זהות אוילר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, היא השוויון הבא:

זהות אוילר
eiπ+1=0

כל איברי הזהות הם מספרים קבועים:

זהות אוילר בניסוח זה מעולם לא פורסמה על ידי אוילר עצמו, והיא קרויה על שמו שכן היא תוצאה ישירה של נוסחת אוילר (ראו להלן).

הוכחה

ניתן להוכיח את הזהות על ידי הצבת  x=π בנוסחת אוילר:

eiπ=cosπ+isinπ
eiπ=1
eiπ+1=0

כלומר, לאחר ההבנה כי הסינוס של פאי שווה לאפס, וכי הקוסינוס של פאי שווה למינוס אחת, מתקבלת זהות אוילר.

יופי מתמטי

זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופייה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם:

עדות ליופי שרבים מייחסים לזהות ניתן לראות בכך שבמשאל קוראים שערך כתב העת "Physics World" בין קוראיו היא הגיעה למקום הראשון, יחד עם משוואות מקסוול.[1]

הכללות

מנוסחת אוילר נובע ששורשי היחידה מסדר n הם המספרים מהצורה e2πik/n לכל k=0,,n1. סכום שורשי היחידה הוא תמיד 0:

k=0n1e2πik/n=0

טענה זו ניתן להוכיח בדרכים רבות, למשל דרך ההבחנה שסכום שורשי היחידה הוא המקדם של xn1 בפולינום:

xn1=k=0n1(xe2πik/n)

הצבה של n=2 בסכום נותנת את זהות אוילר.

את נוסחת אוילר ניתן להכליל גם לקווטרניונים, אז מקבלים זהות אוילר מוכללת:

e(a1i+a2j+a3k)π+1=0

לכל a1,a2,a3 ממשיים המקיימים a12+a22+a32=1.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות - פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 91–112.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא זהות אוילר בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. גרדיאן‏, ובמקום השמיני: 2=1+1, באתר וואלה‏, 11 באוקטובר 2004
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

זהות אוילר41372344Q204819