הפונקציה הריקה

במתמטיקה, הפונקציה הריקה היא פונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה. לכל קבוצה $A$ יש בדיוק פונקציה ריקה אחת $f_{A}:\emptyset \to A$. בשפת תורת הקטגוריות, עובדה זו משמעה שהקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי בקטגוריית הקבוצות $\mathbf {Sets}$.

הפונקציה הריקה לא מקבלת ערכים כלל – הגרף שלה הוא הקבוצה הריקה. היא מוגדרת היטב כפונקציה: התנאי, שלכל $x\in \emptyset$ מתאים $f_{A}(x)\in A$ יחיד, מתקיים באופן ריק. לעומת זאת, פונקציה $g:A\to \emptyset$ לעולם אינה קיימת, למעט במקרה $A=\emptyset$, אז $g=f_{\emptyset }$.

הפונקציה הריקה היא פונקציה חד-חד-ערכית וקבועה באופן ריק. היא על רק במקרה $A=\emptyset$.

קיומה של הפונקציה הריקה מצדיק את הטענה ש-$|A|^{0}=1$ לכל עוצמה $|A|$. זאת מכיוון, שלפי ההגדרה:

$|A|^{0}=|\{f\mid f:\emptyset \to A\}|=|\{f_{A}\}|=1$

טענה זו שקולה לטענה שמכפלה ריקה שווה ל-1.

בין קבוצות $A,B$ קיימת פונקציה חלקית ריקה יחידה; כלומר, פונקציה חלקית $f:A\to B$, שהגרף שלה ריק.

בתורת הקטגוריות, העובדה שלכל קבוצה יש פונקציה ריקה אחת פונה לכך שהקבוצה הריקה מהווה אובייקט התחלתי בקטגוריית הקבוצות, כלומר, ישנה פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל קבוצה אחרת.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הפונקציה הריקה38332589Q2295354