תורת החבורות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

תורת החבורות היא ענף של המתמטיקה (במסגרת האלגברה) העוסק בחקר המבנה האלגברי הקרוי חבורה ובפונקציות משמרות המבנה שמוגדרות עליו, הנקראות הומומורפיזם.

חבורה היא מבנה אלגברי הכולל אוסף של איברים ופעולה מוגדרת ביניהם המקיימת מספר כללים מתמטיים. תורת החבורות פותחה כתורה מתמטית, כזו שיש בה חשיבות לענפי מתמטיקה אחרים וכתורה העומדת בפני עצמה. במאה העשרים נמצאו לתורת החבורות שימושים נרחבים בפיזיקה ובמדעי המחשב.

היסטוריה

לתורת החבורות שלושה שורשים: חקר משוואות אלגבריות, תורת המספרים וגאומטריה. המתמטיקאים הראשונים שעסקו בתחום זה הם אוילר, גאוס, לגראנז', אבל ובפרט אווריסט גלואה. גלואה הוא הראשון שיצר זיקה בין תורת החבורות לתורת השדות, באמצעות תורה הקרויה היום תורת גלואה.

אחת הבעיות הראשונות שהובילו לתורת החבורות היא זו של יצירת משוואה ממעלה m ששורשיה הם ביטויים סימטריים בשורשים ידועים של משוואה נתונה ממעלה n (כאשר m<n). מקרים פשוטים של בעיה זו נחקרו כבר במאה ה-17. ז'וזף לואי לגרנז' למד ב-1770 את ההתנהגות של פונקציות בשורשים (כגון  x1x2+x3x4) תחת החלפת שורשים זה בזה. על הקרקע הזו צמחו רעיונותיו של גלואה, יותר מ-60 שנה אחר-כך.

בשנת 1831 היה גלואה הראשון שהבין שפתרונה של משוואה אלגברית קשור למבנה של חבורת התמורות של הפתרונות של אותה משוואה. גלואה עסק כאמור בקבוצות (להן קרא "חבורות") של תמורות של שורשים של פולינום נתון. במאמר שהגיש גלואה לאקדמיה הצרפתית למדעים בתחילת 1831, ונדחה באמצע אותה שנה, הוא מגדיר חבורה כאוסף של הצבות, כלומר, החלפות של השורשים זה עם זה. זהו, בתיארוך מדויק להפליא, רגע לידתה של תורת החבורות (מעריכים שגלואה המציא את המושג, והחל לפתח את התאוריה שסביבו, במאי 1829). עבודתו של גלואה לא זכתה להכרה בחייו, והיו אלה רק ז'וזף ליוביל וקאמי ז'ורדן שהביאו את עקרונותיו למרכז הבמה המתמטית. בשנת 1846, 14 שנים לאחר מותו של גלואה, פרסם ליוביל את כתביו האניגמטיים לאחר שהשקיע חודשים אחדים בבדיקתם ופענוחם. בגרסה זו כבר נמצאת הגדרה מפורשת יותר שבה גלואה מזהה תמורות עם הצבות, וקובע במפורש את דרישת הסגירות, המאפשרת לטפל בהרכבה של תמורות. אוגוסטן לואי קושי המציא את החבורות סמוך לזמן פרסומם של הרעיונות של גלואה, בספטמבר 1845, אלא שהגרסה שלו לא הייתה בשלה.

בשנות החמישים של המאה ה-19 פיתחו את רעיונותיו של גלואה אנריקו בטי (1851) וארתור קיילי, שנתן ב-1854 את ההגדרה האקסיומטית שהפכה לסטנדרטית, והוכיח (במשפט קיילי) שהיא אינה שונה מן ההגדרה של גלואה. בשנים 1856–1858 כבר נתן ריכרד דדקינד סדרה של הרצאות על חבורות ותורת גלואה בגטינגן. ב-1870 פרסם ז'ורדן ספרו Traité des Substitutions et des Équations Algébriques, שבו סיכם את מחקריו בתחום, המבוססים על המאמרים של גלואה, ואלו היוו את היסודות לחקר תורת החבורות בעשורים הבאים.

