחדיו באופן פומבי וחשוף לכולם על קבועים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} (שצריכים לעמוד בכמה דרישות טכניות). אליס מפרסמת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A= \alpha^x\pmod{p}} , שהוא השארית המתקבלת מחלוקת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^x} ב- $\ p$ (ראו חשבון מודולרי), ובוב מפרסם את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B=\alpha^y\pmod{p}} . כעת אליס ובוב מנצלים חוק חזקה כדי להסכים על מפתח משותף. המפתח יהיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=\alpha^{xy}\pmod{p}} . בוב מסוגל לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K} כי הוא יודע את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} ואת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^y = (\alpha^x)^y = \alpha^{xy}=K\pmod{p}} , ובאופן דומה אליס מסוגלת לחשב אותו כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B^x= (\alpha^y)^x = \alpha^{xy}=K\pmod{p}} . אף אחד אחר אינו מסוגל לגלות את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K} , כי באופן פומבי פורסמו רק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha, p, A, B} , וכאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} מספר גדול מאוד, קשה להסיק מתוכם את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K} בלי לדעת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} או את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} (ראו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי).

חזקה שלמה

הצעד הראשון בהכללת החזקה לקבוצה רחבה יותר של מספרים היא הרחבתה למעריכים שלמים (שאינם בהכרח חיוביים). הרחבה מוצלחת של החזקה צריכה להמשיך ולעמוד בחוקי החזקות התקפים לטבעיים. בפרט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1}

וכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^0}{a^n}=\frac{1}{a^n}}

לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד (ראו מכפלה ריקה) וחזקה שלילית בתור ההופכי לחזקה החיובית הנגדית. יוצא מן הכלל הוא הביטוי אפס בחזקת אפס שלרוב אינו מוגדר, או מוגדר כשווה ל-1.^[8] בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן לחלק באפס.

דוגמאות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2} = \frac{2^{-2}}{3^{-2}} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}}

חזקה רציונלית

לכל n שלם (שונה מאפס), ולכל מספר ממשי חיובי a, קיים פתרון חיובי יחיד למשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^n=a} . פתרון זה נקרא השורש ה-n-י של a, וסימונו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[n]{a}} .

בעזרת מושג השורש ניתן להרחיב את הגדרת החזקה גם למעריכים רציונליים כלשהם (ובסיס חיובי). תחילה מגדירים הרחבה למעריכים שהם שבר יסודי: יהי n מספר שלם ו-a מספר חיובי. נצפה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\frac{1}{n}}} יהיה מספר חיובי. כמו כן לפי חוקי חזקות מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n = a^\frac{n}{n} = a^1 = a}

כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\frac{1}{n}}} הוא השורש ה-n-י, ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}} .

בהתבסס על תוצאה זו ובעזרת חוקי חזקות נוכל להרחיב את ההגדרה לכל מעריך רציונלי (n שונה מאפס):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\frac{m}{n}} = {\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m = {\sqrt[n]{a}}^m = {\sqrt[n]{a^m}} }

התוצאה אינה תלויה בבחירת ההצגה של השבר, משום ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[km]{a^{kn}} = \sqrt[m]{a^n}} , ולכן הפעולה מוגדרת היטב. כל חוקי החזקות בשלמים נשמרים גם עבור מעריכים רציונליים.

במסגרת המספרים הממשיים, הוצאת שורש אינה מוגדרת היטב למספרים שליליים, ולכן גם חזקה רציונלית אינה מוגדרת לבסיס שלילי. אם הבסיס הוא 0, החזקה מוגדרת רק כשהמעריך חיובי, וערכה 0.

דוגמאות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4} = 2}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 8^{\frac{2}{3}} = {\sqrt[3]{8}}^2 = 2^2 = 4}
אדם מפקיד בבנק 10 שקלים בריבית של 6% לשנה. כעבור שנה יהיו בחשבונו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 10\cdot (1+\frac{6}{100}) = 10.60} שקלים.
אם ישאיר סכום זה בחשבונו שנה נוספת, יצטבר בחשבון בסוף השנה השנייה סכום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10 \cdot (1 + \frac {6}{100})^2 } שקלים.
בסוף השנה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} יהיו בחשבונו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10 \cdot (1 + \frac {6}{100})^n } שקלים.
עד כה המעריך היה שלם, אבל פיקדון בבנק ניתן למשוך במהלך השנה. מה יהיה הסכום שיצטבר לאחר שלוש שנים ושלושה חודשים (3.25 שנים)? הנוסחה הבסיסית לחישוב הריבית תקפה גם למעריך שאינו שלם, שהוא מספר רציונלי - בחשבון יצטבר סכום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10 \cdot (1 + \frac {6}{100})^{3.25} = 12.0849\ldots} שקלים.

חזקה ממשית

ישנן שתי דרכים מקובלות ושקולות להגדרת חזקה עם מעריך ממשי.

דרך אחת היא להסתמך על החזקות הרציונליות שכבר הוגדרו. תכונה רצויה של פעולת החזקה היא שמירה על רציפות. מצופה שאם לכל חזקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^r} נערוך סדרת חישובים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^x} כש-x הולך ומתקרב ל-r, התוצאות שנקבל ילכו ויתקרבו לערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^r} . מסתבר כי דרישה זו מספיקה כדי להגדיר חזקה עם מעריך ממשי. מהבנייה של שדה המספרים הממשיים ידוע כי לכל מספר ממשי r קיימת סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{r_n\right\}} של מספרים רציונליים המתכנסת ל-r. לכן לכל a אי-שלילי החזקה נתונה על ידי גבול הסדרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^r = \lim_{n \to \infty}a^{r_n}}

או באופן שקול כגבול של פונקציה:^[9]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x\in\mathbb Q)\quad a^r = \lim_{x \to r} a^x}

המעריכים בשני הגבולות רציונליים ולכן החזקה בהם מוגדרת היטב. גם הגדרה זו אינה תלויה בנציגים והתוצאה זהה לכל סדרה המכנסת ל-r. הגדרה זו גם מספקת דרך נומרית לחישוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^r} על ידי קירובים הולכים ומשתפרים. לדוגמה ניתן לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^\pi} בכל רמת דיוק רצויה בזכות סדרת הקירובים:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^3, 2^{3.1}, 2^{3.14}, 2^{3.141}, \ldots} .

