פונקציה הפיכה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
קובץ:Inverse Functions Domain and Range.png

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה הפיכה היא פונקציה, אשר קיימת פונקציה נוספת שפעולתה הפוכה לזו של הראשונה, כך שכאשר שתי הפונקציות מופעלות בזו אחר זו על ערך כלשהו, מוחזר הערך שעליו הן הופעלו. בלשון מעט יותר פורמלית: הרכבתן של הפונקציות נותנת את פונקציית הזהות.

בקבוצה עליה לא מוגדר כל מבנה מתמטי נוסף, על מנת שניתן יהיה להפוך את פעולתה של פונקציה על ידי פונקציה אחרת, צריכים להתקיים שני תנאים: ראשית, הפונקציה שמבקשים להפוך צריכה להיות חד-חד-ערכית. זאת כי אם שני ערכים שונים מועתקים לערך יחיד, לא ברור לאן הפונקציה ההפוכה תעתיק ערך זה, וכל ניסיון לבחור ערך שרירותי יוביל לכך שהרכבת הפונקציה וההופכית שלה לא יתנו את פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה חד-חד-ערכית, קיים איבוד של מידע בזמן הפעלת הפונקציה, ולכן לא ניתן לשחזר את פעולתה.

שנית, הפונקציה שאותה מבקשים להפוך צריכה להיות על הטווח שלה. זאת כי אנחנו רוצים להגדיר את הפונקציה ההופכית על טווח זה, מה שמחייב אותנו להגדיר אותה עבור כל ערך בטווח. אם הפונקציה שלנו אינה על, הרי שקיים איבר בטווח שלא מתקבל על ידה, ואז שוב לא ניתן להגדיר את ההופכית על ערך זה מבלי להגיע למצב שבו הרכבת הפונקציות אינה פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה על, היא אינה מספקת מספיק מידע מלכתחילה כדי שניתן יהיה להגדיר לה הופכית על הטווח כולו. עם זאת, בעיה זו "חמורה פחות" מאשר מחסור בחד-חד-ערכיות, שכן תמיד ניתן לצמצם את תחום הגדרת ההופכית לקבוצת הערכים שמתקבלת על ידי הפונקציה (התמונה שלה) ובתחום זו הפונקציה הפיכה.

הגדרה פורמלית

תהי פונקציה חד-חד-ערכית ועל. אז קיימת פונקציה שנקראת ההופכית שלה, כך שמתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall a \in A:f^{-1}(f(a))=a \quad , \quad \forall b \in B:f(f^{-1}(b))=b} .

לכל פונקציה הפיכה קיימת פונקציה הופכית יחידה, מה שמצדיק את השימוש בביטוי "ההופכית" (ואת הסימון בו נקטנו עבורה). כמו כן, כל פונקציה הפוכה גם היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל. הרכבת שתי פונקציות הפיכות מחזירה פונקציה הפיכה ולכן אוסף כל הפונקציות על קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } היא חבורה המכונה החבורה הסימטרית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } . אם קיימת פונקציה הפיכה מהקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } אל הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } נאמר של-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } ול-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } יש את אותה עוצמה. כיוון שקיום פונקציה הפיכה בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } מחייב קיום של פונקציה הפיכה בכיוון ההפוך וכן בגלל שהרכבת פונקציות הפיכות היא הפיכה - זהו יחס שקילות.

יש לשים לב כי משתמשים בסימון גם כדי לתאר את המקור של קבוצה על ידי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } , וסימון זה נהוג גם כאשר הפונקציה אינה הפיכה. כאשר הפונקציה היא הפיכה סימון זה מתלכד עם המשמעות שהוצגה כאן: המקור של קבוצה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } הוא בדיוק תמונת אותה קבוצה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1} } .

דוגמאות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
  • עבור הפונקציה המתאימה לכל אדם את מספר תעודת הזהות שלו הפונקציה ההופכית היא הפונקציה המתאימה לכל מספר תעודת זהות את האדם שזה מספרו.
  • עבור הפונקציה הממשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x+1 } הפונקציה ההופכית היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}(x)=x-1 } . הפונקציה הראשונה "מזיזה" את הנקודה שהיא מקבלת ימינה, והפונקציה השנייה "מזיזה" אותה שמאלה בשיעור זהה.
  • הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x^2 } אינה חד-חד-ערכית. למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(1)=f(-1)=1 } . למרות זאת רוצים להגדיר לה הופכית, ולכן מסתפקים בצמצום התחום של הפונקציה רק למספרים הלא שליליים. בתחום זה הפונקציה חד-חד-ערכית, וקיימת לה הופכית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x} } .
  • הפונקציה ההפוכה לפונקציית הלוגריתם הטבעי היא פונקציית האקספוננט: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x } . מכיוון שפונקציית האקספוננט מחזירה ערכים חיוביים בלבד היא אינה פונקציה על כאשר מסתכלים על הטווח בתור הישר הממשי כולו, ולכן לא ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי על הישר הממשי כולו, והוא מוגדר רק עבור ערכים הגדולים מאפס.
  • הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x),\cos(x),\tan(x) } בהתאמה הן הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsin(x),\arccos(x),\arctan(x) } (שמסומנות לעיתים גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^{-1}(x),\cos^{-1}(x),\tan^{-1}(x) } ). גם הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד-ערכיות ולכן מצמצמים אותן לתחום שבו הן חד חד ערכיות על מנת להגדיר את ההופכיות.
  • כל איזומורפיזם בין קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } לקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } הוא הפיך והפונקציה ההופכית לו היא איזומורפיזם מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B } ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } .

נגזרת של פונקציה הפיכה

את הנגזרת של הפונקציה ההפיכה אפשר לחשב גם בלי להפוך את הנגזרת ישירות, לפי המשפט הבא:

משפט: תהי פונקציה הפיכה ורציפה בסביבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} , גזירה בה ומקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x_0) \neq 0} . אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}} גזירה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_0 = f(x_0)} ונגזרתה בה היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}} .

לדוגמה, עבור הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \sqrt{x}} נבחר נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b^{2},b)} . בפונקציה ההפוכה קיימת נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b,b^{2})} . כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}(b) = b^{2}}

הנגזרת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = b^{2}} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(b^2) = (\sqrt{x})' |_{x=b} = \left. \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right|_{x=b} = \frac{1}{2 \sqrt{b^{2}}} = \frac{1}{2b} } , ולכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(b^2)} = 2b} .

נוכל לנסח את המשפט גם לפי כתיב לייבניץ שעשוי להקל על זכירתו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left. \frac{\mathrm{d}f^{-1}}{\mathrm{d}x} \right|_{y_0} = \left. \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} \right|_{x_0}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_0 = f(x_0)} .

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציה הפיכה בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה הפיכה30852792Q191884