קבוצת החזקה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה A היא קבוצת כל תת הקבוצות של A, ומסמנים אותה ב-𝒫(A). פורמלית 𝒫(A)={BBA}, ולדוגמה: 𝒫({x,y})={,{x},{y},{x,y}}. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

  • כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
  • ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי A שווה ל-2|A| (שתיים בחזקת עוצמת A), ובניסוח מתמטי: |𝒫(A)|=2|A|. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של A בסימון 2|A|, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-2A.
  • קבוצת החזקה של A איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת-קבוצות של A, היא {0,1}A={ff:A{0,1}} (כל תת-קבוצה BA מתאימה לפונקציה המציינת שלה 𝟏B{0,1}A). לכן הסימון 2|A| לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם 2|A|=|{0,1}A|). זו המוטיבציה לסימון 2A שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של A ("2" מתאים לקבוצה בת שני האיברים {0,1}).
  • משפט קנטור מראה כי אי השוויון |𝒫(A)|>|A| שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה A.

ראו גם


קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוצת החזקה30768837Q205170