דרך שנייה היא בעזרת פונקציית האקספוננט $\ \exp(x)$ . זוהי פונקציה בסיסית ביותר שניתן להגדירה בדרכים רבות ומגוונות, ללא הגדרה קודמת של חזקה ממשית. לדוגמה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}} (טור טיילור). מגדירים את הקבוע e בתור הערך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e = \exp(1)} (יש עוד דרכים רבות להגדיר את e). פונקציית האקספוננט מקיימת את הזהות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)}

בזכות זהות זו, שלמעשה היא צורת כתיב שונה של אחד מחוקי החזקות המוכרים, קל להוכיח כי פונקציית האקספוננט מתלכדת עם החזקות הרציונליות של e (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(2) = \exp(1+1) = \exp(1) \cdot \exp(1) = e^2} ). לכן ניתן להכליל את החזקות של e לכל מעריך ממשי על ידי ההגדרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^r = \exp(r)}

פונקציית האקספוננט היא פונקציה רציפה ולכן הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה באמצעות גבול של סדרת חזקות רציונליות. כדי להרחיב את ההגדרה של חזקות של e להגדרה המתאימה לכל בסיס חיובי יש להגדיר את פונקציית הלוגריתם הטבעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln(x)} . גם זו פונקציה בסיסית, שניתן להגדירה כפונקציה ההפוכה לאקספוננט (או בדרכים רבות נוספות, ואף לנקוט בגישה הפוכה: להגדיר קודם את הלוגריתם הטבעי ולאחריו את האקספוננט כפונקציה ההפוכה לו). כלומר אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(x) = y} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ln(y) = x} (הלוגריתם הטבעי מוגדר למספרים חיוביים בלבד). לפי הגדרה זו הלוגריתם הטבעי מקיים את הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{\ln(a)} = \exp(\ln(a)) = a} . באמצעות זהות זאת וחוקי חזקות ניתן להגדיר לכל a חיובי חזקה ממשית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^r = {\left(e^{\ln(a)}\right)}^r = e^{r \ln(a)} = \exp(r \ln(a))}

ונותר רק המקרה בו הבסיס הוא 0 (שלא מוגדר לו לוגריתם טבעי). במקרה זה כל החזקות החיוביות שוות לאפס (והמקרה האי-חיובי אינו מוגדר).

דוגמאות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^\pi = 8.8249778\ldots}

חזקה מרוכבת

הערה: להבנת פרק זה דרושה היכרות עם מספרים מרוכבים.

שדה המספרים המרוכבים, שנבנה מתוך שדה המספרים הממשיים, יורש ממנו רבות מתכונותיו המועילות (כמו עצם היותו שדה) ומוסיף עליהן תכונות מועילות נוספות (כגון היותו סגור אלגברית). טבעי לנסות להכליל את ההגדרה המוצלחת של החזקה הממשית גם לחזקה מרוכבת. הכללה שכזאת ניתן לעשות בכמה כיוונים.

בסיס מרוכב ומעריך שלם

כפל וחילוק מוגדרים היטב בין מספרים מרוכבים ולכן הכללת חזקה שלמה למספרים מרוכבים נעשית ללא קושי וללא שינוי בהגדרות.

דוגמאות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^{101} = i^{4\cdot25+1} = 1^{25}\cdot i = i}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right)}^3 = 1} (שורש יחידה מסדר 3)
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1+i)^{-1} = \frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2}}

בסיס חיובי ומעריך מרוכב

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

הצגה קוטבית של מספר מרוכב במישור המרוכב. הנקודה השחורה (בסוף הקטע הכחול) הוא המספר המרוכב z. אורך הקטע הכחול r הוא ערכו המוחלט של z. הזווית θ היא הזווית בין הציר X לקטע הכחול.

הגדרת העלאת מספר ממשי חיובי בחזקה ממשית התאפשרה לנו בזכות פונקציית האקספוננט. לפונקציית האקספוננט הכללה טבעית לכל מספר מרוכב. כיוון שזיהינו את האקספוננט הממשי עם הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x} , טבעי להמשיך במדיניות זו ולהגדיר חזקה מרוכבת של e בעזרת האקספוננט המרוכב. בצורה זו מתקבלת נוסחת אוילר: לכל x ממשי מתקיים,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{ix} = \cos x +i \sin x}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos} מציין קוסינוס, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin} מציין סינוס, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i} מציין את היחידה המדומה.

למען הנוחות נהוג גם להשתמש בקיצור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{cis} \, x = \cos x + i\sin x} . נוסחת אוילר עם הקיצור היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{ix} = \operatorname{cis} \, x}

נוסחה זו מגדירה חזקה של e במספר מדומה. בעזרת חוקי החזקות ניתן להרחיב את ההגדרה לכל חזקה מרוכבת של e:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x (\cos y +i \sin y) = e^x \operatorname{cis} \, y}

מנוסחה זו נובעת ההצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים: אם z הוא מספר מרוכב שבמישור המרוכב מרחקו מאפס הוא r והזווית ברדיאנים בין הישר הממשי (ציר ה-x) לישר המחבר בין המספר לאפס היא θ (תטא), אז: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z = r e^{i\theta}} . הצגה נוחה זו מאפשרת חישוב מכפלות וחזקות שלמות של מספרים מרוכבים (למשל באמצעות משפט דה-מואבר) ללא שימוש בבינום של ניוטון.

מכאן הדרך להגדרת חזקה מרוכבת של מספר ממשי חיובי a פשוטה, ונעשית בצורה דומה להגדרת החזקה הממשית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{x+iy} = a^x a^{iy} = a^x {\left(e^{\ln(a)}\right)}^{iy} = a^x e^{iy\ln(a)} = a^x \operatorname{cis} \,(y\ln(a))}

כרצוי, הצבת חזקה ממשית בנוסחה (y=0) תתן את התוצאה הצפויה לחזקה ממשית.

באופן אנלוגי ניתן להגדיר חזקה של מספר ממשי כאשר המעריך הוא קווטרניון.

