קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה $A$ היא קבוצת כל תת הקבוצות של $A$, ומסמנים אותה ב-${𝒫}(A)$. פורמלית ${𝒫}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}$, ולדוגמה: ${𝒫}\left(\{x,y\}\right)=\{\mathrm{\varnothing },\left\{x\right\},\left\{y\right\},\{x,y\}\}$. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

• כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
• ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי $A$ שווה ל-$2^{|A|}$ (שתיים בחזקת עוצמת $A$), ובניסוח מתמטי: $|{𝒫}(A)|=2^{|A|}$. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של $A$ בסימון $2^{|A|}$, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-$2^A$.
• קבוצת החזקה של $A$ איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת-קבוצות של $A$, היא $\{0,1{\}}^A=\{f\mid f:A\to \{0,1\}\}$ (כל תת-קבוצה $B\subseteq A$ מתאימה לפונקציה המציינת שלה ${\mathbf{𝟏}}_B\in \{0,1{\}}^A$). לכן הסימון $2^{|A|}$ לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם $2^{|A|}=|\{0,1{\}}^A|$). זו המוטיבציה לסימון $2^A$ שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של $A$ ("$2$" מתאים לקבוצה בת שני האיברים $\{0,1\}$).
• משפט קנטור מראה כי אי השוויון $|{𝒫}(A)|>|A|$ שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה $A$.

ראו גם

• הפרדוקס של קנטור
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף

• קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוצת החזקה30768837Q205170