שדה סגור אלגברית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, שדה F הוא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מ-F קיים שורש ב-F.

דוגמאות

הגדרות שקולות

שדה F הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:

חשיבות גאומטרית

בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר y=x אינו נחתך עם המעגל x2+y2=1 (משום שנקודות החיתוך x=y=±22 אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.

סגור אלגברי

לכל שדה F ישנו שדה הרחבה סגור אלגברית. מבין כל שדות ההרחבה הסגורים אלגברית, קיים ויחיד (עד כדי איזומורפיזם, שאיננו יחיד), שהוא הרחבה אלגברית של F, והוא נקרא הסגור האלגברי של F.

הכללות

סגירות אלגברית נחקרה גם בהקשר של חוגים עם חילוק שאינם שדות, אבל הדוגמאות ספורדיות ואינן עולות לכדי תאוריה אחידה ([1]).

קישורים חיצוניים

עץ מיון של שדות
עץ מיון של חוגים קמוטטיביים
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
שדה נוצר סופית
שדה נוצר סופית


שדה ממאפיין חיובי
שדה ממאפיין חיובי


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
מקרא
מחלקה של שדות או שדה בודד
מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה
מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.
מחלקה המכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 שדות מקומיים, מהווים מחלקה של שדות טופולוגיים ולא של שדות. אולם, המבנה האלגברי של שדה על שדה מקומי מגדיר ביחידות את הטופולוגיה עליו, לכן ניתן לראות בהם כמחלקה של שדות
  2. שדות סגורים ממשית ,מהווים מחלקה של שדות סדורים ולא של שדות. אולם, המבנה של שדה על שדה סגור ממשית מגדיר ביחידות את הסדר עליו, לכן ניתן לראות בהם כמחלקה של שדות
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה סגור אלגברית41001647Q1047547