דוגמאות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i\pi} = \text{cis }\pi = -1} (זהות אוילר)
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{1+i} = 2\operatorname{cis} \,(\ln(2)) = 1.538\ldots + i\cdot1.277\ldots}

בסיס מרוכב ומעריך מרוכב

מנקודת מבט שטחית נראה כי הנוסחה המגדירה חזקת מספר חיובי במספר מרוכב יאה לכל מקרה של מספר מרוכב בחזקת מספר מרוכב. אולם גישה זו נתקלת בבעיה מהותית. ההגדרה מסתמכת על קיומה של פונקציית הלוגריתם הטבעי ln גם במקרה המרוכב (שבמקרה המרוכב מסומנת log). אולם הגדרה אחידה ומוסכמת לפונקציה זו אינה קיימת. במקרה הממשי חיובי הפונקציה מוגדרת בקלות, כי לכל מספר חיובי y קיים x אחד ויחיד המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(x) = e^x = y} , ולכן ניתן להגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(y) = x} . כלומר הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x} היא חד-חד-ערכית ועל הממשיים החיוביים ולכן גם הפיכה. אך תכונה זו אינה נשמרת במספרים המרוכבים, וזאת משום המחזוריות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות (להן יש מחזור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\pi} ). כתוצאה מכך האקספוננט המרוכב מחזורי בעצמו, עם מחזור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2i\pi} : לכל k שלם,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{x+i2\pi k} = e^x \operatorname{cis} \,(2\pi k) = e^x}

משמעות הדבר היא שלכל z מרוכב קיימים אינסוף מספרים מרוכבים x כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x = z} (למעט המקרה z=0, אז לא קיים אפילו x יחיד המקיים זאת); ההפרש בין כל שני ערכים כאלה הוא כפולה שלמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\pi i} . משום כך ניתן להגדיר את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(z)} באינסוף דרכים שונות, כשלאף אחת מהן אין עדיפות. המסקנה היא שהלוגריתם הטבעי המרוכב הוא פונקציה רב-ערכית ושבכל הגדרה חד-ערכית של הלוגריתם הטבעי המרוכב יש ממד שרירותי שישפיע על תוצאותיה של החזקה המרוכבת. גרוע מזה, אם משנים בהדרגה את הערך של z לאורך מסילה המקיפה את הראשית במישור המרוכב כך שהשינוי ב-x רציף, אין חוזרים לאותו ערך. יש שתי גישות להתמודד עם קושי זה.

גישה אחת היא להתייחס לחזקה כפעולה שתוצאתה היא קבוצה של ערכים במקום ערך בודד. במקרה כזה התוצאה היא קבוצת כל הערכים שמתקבלים כתוצאת החזקה לכל בחירה אפשרית להגדרת הלוגריתם הטבעי המרוכב של המעריך. במקרה שהמעריך שלם, לכל אינסוף הערכים השונים של הלוגריתם של z כל תוצאות החזקה יתלכדו והתוצאה תהיה יחידה ושווה לערך המצופה מחזקה שלמה של מספר מרוכב. כאשר המעריך הוא מספר רציונלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tfrac nm} (שבר מצומצם) אינסוף תוצאות יתלכדו ותתקבל קבוצה סופית של m ערכים, שהם הפתרונות למשוואה הפולינומית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^m = z^n} (z הבסיס, x הנעלם). כאשר המעריך אי-רציונלי הקבוצה תמנה אינסוף ערכים. החסרון הוא שבגישה זו תוצאת החזקה אינה מספר, אלא קבוצה (לעיתים אינסופית) של מספרים.

גישה שנייה היא לבחור "ענף", קטע בו הלוגריתם הטבעי המרוכב יהיה חד-ערכי. הענף הסטנדרטי הוא המגבלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Im}\log(z) \in [0,2\pi)} (החלק המדומה של הלוגריתם מוגבל לתחום המצוין). במקרה הזה מתקבל למשל כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^i = e^{i\log(-1)} = e^{i\cdot i\pi} = e^{-\pi}} . לעומת זאת אם נבחר את הענף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Im}\log(z) \in [-\pi,\pi)} נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(-1) = -i\pi} ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^i=e^\pi} . החסרון בגישה הוא שבחירת הענף שרירותית והחזקה מפסיקה להיות רציפה (בקצות הענף).

דוגמאות

נחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^{\frac12} = \sqrt{-1}} :
- בגישת קבוצת הערכים: $\ {\tfrac {1}{2}}$ רציונלי ולכן קבוצת הערכים היא קבוצת פתרונות המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2 = -1} , משוואה ריבועית שפתרונותיה הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -i} .
- בגישת הענף: נבחר את הענף הסטנדרטי. במקרה הזה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(-1) = i\pi} ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^{\frac12} = e^{\frac12\log(-1)} = e^{\frac\pi2 i} = i} .
נחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^i} :^[10]
- בגישת קבוצת הערכים: לכל k שלם, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{\frac\pi2 i-2i\pi k} = i} (המקדם השלילי של k נועד לשם הנוחות, כיוון ש-k פרמטר שלם התוצאה לא תושפע). לכן ערכי הלוגריתם של i הם מהצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(i) = \frac\pi2 i-2i\pi k} . לכן:
  הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^i = e^{i\log(i)} = e^{-\frac\pi2+2\pi k} = \frac{e^{2\pi k}}{\sqrt{e^\pi}}} , לכל k שלם.
- בגישת הענף: נבחר את הענף הסטנדרטי. במקרה הזה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log(i) = \frac\pi2 i} . כלומר k=0, ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^i = \frac1{\sqrt{e^\pi}} = 0.2078795\ldots} .

מגדל חזקות

ביטוי מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1^{{a_2}^{.^{.^{.{^{a_n}}}}}}} (מעלים n מספרים אחד בחזקת השני) נקרא "מגדל חזקות"^[11] (סדר החישוב הוא מהחזקה העליונה לתחתונה. כלומר, תחילה מחשבים את הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a_{n-1}}^{a_{n}}} , לאחר מכן, מחשבים את הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a_{n-2}}^{({a_{n-1}}^{a_{n}})}} , וכן הלאה). כאשר איברי מגדל חזקות זהים כולם, כלומר מספר a מועלה בחזקת עצמו n פעמים (מספר טבעי) קוראים לפעולה טטרציה (Tetration) ומסמנים אותה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ^na} , או בסימון החץ של קנות' הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\uparrow\uparrow n} .^[12] טטרציה היא חזקה מקוצרת כפי שחזקה היא כפל מקוצר. לדוגמה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {^{4}2}=2^{2^{2^2}}=65,536} .

