כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף כלל לייבניץ)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה) הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות הנקרא על שמו של גוטפריד וילהלם לייבניץ.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: (fg)=fg+fg לכל שתי פונקציות f,g, או בסימוני לייבניץ:

d(uv)dx=dudxv+udvdx

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

uvdx=uvuvdx

הוכחה

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

(fg)(x)=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0g(x+h)[f(x+h)f(x)]+f(x)[g(x+h)g(x)]h=limh0f(x+h)f(x)hlimh0g(x+h)+limh0f(x)limh0g(x+h)g(x)h=f(x)g(x)+f(x)g(x)

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות f,g מתקיים ln(fg)=ln(f)+ln(g).
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

(fg)fg=ff+gg

הכללות

גזירה חוזרת

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-n-ית:

(fg)(n)=k=0n(nk)f(k)g(nk)

כאשר (nk) הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

(a+b)n=k=0n(nk)akbnk

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

מכפלה של כמה פונקציות

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

(uvw)=uvw+uvw+uvw
(uvwz)=uvwz+uvwz+uvwz+uvwz

באופן כללי, אם הפונקציה היא f(x)=i=1nfi(x) הנגזרת היא:

f=i=1nfik=1kinfk

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-0, אפשר לכתוב זאת גם כך:

(f1fn)f1fn=f1f1++fnfn

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה40580093Q466720