תרומת תורת החבורות בעבר

אחד היישומים הרציניים הראשונים של תורת החבורות למדעים היה בסיווג כל המבנים האפשריים של גבישים. האטומים של גביש יוצרים שריג תלת-ממידי אחיד, והעניין המתמטי המרכזי הוא לרשום את כל חבורות הסימטריה של שריגים כאלה, כי הן מראות את הסימטריות של הגביש ביעילות. בשנת 1891, המתמטיקאי הרוסי יבגראף פיודורוב והמתמטיקאי הגרמני ארתור מוריץ שנפליס הוכיחו שקיימות בדיוק 230 חבורות סימטריה של גבישים במרחב. חוקר אנגלי נוסף בשם ויליאם בארלו (Barlow) הכין רשימה דומה, אך לא מלאה. שיטה מודרנית לאיתור המבנה של מולקולות ביולוגיות כגון חלבונים, נשענת על העברת קרני-X דרך הגביש הנוצר על ידי המולקולה והתבוננות בדפוסי השבירה של הקרניים. חשוב לדעת את הסימטריות של הגביש כדי להסיק מהן על מבנה המולקולה הנחקרת. אותו דבר נכון לגבי ניתוח פורייה.

תחומי המחקר

במסגרת תורת החבורות נחקרים חבורות למחצה וגרופואידים; חבורות סופיות (ראו לדוגמה משפט המיון), ובפרט חבורות תמורות וחבורות p; תורת ההצגות (בעיקר של חבורות סופיות או של חבורות קומפקטיות מקומית); חבורות אבליות אינסופיות (במסגרת תורת המודולים); חבורות ליניאריות, ובפרט חבורות לי והסריגים שלהן, ובכללם חבורות אריתמטיות. יוצרים ויחסים נחקרים במסגרת תורת החבורות הקומבינטורית. בתורת החבורות הגאומטרית הרעיון המרכזי הוא המרת חבורה נוצרת סופית בגרף קיילי שלה (ביחס לקבוצת יוצרים סופית כלשהי), שעליו מוגדרת מטריקה טבעית, וחקירת התכונות בקנה-מידה גדול של מרחב זה, שהן התכונות שאינן תלויות בבחירת קבוצת היוצרים.

לתורת החבורות קשרים הדוקים עם תחומים מרכזיים אחרים במתמטיקה, וביניהם גאומטריה (ראו פעולת חבורה על קבוצה וריצוף), טופולוגיה אלגברית, קומבינטוריקה ואריתמטיקה, וגם עם ענפים שונים של הפיזיקה והכימיה.

תוצאות והשערות מרכזיות

תוצאות בסיסיות

לאורך השנים התגבשו מספר תוצאות יסודיות בתורת החבורות המהוות את הבסיס להמשך המחקר בתחום. תוצאות אלו נלמדות בקורסים אוניברסיטאיים סטנדרטיים בנושא. להלן תרשים המסכם את עיקר התוצאות האלו ואת הקשרים בינהן:

משפטי יסוד בתורת החבורות
 
 
 
קוסטים שונים הם זרים
קוסטים שונים הם זרים


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית
כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית


 
 
מיון של G קבוצות
מיון של G קבוצות


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
המרכז של חבורת p לא טריוויאלית אינו טריוויאלי
המרכז של חבורת p לא טריוויאלית אינו טריוויאלי


 
קבוצה

Ad(G) - אינווריאנטית לא ריקה X של תת-חבורות p-סילו של G מקיימת:

|X|=1modp
קבוצה

Ad(G) - אינווריאנטית לא ריקה X של תת-חבורות p-סילו של G מקיימת:

|X|=1modp


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
יחדות אוסף גורמי סדרת ההרכב
יחדות אוסף גורמי סדרת ההרכב


קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.
קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
המנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה
המנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה


 
 
 
מקרא
משפט בתורת החבורות
משפט בתורת החבורות הסופיות
 
גרירה: ההוכחה למשפט הנגרר מתבססת על המשפטים הגוררים[1]
 
 
 
 
 
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית


 
 
 
 
 
 
 
An פשוטה עבור n>4
An פשוטה עבור n>4


 
חבורה נילפוטנטית סופית מכפלה סופית של חבורת p
חבורה נילפוטנטית סופית מכפלה סופית של חבורת p


כל חבורה מסדר קטן מ-60 פתירה
כל חבורה מסדר קטן מ-60 פתירה


הערה: בתרשים מוצגת דרך אחת לבניות ההוכחות של המשפטים. ישנן דרכים אחרות


משפטים ידועים נוספים

בין המשפטים הידועים והמורכבים בתורת החבורות ניתן למנות את:

השערות נודעות

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Galois and his Groups, Peter M. Neumann, Newsletter of the European Mathematical Society, Dec. 2011.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא תורת החבורות בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. כמובן אפשריות הוכחות אחרות שמתבססות על טענות שונות.


הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תורת החבורות41497984Q874429