כשם שניתן להגדיר סכום אינסופי ומכפלה אינסופית, ניתן להגדיר גם מגדל חזקות אינסופי. טטרציה אינסופית מוגדרת כגבול: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ^\infty a = \lim_{n \to \infty} {^na}} , כאשר הגבול קיים. נסמן את הגבול ב-x. מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = a^{a^{a^{.^{.^{.}}}}} = a^x} . כלומר הגבול (אם הוא קיים) הוא פתרון של המשוואה $\ {\sqrt[{x}]{x}}=a$ . אוילר הוכיח כי הגבול מתכנס בתחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac1{e^e}\le a \le\sqrt[e]e} (החסם העליון נובע מהשוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \max[\sqrt[x]x] = \sqrt[e]e} שיצוין בהמשך).

דוגמאות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ^33 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ^\infty\sqrt2} הוא פתרון של המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[x]x = \sqrt2} , כלומר 2 או 4. במקרה הזה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ^\infty\sqrt2 = \sqrt2^{\sqrt2^{^{\sqrt2^{.^{.^{.}}}}}} = 2}

תכונות אלגבריות

בניגוד לחיבור וכפל, המוגדרים לכל זוג ערכים, החזקה אינה מוגדרת אפילו בין כל שני מספרים ממשיים. מלבד זאת, לחזקה אין את רוב התכונות הבסיסיות השימושיות האופייניות לפעולות בינאריות מוכרות. לכן חזקה אינה הבסיס לאף מבנה אלגברי טיפוסי.

חזקה אינה קיבוצית: לא תמיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{(b^c)} = {(a^b)}^c} . אפילו הדרישה החלשה יותר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{(a^a)} = {(a^a)}^a} אינה מתקיימת (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^{(3^3)} = 3^{27} \ne 27^3 = {(3^3)}^3} ). מקובל כי כאשר לא מוסיפים סוגריים מבצעים קודם את החזקה העליונה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{b^c} = a^{(b^c)}} .
חזקה אינה חילופית: בדרך כלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^b \ne b^a} (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1^2 = 1 \ne 2 = 2^1} ).
לחזקה אין איבר יחידה, אולם 1 הוא איבר יחידה ימני (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^1=x} ) ואין איבר יחידה שמאלי.
כלל הצמצום הימני מתקיים לבסיסים אי-שליליים: אם a,b אי-שליליים, c שונה מ-0 ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^c = b^c} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a = b} (מעלים את שני האגפים בחזקת ההופכי של c). הכלל אינו מתקיים כשאין הגבלת סימן על הבסיס: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^2 = 1^2} .
כלל הצמצום השמאלי מתקיים (במספרים ממשיים, כאשר החזקה מוגדרת) לכל בסיס שונה מ--1,0,1: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c^a = c^b} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a=b} .
חזקה דיסטריבוטיבית משמאל מעל כפל לפי חוקי חזקות. היא אינה דיסטריבוטיבית מימין מעל כפל.
תכונת הספיגה: 0 ו-1 סופגים ערכים משמאל: תמיד מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1^a = 1} ותמיד מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0^a=0} (כאשר הביטוי מוגדר, ולמעט אפס בחזקת אפס).

הכללות

חשבון אינפיניטסימלי

חזקה בין סדרות וחזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת בקלות בעזרת החזקה בין מספרים ממשיים. לכל סדרה אי שלילית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{a_n\right\}} וסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{b_n\right\}} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b_n} חיובי כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n=0} ) קיימת סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a_n^{b_n}\}} . חזקה שומרת על התכנסות: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n \to a, b_n \to b} אז מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n^{b_n} \to a^b} .

חזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f^g(x) = f(x)^{g(x)}} לכל x בו שתי הפונקציות מוגדרות והבסיס אי-שלילי (במקרה והבסיס הוא אפס, על המעריך להיות חיובי). חזקה בין פונקציות שומרת על רציפות של f ו-g בנקודה, אבל לא בהכרח שומרת על רציפות במידה שווה בקטע. לדוגמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x) = 2} הן רציפות במידה שווה בכל הישר ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f^g(x) = x^2} אינה כזו. אם פונקציית הבסיס ופונקציית המעריך גזירות, אז גם תוצאת החזקה גזירה ומתקיים (לפי כלל השרשרת וכלל לייבניץ):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left({f'g \over f} + g'\ln f\right)}

תורת הקבוצות

קבוצות ועוצמות

בתורת הקבוצות הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^B} מוגדרת כקבוצת כל הפונקציות מהקבוצה B אל הקבוצה A. בהתאם, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A|} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |B|} הן עוצמות, אז מגדירים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A|^{|B|} = \left|A^B\right|} . תוצאת פעולת החזקה בין שתי עוצמות אינה תלויה בקבוצות הנציגות A ו-B שנבחרו לשם הצגת העוצמה. אם נבחן את הפעולה ביחס לעוצמות סופיות נקבל כי חזקה בין עוצמות מתלכדת עם חזקה בין מספרים טבעיים (כולל אפס). התלכדות זו מבטאת תוצאה קומבינטורית חשובה: לכל שני מספרים טבעיים n, m מספר הסדרות עם n איברים המורכבות ממספרים בין 1 ל-m (כולל הקצוות וחזרות מותרות) הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m^n} (ובשפת הקבוצות: מספר הפונקציות מקבוצה מעוצמה n לקבוצה מעוצמה m הוא mⁿ). למשל מספר הקודים בני שלוש ספרות המורכבים מהספרות 1–5 הוא 5³=125. הגדרה זו מכסה גם את המקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0^0} . לפיה תוצאת הפעולה שווה למספר הפונקציות מהקבוצה הריקה לעצמה. יש בדיוק פונקציה אחת כזאת (הפונקציה הריקה), ולכן התוצאה היא 1.

