עוצמת הרצף

עוצמת הרצף היא העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, קרי $|\mathbb {R} |$. עוצמת הרצף מסומנת לרוב באות $\!\ \aleph$, וכן מקובלים גם הסימונים ${\mathfrak {c}}$ ו-$\beth _{1}$לעוצמה זו.

רעיון האלכסון של קנטור מאפשר להוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה, כלומר שעוצמת הרצף גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים (המסומנת $\!\ \aleph _{0}$, קרי: אָלֶף אֶפֶס). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר $\!\,\aleph =2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$.

שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם עוצמת הרצף היא העוצמה הקטנה ביותר מלבד עוצמת המספרים הטבעיים?" – ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "השערת הרצף", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר: כל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף, כלומר שמתקיים $\aleph _{1}=\beth _{1}$. דוד הילברט מנה את הבעיה הזו כראשונה מבין 23 הבעיות המפורסמות שלו. אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה הוכיח קורט גדל, בשנת 1940, שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל משפט אי השלמות של גדל, כלומר אי אפשר להוכיחה ואי אפשר להפריכה, ולכן העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.

לפי משפט קנטור לקבוצת החזקה עוצמת הרצף אינה העוצמה המקסימלית וקיימות אינסוף עוצמות גדולות ממנה, לדוגמה עוצמת אוסף תתי הקבוצות של אוסף המספרים הממשיים או קבוצת הפונקציות הממשיות. נהוג לסמן ב $\aleph _{2}$ את העוצמה הקטנה ביותר הגדולה מ $\aleph _{1}$, ב $\aleph _{3}$ את העוצמה הקטנה ביותר הגדולה מ $\aleph _{2}$, וכן הלאה.

דוגמאות לקבוצות בעלות עוצמת הרצף

לקבוצות חשובות רבות במתמטיקה יש עוצמה השווה לעוצמת הרצף. כמה מן המוכרות ביותר:

• קבוצת כל המספרים הממשיים (הרצף)
• כל קטע של מספרים ממשיים שאינו מנוון
• קבוצת כל המספרים האי-רציונליים
• קבוצת כל המספרים הטרנסצנדנטיים (תכונה שהוכיח קנטור)
• המרחב האוקלידי ה-n ממדי
• קבוצת המספרים המרוכבים
• קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, דהיינו קבוצת כל התת-קבוצות של המספרים הטבעיים
• קבוצת כל סדרות המספרים השלמים
• קבוצת כל הפונקציות הרציפות מן המספרים הממשיים לעצמם (הוכחה)
• קבוצת קנטור
• כל קבוצה מושלמת לא ריקה
• הטופולוגיה האוקלידית על המרחב האוקלידי ה-n ממדי, דהיינו קבוצת כל הקבוצות הפתוחות בו
• כל טופולוגיה שאינה בת-מנייה המקיימת את אקסיומת המנייה השנייה
• אם מניחים את השערת הרצף ואת אקסיומת הבחירה, אומגה אחת.

עוצמות של תת-קבוצות של הממשיים

כחלק מהניסיונות להוכחת השערת הרצף, קנטור הוכיח כי העוצמה של כל קבוצה סגורה של ממשיים שאינה בת-מנייה היא עוצמת הרצף. ההוכחה מסתמכת על משפט קנטור-בנדיקסון הקובע כי כל קבוצה סגורה מורכבת מקבוצה מושלמת (אולי ריקה) ומאוסף בן מנייה של נקודות. כיוון שהעוצמה של כל קבוצה מושלמת לא ריקה היא עוצמת הרצף, מתקבלת שקבוצה סגורה אינה יכולה להוות סתירה להשערת הרצף. את התוצאה הזו ניתן להרחיב לכל קבוצת בורל - קבוצת בורל שאינה בת מניה תכיל תת-קבוצה מושלמת ולכן עוצמתה תהיה עוצמת הרצף. זו תוצאה של משפט עמוק יותר של דונלד מרטין - כל המשחקים על קבוצות בורל מוכרעים.

את קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים אפשר לזהות (טופולוגית) עם קבוצת קנטור, המוכלת בממשיים. קבוצת החזקה מציעה הגדרות לכמה עוצמות סטנדרטיות. כל תת-קבוצה אינסופית של הטבעיים אפשר לסדר כסדרה עולה. מסמנים $\ (a_{n})<^{*}(b_{n})$ אם $\ a_{n}<b_{n}$ לבסוף (כלומר עבור n גדול מספיק). עבור יחס הסדר הזה, $\ {\mathfrak {b}}$ היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה לא חסומה של סדרות; ו-$\ {\mathfrak {d}}$ היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה דומיננטית של סדרות (כלומר קבוצה שלכל סדרה עולה, יש בה סדרה גדולה ממנה). ידוע ש-$\ \aleph _{0}<{\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {d}}\leq {\mathfrak {c}}$, כאשר $\ {\mathfrak {c}}$ היא עוצמת הרצף. קיומם של שוויונות בשרשרת הזו תלוי באקסיומות הנוספות לתורת הקבוצות.