הגדרת החזקה בין עוצמות מאפשרת להתייחס גם לחזקות בין גדלים אינסופיים. לפי משפט קנטור לכל עוצמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A|} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A| < 2^{|A|}} (הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\{0, 1\}}^A} , שהיא קבוצת כל הפונקציות המציינות של A, שקולה לקבוצת החזקה של A). זוהי תוצאה טריוויאלית לחזקות סופיות, אולם היא מבחינת חידוש מהפכני לחזקות אינסופיות, ומשמעותה שלכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה ממנה. בפרט, ניתן להראות כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{\aleph_0}=\aleph} (2 בחזקת אָלֶף אֶפֶס שווה לעוצמת הרצף).

חוקי חזקות תקפים גם לחזקות של עוצמות, זאת מלבד החוקים המערבים חילוק, כיוון שפעולה זו אינה מוגדרת לעוצמות. כפל עוצמות מוגדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A| \cdot |B| = |A\times B| } (הכפל באגף הימני הוא מכפלה קרטזית). כיוון שהקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^{\{1,2,\ldots,n \}}} (הפונקציות מקבוצת המספרים מ-1 ל-n ל-A) שקולה לקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \prod_{k=1}^nA} (המכפלה הקרטזית של A עם עצמה n פעמים), מתקיים כי חזקת עוצמות היא כפל עוצמות מקוצר, בהתאם לתכונה המוכרת של חזקה. לכן מקובל הסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^n} לסימון המכפלה הקרטזית של A בעצמה n פעמים - היא קבוצת ה-n-יות הסדורות של איברי A (לדוגמה המרחב האוקלידי ה-n ממדי שמסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^n} מורכב ממכפלה של n עותקים של הישר הממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} ).

סודרים

ניסיון להגדיר חזקה בין מספרים סודרים באופן אנלוגי לחזקה בין עוצמות נכשל בשל קיומם של סודרים רבים מאותה עוצמה. עם זאת, ניתן להגדיר חזקה בין סודרים על ידי הכללת החזקה בין מספרים טבעיים. ראשית מגדירים חיבור וכפל סודרים בדומה להגדרתם במערכת פאנו ובהתבסס על הסדר הטוב המוגדר בין הסודרים על ידי הכלה. חיבור בסודר עוקב מוגדר בדיוק כמו במספרים טבעיים ובנוסף מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha+\beta = \sup\{\alpha+\gamma | \gamma<\beta\}} המטפל בסודר גבולי (סופרמום של קבוצת סודרים חסומה תמיד קיים כי בשל הסדר הטוב תמיד ישנו סודר מינימלי מבין כל החסמים). כפל מוגדר כשם שהוא מוגדר בטבעיים בתוספת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha\cdot\beta = \sup\{\alpha\cdot\gamma | \gamma<\beta\}} (בניגוד לאינטואציה, חיבור וכפל סודרים אינם חילופיים). באופן דומה, חזקה בין סודרים מוגדרת באופן רקורסיבי על פי שלוש אקסיומות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^0=1}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^\beta = \sup\{\alpha^\gamma | \gamma<\beta\}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^\beta} איזומורפי לקבוצת הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \beta \to \alpha} שיש להן תומך סופי, אשר מוגדר עליהן הסדר הלקסיקוגרפי כסדר טוב.

הכלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma = \alpha^{\beta+\gamma}} והכלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta\cdot\gamma}} תקפים גם לחזקת סודרים, אך הכלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\alpha\cdot\beta)^\gamma = \alpha^\gamma\cdot\beta^\gamma} לא תמיד מתקיים.

אף על פי שחזקת עוצמות וחזקת סודרים מהווים שניהם הכללה לחזקת טבעיים (שניהם מתנהגים ככפל מקוצר כאשר המעריך טבעי), יש ביניהם שוני מהותי. למשל אף על פי שהסודר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \omega} שווה לעוצמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \aleph_0} , חזקת סודרים מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^\omega = \sup\{2^n | n\in \mathbb{N}\} = \omega} בעוד שחזקת עוצמות מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{\aleph_0}>\aleph_0}

אלגברה מופשטת

אלגברה מופשטת עוסקת במבנים אלגבריים, שרובם מהווים הכללה או הפשטה של המספרים המוכרים עם פעולת הכפל. חזקה במעריך טבעי היא כתיב מקוצר לכפל, ולכן ניתן להגדירה גם בקבוצות אחרות בהן יש פעולה הדומה לכפל. לכל קבוצה עם פעולה בינארית מגדירים חזקה טבעית בדיוק כשם שהיא מוגדרת לכפל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^n=x x^{n-1},\quad x^1=x }

יש עניין בחזקה טבעית בעיקר כשהחזקות קיבוציות, כלומר, כל הדרכים להכפיל איבר x בעצמו n פעמים נותנות אותה תוצאה. תכונה זו מובטחת בכל חבורה למחצה, משום שהכפל קיבוצי, אבל היא אפשרית גם במקרים אחרים (ראו אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית). במקרים כאלה מתקיימים מספר חוקי חזקות מוכרים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{m+n}=x^m x^n }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x^m)^n=x^{mn} }

כאשר לחבורה למחצה יש גם איבר יחידה (שנסמן ב-e) היא נקראת מונואיד וניתן להגדיר חזקת אפס בדומה להגדרה של 1 (איבר היחידה הכפלי) כתוצאה של חזקת אפס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^0 = e}

אם גם לכל איבר יש איבר הופכי (המסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{-1}} ) המבנה נקרא חבורה ואז ניתן להכליל גם לחזקות שלמות. כפי שבמספרים חזקה שלילית הוגדרה כהופכי של חזקה חיובית, כך נעשה בחבורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{-n} = (x^{-1})^n}

בפרט, הגדרה זו מצדיקה את הסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{-1}} לאיבר הופכי.

כאשר בנוסף לכל הפעולה של החבורה גם חילופית, החבורה נקראת חבורה אבלית ומתקיים הכלל המוכר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {(xy)}^n = x^n y^n}

בכל חבורה של מספרים עם כפל רגיל החזקה במובן המופשט שלה היא החזקה השלמה המוכרת. אולם החזקה המופשטת יכולה ללבוש צורות רבות נוספות. למשל בחבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\mathbb {Z}, +)} , שהיא קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיבור הרגילה ביניהם, החזקה המופשטת של החבורה היא פעולת הכפל המוכרת בין מספרים שלמים. זאת משום שכפל הוא חיבור מקוצר כשם שחזקה היא כפל מקוצר.

בתורת החבורות משמש לעיתים הסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g^h} כאשר g ו-h איברים בחבורה כסימון לפעולת ההצמדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g^h = h^{-1}gh} . יש דמיון מסוים בין הצמדה לבין חזקה, למשל מתקיימים הכללים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (g^h)^k = k^{-1}(h^{-1}gh)k = (hk)^{-1}g(hk) = g^{hk}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (gh)^k = k^{-1}(gh)k = (k^{-1}gk)(k^{-1}hk) = g^kh^k}

אולם מעבר לכך אין לפעולות הרבה במשותף.

חישוב חזקות

במקרים מסוימים יש צורך בחישוב חזקות עם מעריך טבעי גדול. דרך נאיבית לעשות זאת היא להכפיל בבסיס שוב ושוב. כלומר, אם המעריך הוא n, אז מבצעים n-1 פעולות כפל, בזמן ריצה שהוא מעריכי ביחס לאורך המעריך (מספר הספרות של n). שיטה זו אינה יעילה מספיק כאשר החישוב כולל מעריך בן עשרות או מאות ספרות, כפי שנדרש לעיתים באלגוריתמים קריפטוגרפיים.

באמצעות אלגוריתם פשוט ניתן לקצר את זמן החישוב משמעותית. כדי לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^n} נחשב את סדרת הערכים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a, a^2, a^4, a^8,\ldots} (כל איבר הוא הריבוע של קודמו). נעצור כאשר נקבל את הערך הגדול ביותר בסדרה שאינו גדול מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^n} (כלומר האיבר האחרון הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}}} ). כל איבר התקבל מהאיבר הקודם בסדרה כפול עצמו, ולכן ביצענו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lfloor\log_2 n\rfloor} (כאשרהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor a\rfloor} מסמן את פונקציית הרצפה) פעולות כפל בלבד כדי לחשב את הערכים בסדרה. לפי ההצגה של n בבסיס בינארי נכתוב את n כסכום של חזקות שונות של 2. כעת, לפי חוקי חזקות נוכל לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^n} כמכפלה של ערכים שונים בסדרה שבנינו. כיוון שבסדרה יש לכל היותר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_2 n} איברים, החישוב ידרוש פחות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_2 n} פעולות כפל נוספות. בסך הכול, התהליך מתבצע בזמן ריצה פולינומי ביחס לאורך המעריך (כתלות בפעולת הכפל, שמתבצעת לכל היותר בזמן ריצה ריבועי). זהו קיצוץ משמעותי בזמן החישוב. כך למשל, אם n הוא מספר בן מאה ספרות עשרוניות, יידרשו כמה מאות פעולות כפל בלבד (במקום כגוגול פעולות בהכפלה חוזרת של הבסיס) לשם החישוב.

בתור דוגמה נחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^{37}} . ראשית נחשב את איברי הסדרה:

מספר המכפלות שחושבו	האיבר בסדרה
0	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3 }
1	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^2 = 9 }
2	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^4 = 9^2 = 81 }
3	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^8 = 81^2 = 6,561 }
4	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^{16} = 6,561^2 = 43,046,721 }
5	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^{32} = 43,046,721^2 = 1,853,020,188,851,841 }

כעת נבחין כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 37 = 32+4+1} ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^{37} = 3^{32+4+1} = 3^{32}\times3^4\times3^1 = 1,853,020,188,851,841\times81\times3 = 450,283,905,890,997,363} .

באופן זה חישבנו את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3^{37}} בעזרת שבע פעולות כפל בלבד. חמש פעולות כדי לחשב את איברי הסדרה ושתי מכפלות נוספות כדי להגיע לתוצאה הסופית. על אף שמדובר במעריך קטן למדי, זה עדיין משמעותית פחות מ-36 פעולות כפל להן נדרשים בחישוב ישיר. אלגוריתמים סבוכים יותר מסוגלים לחשב אף במספר קטן יותר של פעולות, אך לא במידה משמעותית.

המהירות של שיטה זו תלויה במספר האחדות בייצוג הבינארי של המעריך. לכן כאשר בוחרים את המעריך ורוצים שהחזקה תהיה מהירה, בוחרים מספר עם מעט אחדות ביצוג הבינארי. למשל, באלגוריתם RSA נהוג לבחור e=65537 (שזה 10000000000000001 ביצוג בינארי)

שיטה זו פועלת לא רק למספרים, אלא לכל מקרה של חזקה מופשטת (עם חזקות קיבוציות). שימוש מעניין באלגוריתם הוא לחישוב מספרי פיבונאצ'י גדולים באמצעות חישוב חזקה של מטריצה (כקיצור של כפל מטריצות). הנוסחה הישירה לאיברי הסדרה מספקת את הזהות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} }

הפעלת האלגוריתם על המטריצה הפשוטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} כבסיס, תחשב ביעילות כל שלשה של מספרי פיבונאצ'י סמוכים, גם כאשר האינדקס שלהם גדול מאוד.

פעולות הפוכות

לא בכל הישר הממשי מתקיימים כללי הצמצום לגבי חזקה, ולכן אין לחזקה פעולה הפוכה מוגדרת היטב. בכל זאת, שימושי להגדיר לחזקה שתי פעולות שהפוכות לה תחת מגבלות מסוימות.

שורש: שורש מסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[b]a} כאשר a אי-שלילי ו-b שונה מאפס, ותוצאת הפעולה היא המספר האי-שלילי היחיד x המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^b = a} . מהגדרת החזקה הרציונלית נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[b]a = a^{\frac{1}{b}}} . פעולה זו מתאימה לתוצאת חזקה ומעריך כלשהו בסיס תואם (תחת תנאים המבטיחים כי קיים יחיד כזה).
לוגריתם: לוגריתם מסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \log_b a} כאשר b חיובי שונה מ-1 ו-a חיובי, ותוצאת הפעולה היא המספר הממשי היחיד x המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b^x = a} . פעולה זו מתאימה לתוצאת חזקה ובסיס כלשהו מעריך תואם (תחת תנאים המבטיחים כי קיים יחיד כזה).

הסיבה לכך שיש שתי פעולות הפוכות ולא אחת כמו בחיבור (חיסור) וכפל (חילוק) היא שחזקה אינה חילופית ואין סימטריה בין המעריך לבסיס (ככלל, לא ניתן להחליף ביניהם בלי לשנות את התוצאה). לכן נדרשות שתי פעולות נפרדות למציאת כל אחד.

פונקציות מבוססות חזקה

גרפים של פונקציות מעריכיות שונות (המספר לצד כל גרף הוא הבסיס של הפונקציה)

פונקציות מבוססות חזקה הן פונקציות אלמנטריות בעלות מקום מרכזי באנליזה מתמטית.

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^\alpha} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} קבוע (ממשי או מרוכב). לפונקציה זו שני מקרים פרטיים חשובים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha = n} טבעי. אז הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^n} נקראת מונום (חד-איבר). מצירופים ליניאריים של מונומים מתקבלים כל הפולינומים.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha = 1/n} כאשר n טבעי. אז הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]x} נקראת השורש ה-n-י והיא מחזירה את השורש ה-n של x. הפונקציה מוגדרת למספרים אי-שליליים בלבד.
הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha^x} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} קבוע אי-שלילי. פונקציה כזו נקראת פונקציה מעריכית.

מצירופים אריתמטיים והרכבת פונקציות ניתן לקבל מפונקציות אלו ואחרות עוד פונקציות רבות מבוססות חזקה. למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^x = e^{x\ln(x)}} .

עצרת מעריכית היא פעולה מבוססת חזקה שדומה לעצרת (המבוססת על כפל). שתי הפונקציות מוגדרות ברקורסיה זהה, רק שבמקרה של עצרת מעריכית חזקה מחליפה את הכפל.

משפטים ובעיות קשורות

חוקי חזקות נותנים מענה פשוט לחישוב החזקה של מכפלה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (ab)^n = a^nb^n} . נשאלת השאלה האם יש דרך אנלוגית לחישוב החזקה של סכום: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+b)^n} . מענה לשאלה ניתן על ידי הבינום של ניוטון. אם a, b מספרים ממשיים ו-n מספר טבעי מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}}

( הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Sigma} מסמן סכום ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tbinom nk } הוא מקדם בינומי)

ניתן (באמצעות פיתוח טיילור) להכליל את נוסחת הבינום לכל r מרוכב:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+b)^r = \sum_{k=0}^\infty {r \choose k} a^k b^{r-k}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {r \choose k} = \frac{r (r-1) \cdots (r-k+1)}{k !}}

לכל r לא טבעי זהו סכום אינסופי מתכנס. כאשר r טבעי, החל מהמקום ה-r+1 כל המקדמים מתאפסים ומתקבל הסכום הסופי המוכר.

השערת קטלן, עוסקת בקיומם של מספרם עוקבים שהם חזקות.
וריאציה של בעיית שטיינר שואלת מתי מתקיים השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^b = b^a} (a ו-b חיוביים) מלבד המקרה הטריוויאלי בו a=b. אם נקח את השורש ה-ab של שני האגפים נקבל את השוויון השקול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[a]a = \sqrt[b]b} . מחקירת הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt[x]x} עולה כי הפונקציה מקבלת את הערך 1 בנקודה x=1, היא עולה לכל x קטן מ-e, כאשר x=e היא מקבלת מקסימום, היא יורדת לכל x גדול מ-e ושואפת ל-1 באינסוף. לכן לפי משפט ערך הביניים לכל a חיובי גדול מ-1 וקטן מ-e קיים בן זוג b גדול מ-e (ולהפך) כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^b = b^a} . לקבוע e עצמו אין בן זוג. המקרה היחיד בו בני הזוג שלמים הוא המקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^4 = 16 = 4^2} .
הבעיה השביעית מתוך 23 הבעיות של הילברט שואלת האם לכל a אלגברי (ששונה מ-0 ו-1) ולכל b אלגברי אי-רציונלי מתקיים שהמספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^b} טרנסצנדנטי. ב-1934 נתנה תשובה חיובית הנקראת משפט גלפונד-שניידר.
בעיית וארינג שואלת האם לכל מספר טבעי k קיים מספר טבעי n כך שכל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של לכל היותר n מספרים בחזקת k. הילברט הוכיח בשנת 1909 כי התשובה חיובית ובכך גרם להתפתחות מחקר ענף סביב מציאת n כתלות ב-k ופתרון שאלות נוספות בעלות אופי דומה. מקרה פרטי הוא משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הקובע כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים. התשובה לשאלה אילו מספרים ניתן להציג כסכום של שני ריבועים ידועה גם היא במדויק.
קיימים אינסוף מספרים טבעיים a, b ו-c כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^2 + b^2 =c^2} , אלו נקראים שלשות פיתגוריות. המשפט האחרון של פרמה קובע כי תופעה זו ייחודית, וכי לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n>2} לא קיימת שלשה של מספרים טבעיים a, b ו-c כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^n+b^n=c^n} . את המשפט הוכיח אנדרו ויילס בשנת 1995, למעלה מ-350 שנה לאחר שפרמה טען לנכונות המשפט ללא הוכחה. אוילר שיער השערה בעלת אופי דומה: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n>2} לא קיימת קבוצה של n מספרים כך שסכום החזקות ה-n-יות של כל המספרים מלבד האחרון שבהם, שווה לחזקה ה-n-ית של האחרון. ההשערה התבררה כשגויה כפי שניתן לראות מהדוגמה הנגדית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5} .
שורש יחידה מסדר n (מספר טבעי) הוא מספר מרוכב z (או באופן כללי יותר, איבר שדה) כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z^n = 1} . מבין המספרים הממשיים 1 ו--1 הם שורשי היחידה היחידים. אולם מבין המספרים המרוכבים ישנם n שורשי יחידה מסדר n. לשורשי היחידה תכונה מיוחדת שהחזקות השלמות שלהם מחזוריות באורך n. כלומר לכל k שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z^k = z^{n+k}} (נובע מחוקי חזקות). למשל ל--1 מחזור באורך 2 (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-1)^k} שווה 1 כאשר k זוגי ו--1 כאשר k אי זוגי) המנוצל רבות להצגת סימנים מתחלפים (כמו בטורי לייבניץ). דוגמה אחרת היא שורש היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i} שלו מחזור באורך 4:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ldots i^{-1}=-i, \quad i^0=1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i\ldots}

על בסיס עובדה זו (ופיתוח טור מקלורן של האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות) מוכיחים את נוסחת אוילר שבעזרתה מגדירים חזקה מרוכבת.

אחת הבעיות העתיקות במתמטיקה היא מציאת פונקציות פשוטות המחזירות אך ורק מספרים ראשוניים. ב-1947 הוכיח ויליאם מילס כי קיים קבוע A כך שלכל n טבעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lfloor A^{3^n}\rfloor} הוא ראשוני (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lfloor x\rfloor} היא פונקציית הערך השלם).

ראו גם

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: חזקה

Laws of Exponents חוקי חזקה עם דוגמאות (באנגלית)

הערות שוליים

^ בספרו La Géométrie, ‏Leyde, 1637,‏ עמוד 299: ”et aa ou הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2} pour multiplier a par soi-même; et הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3} pour le multiplier encore une fois par a, et ainsi à l’infini”. להרחבה ראו "Earliest Uses of Symbols of Operation" (באנגלית)
^ John J. O'Connor and Edmund F. Robertson, Etymology of some common mathematical terms, MacTutor History of Mathematics archive
^ בשפת Visual Basic, למשל: ^ Operator
^ בשפת PL/I, למשל: PL/I Language Reference, עמ' 34
^ Exponent Laws, באתר MathWorld (באנגלית)
^ לו היו מונחים במשבצת הראשונה 2 גרגירים, היינו צריכים במשבצת ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} להניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^n} גרגירים, אך כיוון שמונח בה גרגיר אחד, ביצוע פעולת החזקה מתחיל מהמשבצת השנייה, ועל כן יש להניח $\ 2^{(n-1)}$ גרגרים במשבצת ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} .
^ Whitfield Diffie and Martin E. Hellman, New Directions in Cryptography, IEEE transactions on Information Theory 22(6), 1976, pp. 644-654
^ sci.math FAQ: What is 0^0?
"Wolfram Alpha calculates 0^0". Wolfram Alpha LLC.
^ Denlinger, Charles G., Elements of Real Analysis, Jones and Bartlett, 2011, pp. 278–283
^ דוגמה לחישוב באתר Cut The Knot (באנגלית)
^ Power Tower, באתר MathWorld (באנגלית)
^ Donald E. Knuth, "Coping With Finiteness", Science 194(4271), December 1976, pp. 1235–1242.

ערך מומלץ

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35185562חזקה (מתמטיקה)

[1] בספרו La Géométrie, ‏Leyde, 1637,‏ עמוד 299: ”et aa ou הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2} pour multiplier a par soi-même; et הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3} pour le multiplier encore une fois par a, et ainsi à l’infini”. להרחבה ראו "Earliest Uses of Symbols of Operation" (באנגלית)

[2] John J. O'Connor and Edmund F. Robertson, Etymology of some common mathematical terms, MacTutor History of Mathematics archive

[3] בשפת Visual Basic, למשל: ^ Operator

[4] בשפת PL/I, למשל: PL/I Language Reference, עמ' 34

[5] Exponent Laws, באתר MathWorld (באנגלית)

[6] לו היו מונחים במשבצת הראשונה 2 גרגירים, היינו צריכים במשבצת ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} להניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^n} גרגירים, אך כיוון שמונח בה גרגיר אחד, ביצוע פעולת החזקה מתחיל מהמשבצת השנייה, ועל כן יש להניח $\ 2^{(n-1)}$ גרגרים במשבצת ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} .

[7] Whitfield Diffie and Martin E. Hellman, New Directions in Cryptography, IEEE transactions on Information Theory 22(6), 1976, pp. 644-654

[8] sci.math FAQ: What is 0^0?
"Wolfram Alpha calculates 0^0". Wolfram Alpha LLC.

[Denlingertitle-9] Denlinger, Charles G., Elements of Real Analysis, Jones and Bartlett, 2011, pp. 278–283

[10] דוגמה לחישוב באתר Cut The Knot (באנגלית)

[11] Power Tower, באתר MathWorld (באנגלית)

[12] Donald E. Knuth, "Coping With Finiteness", Science 194(4271), December 1976, pp. 1235–1242.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

חזקה (מתמטיקה)

תוכן עניינים

טרמינולוגיה וסימון

חזקה טבעית

דוגמאות

חוקי החזקות

דוגמאות לשימוש

חזקה שלמה

דוגמאות

חזקה רציונלית

דוגמאות

חזקה ממשית

דוגמאות

חזקה מרוכבת

בסיס מרוכב ומעריך שלם

דוגמאות

בסיס חיובי ומעריך מרוכב

דוגמאות

בסיס מרוכב ומעריך מרוכב

דוגמאות

מגדל חזקות

דוגמאות

תכונות אלגבריות

הכללות

חשבון אינפיניטסימלי

תורת הקבוצות

קבוצות ועוצמות

סודרים

אלגברה מופשטת

חישוב חזקות

פעולות הפוכות

פונקציות מבוססות חזקה

משפטים ובעיות קשורות

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חזקה (מתמטיקה)

טרמינולוגיה וסימון

חזקה טבעית

דוגמאות

חוקי החזקות

דוגמאות לשימוש

חזקה שלמה

דוגמאות

חזקה רציונלית

דוגמאות

חזקה ממשית

דוגמאות

חזקה מרוכבת

בסיס מרוכב ומעריך שלם

דוגמאות

בסיס חיובי ומעריך מרוכב

דוגמאות

בסיס מרוכב ומעריך מרוכב

דוגמאות

מגדל חזקות

דוגמאות

תכונות אלגבריות

הכללות

חשבון אינפיניטסימלי

תורת הקבוצות

קבוצות ועוצמות

סודרים

אלגברה מופשטת

חישוב חזקות

פעולות הפוכות

פונקציות מבוססות חזקה

משפטים ובעיות קשורות

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש