היסטוריה של המתמטיקה

עזרים לחישובים אריתמטיים לאורך ההיסטוריה (ימין, מלמעלה למטה): תרשים של מוטות מנייה סיניים ששימשו עוד בתקופת המדינות הלוחמות, חשבונייה מרומא העתיקה, פסקלין מ-1652 (שמאל, מלמעלה למטה): מנוע הפרשים מ-1879, סרגל חישוב ומחשבון מודרני

עצם אישנגו – ממצא מהתקופה הפרהיסטורית המראה על תפישה ברורה של פעולות החשבון.

היסטוריה של המתמטיקה היא העיסוק בהתפתחותה של המתמטיקה בחברה האנושית, מראשיתה של המתמטיקה ועד ימינו אנו – וכוללת את המחקר השיטתי של כמות, מבנה, מרחב ושינוי - במושג הבסיסי של מספר ושל מנייה. מושגים אלו התפתחו כמעט בכל חברות האדם, וממצאים ארכאולוגיים מעידים כי כבר לפני אלפי שנים השתמשו בני האדם במנייה. עם השנים התפתחו שיטות ספירה רבות ושונות, אך לא התבצע מחקר מתמטי מעמיק ברוב התרבויות. המקורות הבולטים של מחקר מתמטי, עד לפריחה אליה הגיעה המתמטיקה ביוון העתיקה, היו התרבויות המצרית, הבבלית, ההודית והסינית, שעסקו בבעיות חשבוניות, אלגבריות וגאומטריות בסיסיות וקונקרטיות.

ביוון העתיקה חלה התפתחות כבירה במתמטיקה. עד אז העיסוק במתמטיקה היה תכליתי בלבד: בעיקר לצורכי חישובים. פריצת הדרך של היוונים, פרט לתרומותיהם הגדולות לידע המתמטי, הייתה בלימוד המתמטיקה כשלעצמה מתוקף ערכה הרוחני. חלק מהיוונים הקדמונים נתנו למתמטיקה יחס דתי. האסכולה הפיתגוראית, למשל, האמינה כי המתמטיקה היא הבסיס לכל המושגים והרעיונות. היוונים פיתחו גם את הפילוסופיה של המתמטיקה וגם אופן הוכחה של משפטים חדשים, ובכך הניחו את היסודות למתמטיקה כפי שהיא נתפסת בעולם המודרני. הם פיתחו את הגאומטריה, שנחשבה לבסיס המתמטיקה כולה, ולמעשה יצרו את המבנה המתמטי הראשון. היוונים היו הראשונים בהיסטוריה שעשו שימוש בהוכחות שיטתיות וריגורוזית של משפטים מתמטיים. שיאן של התפתחויות אלו בחיבורו של אוקלידס, "יסודות" שעסק בצורה אקסיומטית בגאומטריה, וכן באלגברה ובתורת המספרים, ובכך נחשב לראשון שקיבץ באופן שיטתי את החוקים המתמטיים הידועים של זמנו. מאוחר יותר היה ארכימדס, גם הוא מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים, שהגיע לעשרות הישגים מתמטיים חשובים והקדים את זמנו במספר תחומים (כמו בתפיסת מושג האינסוף, בשימוש בתהליכי חישוב המבוססים על מושג הגבול ובפיתוח הפיזיקה המתמטית). עם דעיכת יוון חלה האטה בהתפתחות המתמטיקה בשאר אירופה המערבית.

בימי הביניים עיקרו של המחקר התקיים בהודו ובסין, שפיתחו תרבות מתמטית נפרדת משלהן, וכן בארצות האסלאם, שקלטו והרחיבו הישגים של תרבויות שונות, בעיקר היוונית וההודית, ופיתחו את האלגברה והטריגונומטריה.

הרנסאנס בישר על תחייתה של המתמטיקה האירופית, ומשכילי הרנסאנס השתעשעו בחידות מתמטיות, הוכיחו משפטים חדשים ובאופן כללי חידשו את העיסוק המדעי במתמטיקה. הפיכת המתמטיקה לתורה מודרנית של ימינו מיוחסת לפילוסוף דקארט. הוא קבע כי אופייה הלוגי הטהור של המתמטיקה הופך אותה לשיטה הטובה ביותר לחקר המציאות. המדענים המודרניים הלכו בדרכו של דקארט, וקיימו את המתמטיקה כאבן היסוד לחקירותיהם המדעיות. במאה ה־17 שבה המתמטיקה להתפתח בקצב מהיר, כשההישג הבולט ביותר של אותה מאה היה פיתוחו של החשבון האינפיניטסימלי בידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (בנפרד).

במאות שלאחר מכן המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה, ענפיה השונים הלכו והתרבו וכך גם קשריה עם מדעי הטבע. המאה ה־19 הייתה בסימן של "חזרה אל היסודות", וחקר יסודותיה הלוגיים והפילוסופיים של המתמטיקה התרחב, תוך קיום יחסי גומלין הדוקים בין תוצאות מתמטיות נקודתיות (כמו: הגאומטריה הלא אוקלידית, משפטי האי שלמות של גדל, הפרדוקס של ראסל) לרעיונות כלליים. במאה ה־20 הוליד המחקר המתמטי, בין היתר, ענפים חדשים לחלוטין, כדוגמת מדעי המחשב ותורת המשחקים. גם בימינו נמשכת התפתחותה המהירה של המתמטיקה, ונמצאים פתרונות לבעיות מתמטיות שהיו פתוחות זה מאות שנים. עם הזמן חקר היסטוריה של מתמטיקה קיבל הכרה כתחום נפרד; החל משנת 1971 מתפרסם ירחון מדעי המוקדש לתחום. מ-1989 מעניקה הוועדה הבינלאומית להיסטוריה של המתמטיקה את פרס קנת' או. מאי לחוקר שקידם את התחום. ב-2012 החל האיגוד האירופאי למתמטיקה להעניק את פרס אוטו נגבאואר .

התקופה הפרהיסטורית

ניתן להניח כי פעולת הכימות של עצמים מוחשיים קדמה בהרבה להתפתחות תפיסתה של המתמטיקה כרעיון מופשט, ויכולת בסיסית להבחין בין כמויות נמצאה אפילו אצל בעלי חיים.

ב־1937 גילה הארכאולוג קארל אבסולום ממצא - עצם שועל שעליה חמישים וחמישה חריצים מסודרים בחמישיות, בה עשרים וחמישה חריצים מופרדים מהשלושים הנותרים על ידי חריץ שאורכו כפול. ייתכן שהחריצים מסמלים איברי קבוצה, ונועדו לשמש כעזר למנייה של האדם. בדיעבד, ניתן לקשר בין עצם השועל למושגים המודרניים התאמה חד חד ערכית ובסיס ספירה (5). ממצא נוסף, שתוארך ל-25,000 לפני הספירה פחות או יותר, היו מערות בצרפת ובספרד שעליהן צורות גאומטריות.

ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית שמראים תפישה ברורה של פעולות החשבון, אך הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם האישנגו מאפריקה, שעל פי אחת הפרשנויות מראה על היכרות עם פעולות החשבון, הבחנה בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים ואף על הבנה בסיסית של מושג המספרים הראשוניים.

תקופת העת העתיקה

מצרים העתיקה

הסמלים בהם השתמשו המצרים כמספרים
המספר:	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסמל:
משמעות הסמל:	המספר הכתוב הוא כמספר הקווים הרשומים (קו אחד – 1, שני קווים – 2, וכן הלאה)
המספר:	1,000,000		100,000		10,000		1,000	100	10
הסמל:			או
משמעות הסמל:	אדם ושתי ידיו מורמות		ראשן או צפרדע		אצבע		שושנת מים	סליל חבל	עול של בקר

במצרים העתיקה חלה התפתחות משמעותית במתמטיקה. אמנם גם אז המתמטיקה נועדה לצרכים מעשיים בלבד, אך היא הייתה מורכבת יותר מבכל תקופה עד אז. עם זאת, היא לא התפתחה בצורה משמעותית במשך כל השנים שבהן התקיימה התרבות המצרית. לא נראה שהייתה קיימת במצרים מתמטיקה דדוקטיבית של ממש, אלא רק ניסוי וטעייה, שבעזרתם מגיעים לתוצאות קרובות לאמת עד כמה שאפשר.

ב-3,000 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא מעורבבת עם השיטה האונרית. דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כשהגודל הכולל של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה (בניגוד לשיטה העשרונית - בה כל ספרה מתארת גודל כלשהו כך שמיקום הספרה קובע את סדר הגודל).

חלק מפפירוס רינד

בתקופה מאוחרת יותר, בעקבות המצאת הפפירוס, עברו המצרים לשיטת-סימון שונה, שקבעה לכל מספר מ-1 עד 9 סמל מיוחד, כמו גם סימון מיוחד לעשרות השונות, למאות וכולי. כתוצאה מכך, שיטה זו קיצרה את מספר הסימנים בהם הוצגו המספרים. למשל, כדי לכתוב את המספר 5,679 בכתב המצרי עלינו להשתמש רק בארבעה סימנים, במקום ב-27 סימנים. אך גם לשיטה זו היו חסרונות; היא הייתה קשה לזכירה, משום שהיו בה 36 סימנים שונים, לעומת 7 סימנים בסיסיים בכתב הקודם.

המצרים היו הראשונים שהכירו את מושג השבר והשתמשו בו. הייתה להם דרך סימון מיוחדת לשברים, אם כי היא הייתה אונרית: שברים שהמונה שלהם לא היה 1 הוצגו כסכומם של שברים אחרים בעלי המונה 1. עד היום סוג השברים הזה נקרא שבר מצרי.

הממצאים העיקריים שיש בידינו כדי לדעת על התפתחותה של המתמטיקה המצרית הם פפירוס מוסקבה (1,850 לפנה"ס) ופפירוס רינד, או בשמו השני פפירוס אחמס (1,650 לפנה"ס). הם מעידים על ידע בפתרון משוואות ליניאריות ומשוואות ריבועיות. הנעלם נקרא "אה", כלומר ערימה. בפפירוס רינד ישנה גם טבלה המציגה נוסחאות לפירוק שברים שמוניהם 2 ומכניהם אי זוגיים (אחרת השבר מצטמצם ב-2), לסכום שברים יסודיים (שברים שמוניהם שווים ל-1). הידע מופגן לרוב בבעיות יומיומיות, העוסקות בנושאים כמו אפיית לחם או תשלום שכר לפועלים.

הגאומטריה המצרית, שאותה כינו "הרפדונפטה" (harpedonaptai, מילולית: מותחי חבל), הגיעה גם היא להישגים. המצרים השתמשו בגאומטריה למטרות מעשיות, כמו חפירת תעלות, חלוקת אדמות ועוד. הם הכירו שיטות לחישוב שטחיהם של מלבנים, טרפזים ומשולשים ישרי-זווית או שווי-שוקיים, ואת נפחיהן של תיבות, אם כי לעיתים הם שגו. כמו כן, הם הכירו קירוב לפאי: $\ 4\times {(8/9)}^{2}$ ששווה ל-3.16 לערך (לעומת הערך האמיתי שקרוב יותר ל-3.14), קירוב שנמצא בעקבות מדידות גאומטריות של היחס בין היקף המעגל לקוטרו, וכן שהיחס בין שטח עיגול להיקפו שווה ליחס בין שטח ריבוע החוסם אותו להיקפו. במאה ה-19 לפנה"ס הצליחו המצרים ליצור דוגמה לחישוב נפח פירמידה בעלת בסיס ריבועי. לא התקיימה הפרדה בין אריתמטיקה לגאומטריה במקורות המצריים.

אפילו ביוון העתיקה, ערש המתמטיקה הדדוקטיבית, מצרים נחשבה למולדתה של המתמטיקה ובמיוחד של הגאומטריה. עדויות לכך ניתן למצוא בכתביהם של אריסטו, אפלטון והרודוטוס.

בבל

הספרות הבבליות – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה האשורים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לחשבונייה. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחות השימוש בה (להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו: בסיס סקסגסימלי).

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת (שיטה פוזיציונלית), בדומה לשיטה העשרונית בימינו, אם כי בסיס הספירה היא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה). למספר 0 לא יוחד סימן משלו עד לתקופה מאוחרת יחסית (300 לפנה"ס לערך), ופעמים רבות ניתן היה להבדיל בין 10X לבין X, למשל, רק בעזרת ההקשר.

בטבלאות אשר נמצאו על הפרת ומתוארכות לשנת 2000 לפנה"ס נמצאו ריבועי המספרים עד 59 וחזקותיהם השלישיות של המספרים עד 32. הבבלים עשו שימוש בזהויות: $\ ab={\frac {[(a+b)^{2}-b^{2}-a^{2}]}{2}}$ או $\ ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$ ובטבלאות המתוארות לעיל, כדי לפשט את חישוביהם. לבבלים לא היה אלגוריתם לחילוק ארוך, לכן השתמשו בעובדה שמתקיים ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$ ובטבלה של מספרים הופכיים לחילוק.

פלימפטון 322 הוא לוח חרסית שמקורו בבבל, והוא מתוארך לשנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הפרשנויות באשר ללוח זה חלוקות. על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית, ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית, ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו. בכל אופן, סביר להניח כי העדויות על פתרון בעיות מתמטיות מורכבות יחסית אינם מעידים על קיומם של אלגוריתמים אלגבריים מגובשים, וכי פתרונם של אלה נעשה על ידי התבוננות בטבלאות.

ובכל זאת, יש הרואים בבבל את ראשית האלגברה. אכן, הבבלים הציגו חישובים שדומים לאלגברה המודרנית בחלק מעקרונותיה, וחלק מהבעיות יכלו להיפתר בעזרת משוואה ממעלה שנייה. התגלתה, לדוגמה, טבלה המציגה את ערכי $\ n^{3}+n^{2}$ בעבור כל n טבעי עד 30. כמו כן נמצאה על אחת מלוחיות החימר מהתקופה הבבלית בעיה שניסוחה הוא: "החסרתי את הצלע של הריבוע מהשטח, וזה 870", ופתרונה הוא שצלע הריבוע היא 30. את המשוואה אפשר לתרגם בכתיב מודרני ל-$\ x^{2}-x=870$. יש ויכוח בקרב החוקרים אם אכן הבבלים חשבו על המספרים בצורה מתמטית מופשטת, או שה"אלגברה" שלהם הייתה מבוססת על הסתכלות בטבלאות ותו לא, ושראייתה כאלגברה היא אנכרוניסטית.

לבבלים היו גם מספר הישגים בגאומטריה. הקירוב לפאי שהוזכר לרוב בכתביהם היה אמנם 3, פחות מדויק מהקירוב המצרי, אך הם מצאו קירוב טוב ביותר לשורש ריבועי של 2, שהוא היחס בין צלע של ריבוע לאלכסון שלו: $.1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}$ קירוב בדיוק של ארבע ספרות סקסגסימליות, שהן כשש ספרות דצימליות (עשרוניות). מכיוון שהשורש הריבועי של 2 מקבל את משמעותו הגאומטרית על פי משפט פיתגורס, ובשל ממצאי לוח פלימפטון - ייתכן שהבבלים הכירו את המשפט, אך לא סביר שהם ידעו להוכיחו (או להוכיח כל משפט אחר). הגאומטריה הבבלית הייתה יישומית ולא מופשטת, וודאי שלא דדוקטיבית. בכל אופן, יש ראיות לכך שהם ידעו לחשב את שטחיהם של מצולעים משוכללים בני שלוש עד שבע צלעות, וכן להשוות בין שטחם לשטח של מרובעים הבנויים על צלעותיהם.

יוון העתיקה

האותיות בהם השתמשו היוונים כמספרים בשיטה האטית:

המספר:	50,000	10,000	5,000	1,000	500	100	50	10	5	1
הסימן:	πμ	μ	πχ	χ	πη	η	πδ	δ	π	ι
שמו היווני:	πεντάκις μύριοι	μύριοι	πεντάκις χίλιοι	χίλιοι	πενταόσιοι	έκαου	πέντήκοντα	δέκα	πέντε	εϊξ

אחת מתרומותיה החשובות של יוון העתיקה לאנושות היא פיתוח המתמטיקה. היוונים נחשבים ליוצרי השיח המדעי ומושג ההוכחה המתמטית, וכן לראשונים שעסקו במתמטיקה לשם עצמה, כלומר כתחום מחקרי עיוני ומופשט ולא רק כעזר שימושי. עם זאת, לצדה של המתמטיקה הטהורה התפתחה מתמטיקה שימושית, ששימשה לצרכים יומיומיים ולקידום המדע (ובמיוחד האסטרונומיה).

לאורך רובה המוחלט של ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון, היוונים נהגו לבטא כמעט את כל המתמטיקה במונחים גאומטריים; לדוגמה, מספרים אי-רציונליים (שהיוונים היו הראשונים לעסוק בהם) נקראו "קטעים חסרי מידה משותפת". למסורת זו הייתה השפעה על מתמטיקאים רבים לאורך מאות שנים.

המונח מתמטיקה יוונית קלאסית מתייחס למתמטיקה שהייתה קיימת עוד לפני התקופה ההלניסטית, כאשר מתמטיקה נכתבה בשפה היוונית רק בתחומי יוון. מאז תחילת התקופה ההלניסטית, בסוף המאה הרביעית לפני הספירה, התפשטה השפה היוונית, ומלומדים כתבו בשפה זו בכל חלקו המזרחי של אגן הים התיכון. זרימת הרעיונות הביאה לכך שהמתמטיקה היוונית ספגה ובלעה את המתמטיקה המצרית והבבלית; המתמטיקה בת תקופה זו נקראת מתמטיקה הלניסטית.

מרבית הטקסטים המתמטיים שנכתבו ביוונית נמצאו ביוון, מצרים, מסופוטמיה, אסיה הקטנה, סיציליה ודרום איטליה.

שיטת הספירה הראשונה שבה השתמשו היוונים מבוססת על בסיס עשרוני. הסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומן באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור ממנו השיטה התפתחה - אטיקה.

האותיות בהן השתמשו היוונים כמספרים בשיטת ה"גרשים":

המספר:	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסימן:	θʹ‎	ηʹ‎	ζʹ‎	στʹ‎	εʹ‎	δʹ‎	γʹ‎	βʹ‎	αʹ‎
המספר:	90	80	70	60	50	40	30	20	10
הסימן:	ϟʹ‎	πʹ‎	οʹ‎	ξʹ‎	νʹ‎	μʹ‎	λʹ‎	κʹ‎	ιʹ‎
המספר:	900	800	700	600	500	400	300	200	100
הסימן:	ϡʹ‎	ωʹ‎	ψʹ‎	χʹ‎	φʹ‎	υʹ‎	τʹ‎	σʹ‎	ρʹ‎

בתקופה מאוחרת יותר, השתמשו היוונים בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי 22 אותיות האלפבית היווני. לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות, בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה; תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והאותיות שלאחריהן ייצגו את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותן אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.

המתמטיקאי הבולט הראשון ביוון העתיקה, ויש האומרים בתולדות האנושות, הוא תאלס (624 לפנה"ס - 546 לפנה"ס בקירוב). לא יהיה זה משולל יסוד להניח שהוא האדם הראשון שהוכיח משפט מתמטי, ולא רק גילה אותו. תאלס הוכיח בין השאר (אם כי ההוכחות שלו אינן פורמליות כמו אלו המודרניות), שהקוטר מחלק את המעגל לשני חלקים שווים, שזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות זו לזו וששני משולשים השווים זה לזה באורכים של שתי צלעות בהתאמה ובזווית שביניהן, הם חופפים. שני משפטים שהוכיח קיבלו את השם "משפט תאלס": "ישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים" הוא משפט תאלס הראשון ו"הזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה" הוא משפט תאלס השני. מיוחסות לו גם שיטות למדידת גובהן של הפירמידות בעזרת מדידת הצל שלהן; ולקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף (בגלל כדוריות פני הים).

מספר מצולע הוא מספר שניתן לייצגו באמצעות מצולע משוכלל. ניתן לייצג את המספר 36 הן כמשולש משוכלל והן כמרובע משוכלל (ריבוע), ולכן הוא מספר משולשי ריבועי

בשנים 582 לפנה"ס עד 496 לפנה"ס, בקירוב, חי מתמטיקאי חשוב במיוחד - פיתגורס. המקורות הראשוניים עליו מועטים, וההיסטוריונים מתקשים להפריד את העובדות משכבת המסתורין והאגדות שנקשרו בו. ידוע שסביבו התקבצה האסכולה הפיתגוראית, מעין כת פסבדו-מתמטית שהאמינה ש"הכל מספר", או ליתר דיוק הכל ניתן לכימות, וייחסה למספרים משמעויות מיסטיות. ככל הנראה הפיתגוראים ידעו לבנות את הגופים האפלטוניים, הכירו את הממוצע האריתמטי, הממוצע הגאומטרי והממוצע ההרמוני והגיעו להישגים חשובים נוספים. בין סוגי המספרים שהתעניינו בהם הם מספרים מצולעים (משולשיים, ריבועיים וכולי) ומספרים משוכללים, שני סוגי מספרים שככל הידוע הפיתגוראים היו הראשונים לעסוק בהם באופן מדעי. ניתן לומר שהפיתגוראים גילו את היותו של השורש הריבועי של 2, שהוא גם האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו 1, אי רציונלי, אך תגליתם הייתה למעשה רק שהקטעים הם "חסרי מידה משותפת", ומושג המספר האי רציונלי נוצר מאוחר יותר. משפט פיתגורס, שהיה ידוע להם, קיבל את שמו מפיתגורס, אף על פי שכמעט ודאי שהוא היה ידוע עוד קודם, ואין ראיות לכך שהפיתגוראאקסים ידעו להוכיח אותו.

השפעתם של הפיתגוראים ניכרה גם בכתבי הפילוסוף החשוב אפלטון (427-8 לפנה"ס - 347 לפנה"ס), שהוקסם מההרמוניה שמצא במתמטיקה, וסבר שיש ללמדה הן למען פיתוח החשיבה והבנה מעמיקה יותר של העולם, והן לצרכים מעשיים. על שער האקדמיה האפלטונית רשם: "הא-גאומטרי [חסר הידע בגאומטריה] בל ייכנס לכאן". בדיאלוג "המדינה" כתב:

כי לאיש מלחמה הכרחי הוא לימוד זה [של אריתמטיקה] לשם עריכת המערכות, וכן לפילוסופים לשם השגת הישות, לאחר שהוא מתעלה מעל לתחום ההתהוות..."

הוא לא הגיע להישגים מתמטיים בעצמו, אך עודד מתמטיקאים וכונה "יוצר מתמטיקאים". תלמידו, הפילוסוף הנודע אריסטו, הלך בדרך מורו ורומם את המתמטיקה בכתביו כ"עומדת באמצע הדרך בין פיזיקה לבין מטאפיזיקה". הוא כתב על פילוסופיה של המתמטיקה, וכן תרם תרומות למתמטיקה, בין השאר בהבחנה החדה בין אקסיומות לבין פוסטולטים.

בתקופה שלאחר פיתגורס פעל היפוקרטס מכיוס (בקירוב 470 לפנה"ס עד 410 לפנה"ס), שתרם תרומות חשובות לגאומטריה היוונית, במיוחד בנושאי הצורות החסומות. בתקופתו, פחות או יותר, נהגו הבעיות הגאומטריות של ימי קדם: בניית קובייה שנפחה בדיוק כפול מזה של קובייה נתונה, שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים), תרבוע העיגול (בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון) ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות - כל אלו באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. רק במאה התשע עשרה הוכח בעזרת תורת גלואה שהבעיות הללו בלתי פתירות, אך הניסיונות לפתרן תרמו תרומה עצומה להתפתחות המתמטיקה בכלל והמתמטיקה היוונית בפרט. להיפוקרטס מכיוס היו מספר תובנות חשובות על הבעיות האלו. מעט אחרי היפוקרטס חי אאודוקסוס מקנידוס (ככל הנראה 408 או 410 - 347 או 355 לפנה"ס), שחקר יחסים בין מספרים ופיתח שיטה למציאת שטחו של עקום.

הוכחתו של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים: "נניח שיש רק מספר סופי של מספרים ראשוניים. ניקח את כל הראשוניים הללו, נכפיל אותם זה בזה ונוסיף 1. התוצאה שקיבלנו נותנת שארית 1 בחלוקה לכל אחד מהמספרים הראשוניים. לכן תוצאה זו אינה מתחלקת באף אחד מהראשוניים – היא חייבת להיות מספר ראשוני נוסף, או להתחלק במספר ראשוני שאינו ברשימת המספרים הראשוניים שלנו. בכל מקרה קיבלנו שההנחה שיש מספר סופי של ראשוניים מובילה לסתירה, ולכן הנחה זו אינה נכונה, כלומר יש מספר אינסופי של ראשוניים." (אוקלידס, יסודות, ספר תשיעי, משפט 20)

תרומה יוצאת דופן להתפתחות המתמטיקה תרם אוקלידס מאלכסנדריה, שחי, כמשוער, בין 365 ל-275 לפני הספירה. הוא כתב מספר חיבורים, אך החשוב שבהם הוא ללא ספק הספר "יסודות", מהספרים המתמטיים המשפיעים ביותר בכל הזמנים. הספר, בן שלושה עשר הכרכים, עוסק בגאומטריה ובאריתמטיקה, ותורם תרומות חשובות בשניהם. למעשה הוא בנוי במתכונת של ספר לימוד, וקשה להפריד מה בו מקורי ומה תוצר עבודתם של מתמטיקאים קודמים. המתמטיקה בו היא ריגורוזית יותר מאי פעם - ההוכחות לא רק מדוקדקות באופן חסר תקדים לזמנו, אלא גם מבוססות על הגדרות יסודיות למושגים בסיסיים כמו נקודה וקו ישר, ועל הנחות יסוד שאין צורך להוכיחן. למעשה, בניגוד לזמננו, הנחות היסוד מחולקות לפוסטולאטים, שהם טענות הישימות רק לתחום ידע מסוים, במקרה זה מתמטיקה (לדוגמה: "דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קו ישר, ורק אחד") ולאקסיומות שנכונות לכל תחומי הידע ("השלם גדול מחלקו"). בספר בולט במיוחד מספרן הרב של הוכחות בדרך השלילה. בין הגילויים המופיעים בו לראשונה: ההוכחה המפורסמת לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, שהתבססה על הוכחה חשובה אחרת למשפט היסודי של האריתמטיקה; ההוכחה לכך שכל מספר מהתבנית $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$, (שבה $\left(2^{n}-1\right)$ הוא מספר ראשוני) - הוא משוכלל; ההוכחה לכך שחמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים שניתן לבנות; ועוד משפטים חשובים רבים. זהו ספר היסוד של הגאומטריה. למעשה הגאומטריה של אוקלידס, שהייתה הגאומטריה היחידה בנמצא במשך אלפי שנים, נקראת "גאומטריה אוקלידית", כיוון שבמאה ה-19 פותחו גאומטריות לא אוקלידיות, ששוללות את הפוסטולאט החמישי: "אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד - הם ייפגשו."

שתי אגדות על אוקלידס מתמצתות את השינוי המחשבתי האדיר שחל במתמטיקה היוונית לעומת קודמותיה. על פי האחת, אוקלידס הסביר הוכחה קשה למלך מצרים תלמי הראשון, ולאחר שסיים להסביר, שאל אותו המלך: "האם אין דרך קצרה ומהירה יותר ללמוד גאומטריה?" על כך, על פי האגדה, ענה אוקלידס: "הוד מלכותך, אין "דרך המלך [דרך קצרה]" לגאומטריה". אגדה אחרת מספרת על מתלמד ששאל אותו מהם היתרונות המעשיים בלימוד המתמטיקה. בתגובה לכך ביקש אוקלידס ממשרתו לתת לנער מטבע כסף, באומרו שהוא "חייב להרוויח מכל דבר אותו הוא לומד", ושילחו לדרכו. אגדות אלו נותנות יחס של כבוד למתמטיקה, אף שקשה להבינה ובלי קשר ליישומיה המעשיים.

הדגמה לשיטת המיצוי של ארכימדס

בין השנים 287 - 212 לפנה"ס חי ארכימדס, שנחשב לאחד מגדולי המדענים של העת העתיקה אם לא הגדול שבהם. מלבד הישגים רבים בפיזיקה, כגון גילוי חוק ארכימדס וההצגה הראשונה של רעיון מרכז הכובד, ארכימדס תרם רבות גם למתמטיקה. הוא הגה את שיטת המיצוי, שיטה דמוית-אינטגראציה שבעזרתה ניתן לחשב שטחים ונפחים שונים. בעזרת השיטה ניתן לחשב, בהינתן הקוטר או הרדיוס, את ההיקף של מעגל (ובעקבותיו את פאי, השווה ליחס בין היקף המעגל לקוטרו), באופן הבא: נחשב את היקפם של מצולע חוסם ומצולע חסום במעגל, ומכיוון שהיקף המעגל קטן מהיקף המצולע החוסם וגדול מהיקף המצולע החסום - אפשר לחשב את היקף המעגל בכל רמת דיוק שנרצה, בעזרת הגדלת מספר צלעות המצולע. בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי הוא חישב שטחים ונפחים של מצולעים ושל פאונים. הוא גם גילה ששטח העיגול שווה לפאי כפול ריבוע הרדיוס. הוא הוכיח שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים, ובמהלך הפתרון סיכם לראשונה את הטור גאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:

$\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}\;.$. בכך, כמו בשיטת המיצוי, הוא הקדים בכמה אלפי שנים את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ואת האנליזה המתמטית שמושג הגבול ובפרט גבול של סדרה הוא בסיסי מאוד בהן. הישגים מתמטיים נוספים אליהם הגיע ארכימדס: אומדן מדויק למדי לשורש הריבועי של 3, הוכחה שהיחס בין נפחו לבין שטח פניו של כדור שווה לשני שלישים מהיחס המקביל בגליל החוסם את הכדור, תרבוע העיגול (בשימוש באמצעי שאינו סרגל ומחוגה), ועוד. ההיסטוריון של המתמטיקה אריק טמפל בל מנה אותו כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, ובוודאי הוא שייך לשורה הראשונה של המתמטיקאים בעת העתיקה בפרט ובתולדות המתמטיקה בכלל.

אחד החיבורים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו ביוון העתיקה הוא "קוניקות" של אפולוניוס מפרגה (כמשוער, בין 262 ל-190 לפנה"ס), שהוא חיבור מדורג ודדוקטיבי בסגנון "יסודות" של אוקלידס העוסק בחתכי חרוט, שהם: המעגל, הפרבולה, ההיפרבולה והאליפסה. הוא מכיל שמונה ספרים, מהם שבעה נשתמרו עד ימינו (ארבעה במקור היווני ושלושה בתרגום). בחיבור זה מראה לראשונה אפולוניוס שחתכי חרוט מתקבלים לא רק מחיתוך בין מישור אנכי לבין חרוט חד-זווית, ישר-זווית או קהה-זווית - אלא כולם יכולים להתקבל מחרוט אחד אם נשנה את זווית החיתוך. כנראה בשל איכותו ותרומתו, לא נותר עוד זכר כמעט לחיבורים אחרים על חתכי חרוט מהתקופה שלפני ה"קוניקות".

לאחר אפולוניוס חלה האטה מסוימת בפוריות המתמטיקאים היוונים. היפרכוס (מוערך 120 - 190 לפנה"ס), מנלאוס מאלכסנדריה (מוערך 70–140) ותלמי (85–165 לערך) היו ממפתחי הטריגונומטריה הספירית. הרון מאלכסנדריה (10 - 70 לספירה) הציג והוכיח את נוסחת הרון. פאפוס מאלכסנדריה, מתמטיקאי שפעל בתחילת המאה ה-4 לספירה, כתב את ה"סינגוגה" (מילולית: אוסף), חיבור אנציקלופדי העוסק בגאומטריה, שבין השאר הוא מקור הידיעה הכמעט בלעדי שלנו על האנליזה היוונית, וגם מכיל הוכחה לכך שהמצולע המשוכלל הוא הגדול ביותר בשטחו מבין המצולעים בעלי אותו היקף ואותו מספר צלעות. הפילוסוף הנאופלאטוני פרוקלוס (411- 485) כתב פירוש מפורסם מאוד ל"יסודות" של אוקלידס, שמספק ידע רב מאוד על ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון. מעל כולם ישנו דיופנטוס (200–284), וספרו רב ההשפעה "אריתמטיקה", שהיו שהקבילו אותו ל"יסודות" מבחינת המבנה וההשפעה ("יסודות" בגאומטריה ו"אריתמטיקה" באריתמטיקה). ב"אריתמטיקה" דן דיופנטוס במשוואות מהמעלה הראשונה והשנייה, ומפתח שיטת סימון הקרובה יחסית לזו של האלגברה המודרנית.

רומא העתיקה

שעון רחוב בגרמניה עם ספרות רומיות

התרבות הרומית הרבתה לקחת השראה מתרבות יוון העתיקה בתחומים כמו אמנות ופילוסופיה, ולפתח את הרעיונות שנלקחו משם, אולם במתמטיקה הם לא חוללו שום התקדמות של ממש. גם המתמטיקה הלא מפותחת שהייתה בידי הרומים נלקחה בעיקר מהאטרוסקים וממקורות אחרים, קדומים ליוון העתיקה. באופן כללי, לא נרשם ברומא עניין רב בנושאים מדעיים שאינם קשורים לחיי היום יום באופן ישיר, וכך המתמטיקה שלהם הייתה לא מפותחת ובעיקרה מעשית. הבעיות המתמטיות המעטות התייחסו למקרים ספציפיים ולוו בסיפור רקע, וריגורוזיות ודאי שלא הייתה.

בהקשר המתמטי, רומא זכורה בעיקר בשל הספרות הרומיות. שיטת הספירה ברומא מכילה 7 אותיות לטיניות, שבעזרתן בוטא כל מספר:

• I = אחת
• V = חמש
• X = עשר
• L = חמישים
• C = מאה
• D = חמש מאות
• M = אלף

השיטה היא לא פוזיציונלית, כלומר ערכה של ספרה לא משתנה בהתאם למקומו במספר. לעומת זאת, לעיתים ספרות מסמנות, בהתאם למקומן במספר, שיש לחסר את ערכן מהסכום ולא להוסיפו. שיטת הספרות הרומית התפשטה והפכה לשיטת הספירה המקובלת ביותר בזמנה, עד שהוחלפה בשיטה ההודית-ערבית, שבה אנו משתמשים עד היום. הספרות הרומיות עודן משמשות לקישוט (למשל בשעונים) ולמספור (למשל: פרקים בספרים).

חשיבות אחרת שיש לתרבות הרומית בהיסטוריה של המתמטיקה היא חשיבות תרבותית. ברומא העתיקה הוכללו לראשונה האריתמטיקה והגאומטריה כחלק משבע האמנויות החופשיות, שעל כל רומאי משכיל לדעת. כמו כן, בכתבי ההיסטוריה הרומיים, כמו אלו של פליניוס הזקן, מופיעים לא מעט הסברים על ההיסטוריה של המתמטיקה, שלמרות חלקיותם מהווים מקור פורה להיסטוריונים של ימינו.

תרבויות העמים הילידים באמריקה

המאיה

המספרים מ-0 ועד 19, בספרות המאיה

המאיה היא תרבות אינדיאנית שפרחה באמריקה המרכזית במאות ה-3 עד ה-16 לספירה, ובמיוחד במאות ה-8 וה-9. תרבותם המפותחת ועניינם הרב באסטרונומיה היוו כר פורה לפיתוח שיטת ספירה מתקדמת ביותר לתקופתה.

תרבות המאיה פיתחה, כשש מאות שנה לפני השיטה העשרונית ההודית, שיטה פוזיציונלית משלה. בסיס השיטה הוא 20, ויש רק 3 סימני ספרות: 0, 1 ו-5, בעזרתן ניתן לבטא כל מספר. בכתבי המאיה התגלו מספרים בסדר גודל של מיליונים הכתובים בשיטה זו.

מאפיין מעניין במיוחד של שיטת הספירה הזו הוא, שבעוד שרוב הספרות ייצגו כמות גדולה פי 20 מהספרה שקדמה להן - הספרה השלישית ייצגה כמות גדולה פי 18 מהשנייה. כך, הספרה הראשונה מודדת אחדות, השנייה מודדת "עשרימיות", השלישית "שלוש מאות ושישימיות" (20*18), הרביעית "שבעת אלפים מאתימיות" (20*18*20), וכך הלאה. תכונה זו נגזרה, כמעט בוודאות, מלוח השנה "האב", שבו יש 18 חודשים בני 20 יום כל אחד, ועוד חודש אחד בן חמישה ימים שנחשב למביא מזל רע.

מעבר לכך, ככל הידוע, לא הגיעה המתמטיקה של המאיה להישגים של ממש. שיטת הספירה סייעה בידם של האסטרונומים, שלהם היו הצלחות מרשימות ביחס לתקופתם, וכן לחישובים הקשורים ללוח השנה המקומי המתוחכם והמתקדם

האינקה

קיפו- החבלים המשתלשלים מכילים מידע מספרי

החל מ-1200 לערך עד 1532, עת נכבשה בידי האימפריה הספרדית, התקיימה באמריקה הדרומית אימפריה בשם "אינקה", שמו של העם שעמד בבסיס האימפריה, אך התקיים עוד לפניה. במאה ה-15 הרחיבו הקיסר "פַּאצַ'אקוּטִי" ולאחריו בנו ויורשו טופאק אינקה יופאנקי את תחומי האימפריה, והפכו אותה לגדולה שבאימפריות באמריקה בתקופה הפרה-קולומביאנית, או במילים אחרות לפני הגעת האירופאים ליבשת. מאות שבטים, על מנהיגיהם ושפותיהם השונות, התאחדו ויצרו תרבות ענפה שאליה השתייכו כעשרה מיליון בני אדם. תרבות זו כללה ממשל ציבורי, צבא, אדריכלות, דת (המיתולוגיה של האינקה) ועוד.

לאינקה, באופן יוצא דופן לאימפריה כה גדולה ומפותחת תרבותית, לא היה כתב. לשם שמירת המידע הכמותי, בני האינקה השתמשו במתקן הנקרא קיפו. מכשיר זה מכיל חבל ועליו תלויים חבלים קטנים ממנו. כמותם ומיקומם של קשרי החבלים ייצגו מספרים בשיטה עשרונית. צבעם ומיקומם של החבלים, וכן סוג הקשר ומבנה הקשרים, הפרידו בין המספרים השונים בקיפו אחד.

הכובשים הספרדים השאירו אחריהם שלל תיאורים ואיורים של הקיפו. אינקה גרסילאסו דה לה וגה, בנם של אב ספרדי ואם בת האינקה, כתב:

בהתאם למיקומם, הקשרים סימנו יחידות, עשרות, מאות, אלפים, עשרות אלפים, ובאופן יוצא דופן מאות אלפים, וכולם ערוכים היטב על חבליהם השונים כספרות אותן מעלה רואה חשבון על הכתב, עמודה לאחר עמודה, בספר חשבונותיו.

ההנחה לפיה הקיפו שימש רק לתיעוד כמויות התערערה עם מחקרם של החוקרים רוברט ומרשיה אשר, ארכאולוג ומתמטיקאית, אשר שיערו שכ-20% מהקיפו שבידינו הם "בבירור לא מספריים". כיום יש מחלוקת בנושא זה.

הפרואני פליפה גואמן פומה דה איילה כתב כרוניקה רחבת היקף, בה ניסה לסכם את ההיסטוריה של תרבויות האנדים, מהאנשים הראשונים עד לאינקה (שמוצאם מהאנדים) ולכיבוש הספרדי של אימפריית האינקה, ושלח לפליפה השלישי, מלך ספרד. בכרוניקה נכללים איורים רבים, כולל כמה של קיפו, וכן של "לוח ספירה" שנקרא "יופאנה", מעין חשבונייה. היסטוריונים חלוקים בדעתם אכן האם מדובר במכשיר של האינקה, או שמא ייתכן כי הוא הגיע עם הכובשים הספרדים. כומר ספרדי שחי בקרב בני האינקה בשנים 1571–1586 כתב כי הם ביצעו חישובים מורכבים, ש"למחשב (אדם העוסק בחישוב) מוכשר יידרשו נייר ועט כדי לחשבם", בעזרת גרעינים.

אין הרבה עדויות על פיהן אפשר לקבוע את מידת העומק של חשיבתם המתמטית של בני האינקה. החוקר גרי אורטון, מומחה לתרבויות האנדים, טען בספרו "חייהם החברתיים של המספרים: אונטלוגיה קצ'ואית של המספרים ופילוסופיה של האריתמטיקה" כי לאינקה לא היה מושג מספר מופשט הנפרד מעצמים מכומתים.

תרבויות המזרח הרחוק

הודו

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו למכלול ועזרו לערוך אותו. הסיבה היא: ניסוחים מעט מרושלים.

למתמטיקה בהודו היו מספר פיתוחים חשובים, אך המפורסם והחשוב שבהם הוא השיטה העשרונית הפוזיציונלית (מיקומית) ומושג ה-0. עם זאת, במובן מסוים הייתה המתמטיקה ההודית חזרה אחורה ביחס למתמטיקה היוונית, כיוון שהייתה פחות ריגורוזית ויוחס לה פחות ערך פילוסופי. המתמטיקה ההודית נכתבה ברובה בחרוזים ובסגנון מיסטי.

בין השנים 2500 לפנה"ס ל-1700 לפנה"ס לערך התקיימה בהודו תרבות עמק האינדוס. אנשי תרבות זו אימצו מערכת של מידות ומשקולות המבוססת על חלוקה עשרונית של "מידות טבעיות". בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים על שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל, וכן ביחידת מידה אחרת שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע.

כשירדה קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים. ספרי הקודש שלהם, הוודה, כללו בין השאר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש העוסק בבניית מזבחות לשם הקרבת קורבנות. ספר זה הוא דתי בעיקרו, אך מציג מתמטיקה מתקדמת. בין השאר נמצאים בו נוסח של משפט פיתגורס ("האלכסון במלבן יוצר שטח השווה לסכום השטחים ששתי צלעות המלבן יוצרות בנפרד"), בעיית בניית מזבח מרובע ששטחו שווה למעגל נתון (בעיה מקבילה לבעיית "תרבוע העיגול" של היוונים), וקירוב מדויק לשורש הריבועי של 2: ${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}(1+{\frac {1}{4}}(1-{\frac {1}{34}}))={\frac {577}{408}}\approx 1.4142156$, מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה. אין זכר להוכחות בטקסט זה.

בסביבות המאה ה-3 לפנה"ס הופיעו הספרות הברהאמיניות. במובן מסוים הן המקור לשיטה העשרונית המודרנית, אך הן אינן מפותחות כמו שיטת הספירה ההודית המאוחרת יותר.

עם שקיעתה של הדת ההודית, החלו להתבסס דתות אחרות. הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה על בסיס ההינדואיזם, הייתה אחת מהן. הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (למשל, לכתיבת לוחות שנה) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות. עם זאת, המתמטיקה נתפסה עדיין כמדע שימושי או ככלי יישומי. כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה לפיתוח רעיונות בנושא האינסוף, שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גאורג קנטור.

במאות ה-5 עד ה-7 לספירה חיו שני מתמטיקאים חשובים במיוחד: אריאבהטה ובראהמגופטה.

אריאבהטה (476-550 לספירה) הוא אחד מגדולי המתמטיקאים ההודים. הוא נחשב לאבי השיטה העשרונית. עבודתו ה"אריאבהטיה" שפרסם בגיל 23 השפיעה רבות על המתמטיקה ההודית. בין השאר נמצאים בחיבור: אלגוריתם להוצאת שורש ריבועי ושלישי, הנוסחה לאורך צלע משושה משוכלל, רעיון הרדיאן, הוכחה בעזרת דמיון משולשים, משפט פיתגורס, והנוסחאות לחישוב סכום האיברים בסדרה חשבונית, או לחלופין מספר האיברים, אם ידועים סכום הסדרה והאיבר הראשון. הקירוב המוצג ל-π הוא "חבר ארבע למאה אחת, הכפל בשמונה, והוסף שוב ששים ושניים אלף, התוצאה היא ערכו בקירוב של π כאשר הקוטר הוא עשרים אלף", כלומר בדיוק 3.1416, שהוא קירוב בדיוק של אלפית. תוצאות אלו מראות על הבנה מתמטית מרשימה לתקופתו. עם זאת, במדידת הנפחים נפלו כמה טעויות. נראה שהוא הושפע מהמתמטיקה יוונית. פרשן בולט שלו הוא בהסקרה הראשון (600-660 בקירוב).

בשנים 598–668 חי המתמטיקאי והאסטרונום החשוב בראהמגופטה. הוא עבד כאסטרונום הראשי של מצפה הכוכבים בעיר אואז'ין. עבודתו החשובה, "המערכת המתוקנת של ברהמה" (Brahmasphutasiddhanta), עוסקת בעיקרה באסטרונומיה ובחישובים אסטרונומיים (ככל הידוע לנו הוא החוקר ההודי הראשון שהשתמש באלגברה לצרכים אסטרונומיים), אך כוללת ארבעה פרקים (מתוך עשרים ושלושה) של מתמטיקה טהורה, שהם הפרקים המשפיעים ביותר בספר. הוא מושפע רבות ממתמטיקאים ואסטרונומים הודים קודמים, כמו וורהמירה ואריאבהטה, ולרוב מגיע להישגים טובים משלהם. הוא עסק במשוואות (לדוגמה משוואות פל), בכדוריות, במדידת נפחים (בנושא זה היו לו טעויות לא זניחות) ועוד. למרות הגיוון בנושאיו, החידוש הגדול בספר הוא שבו הופיע לראשונה האפס כמספר בפני עצמו, ולא רק כמציין מקום חסר, ואף הגדיר אותו כתוצאת חיסור מספר מעצמו. הוא ניסח את כללי הפעולות עם אפס: "אם מוסיפים או מורידים ממספר אפס הוא נשאר ללא שינוי, אם מכפילים מספר באפס התוצאה היא אפס". כמו כן, בספרו התקיימו המספרים השליליים ("חוב") וההפרדה בינם לבין החיוביים ("הון"), נרשמו כללים לפעולות במספרים חיוביים, שליליים ובאפס המזכירים את אלו המודרניים, והוא אף הכליל פתרונות שליליים כפתרונות קבילים למשוואותיו. עבודתו של בראהמגופטה היוותה הבסיס לשני תחומים מרכזיים, אם לא שני התחומים המרכזיים, במתמטיקה ההודית, "מתמטיקה של אלגוריתמים" המקבילה בקירוב לאריתמטיקה, ו"מתמטיקה של משוואות" המקבילה בקירוב לאלגברה.

בראהמגופטה השפיע רבות על המתמטיקה ההודית. מהווירה, בן המאה התשיעית, פיתח את רעיונותיו. במאות ה-9 עד ה-11, בכל אופן, לא היו תרומות מתמטיות רבות מלבד פרשנויות לספרים מוקדמים יותר וחישובים אסטרונומיים למיניהם. במאה ה-12 הייתה התקדמות מה במתמטיקה ההודית, ובעיקר השפיע ספרו של בהסקרה השני "כתר השיטה האסטרונומית", שבו נכללו גם כללי כפל וחילוק למספרים חיוביים ושליליים. ספר זה נחשב לשיא הרמה אליה הגיעה המתמטיקה ההודית. בכל אופן, תרומה משמעותית כזו של אריאבהטה ובראהמגופטה לא חזרה על עצמה מעולם בספר בודד.

סין

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו למכלול ועזרו לערוך אותו. הסיבה היא: ניסוחים לא מדויקים, ביסוס על אתר יחיד ללא מקורות; לא אנציקלופדי.

חשבונייה סינית.

מסיבות גאוגרפיות (ההרים והים שגרמו לבידוד יחסי) והיסטוריות (כובשי סין העדיפו להתמזג לתרבות המקומית ולא לשנות אותה) התרבות הסינית התפתחה במשך שנים רבות כמעט בלי קשר לתרבויות אחרות. לפיכך, גם המתמטיקה הסינית שונה מהאחרות. במיוחד היא שונה מהמתמטיקה היוונית. בניגוד למתמטיקה היוונית, המתמטיקה הסינית לא בוססה על אקסיומות ולא עמדה בדרישת הריגורוזיות היוונית. היא התבססה רבות על חידות מתמטיות ופתרונן, ולא על משוואות כלליות. יתר על כן, היא הייתה בעיקרה מתמטיקה מעשית, שהונעה בשל נושאים כלוח השנה וגביית מסים. אף על פי כן, היו בה פיתוחים חשובים ורעיונות מתמטיים מתקדמים.

בזמן הקצר בה שלטה בסין, בסוף המאה השישית ותחילת השביעית, הצליחה שושלת סווי לאחד, במידת מה, אומה שהייתה מפולגת זה שנים רבות. החינוך האקדמי החל לצבור תאוצה, ובין השאר האקדמיה כללה לימודי מתמטיקה. השושלת שבאה אחריה, שושלת טאנג, המשיכה בדרך זו ואף החלה להפוך את לימודי המתמטיקה לפורמליים. לפיכך, המתמטיקאי לי צ'ונפנג אסף 12 ספרי מתמטיקה סיניים קלאסיים שיש ללמדם, אוסף שמשום מה הודבק לו השם "עשר הקלאסיקות" על ידי כותב מאוחר יותר. הרשימה מספקת לנו מידע לגבי הספרים שנחשבו לחשובים בתקופה הזו. נכללו בה הספרים הבאים: מחבר לא ידוע, "גּ'וֹּבִּי סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("המדריך של ג'ואו למדידת צללים") מספר מחברים, "גְּ'יוגַּ'אנְגּ סְוַּאנְשוּ" ("תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה") לִי חְוֵי, "הַאידַּוּ סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("המדריך המתמטי של איי הים") סוּן דְזְה, "סוּן דְּזְה סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("המדריך המתמטי של סון דזה") מחבר לא ידוע, "ווּצַוּ סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("המדריך המתמטי של חמש מחלקות מנהליות") שְׂיַאהוֹאו יַאנְגּ, "שְׂיַה-הוֹאו יַאנְגּ סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("המדריך המתמטי של שְׂיַאהוֹאו יַאנְגּ") גַּ'אנְגּ צְ'יוֹגְּ'יֵן, "גַּ'אנְגּ צְ'יוֹגְּ'יֵן סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("המדריך המתמטי של גַּ'אנְגּ צְ'יוֹגְּ'יֵן") מחבר לא ידוע, "ווּגִּ'ינְגּ סְוַּאנְשוּ", ("שיטות אריתמטיות בחמש הקלאסיקות") וַּאנְגּ שְׂיַה טונְגּ, "גִּ'יגּוּ סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" ("האריתמטיקה על בסיס הכללים העתיקים") שׂוּ' יְוֵּ'ה, "שׁוּשׁוּ גִּ'י-יִי" ("הערות על מסורות של שיטות אריתמטיות") דְּזוּ צ'וּנְגַּ'ה, "גְּ'וֵּי שוּ" ("שיטה לאינטרפולציה") דּונְגּ צְ'וֵ'אן, "סַאנְדֶּנְגּ שוּ" ("אמנות המעלה השלישית; סימון מספרים גדולים")

הידע שלנו על המתמטיקה הסינית שלפני המאה ה-1 לספירה מוגבל, בין השאר בשל שריפות הספרים העתיקים והוצאתם להורג של מלומדים בתקופתו של צ'ין שה-חואנג. בשנת 1100 לפנה"ס בקירוב נכתב "צ'ו פאי", חיבור שממנו אפשר ללמוד רבות על הידע המתמטי בזמן זה, למשל מהדיאלוג הבא:

שבור את הקו ועשה את הרוחב 3 ואת האורך 4; המרחק בין שתי הפאות יהא אז 5 [כנראה הכוונה למשולש ישר זווית שצלעותיו, על פי משפט פיתגורס, 3, 4 ו-5]. מה רב כוחו של מדע המספר! צורות הן עגולות או חדות; מספרים הם זוגיים או אי זוגיים.

חיבור מתמטי אחר שידוע לנו הוא ה"גּ'וֹּבִּי סְוַּאנְגִּ'ינְגּ", או "המדריך של ג'ואו למדידת צללים", המתוארך לתקופה בין 100 לפנה"ס ל-100 לספירה. הוא מכיל ידע מתמטי מורכב לתקופתו, למשל גרסה למשפט פיתגורס.

הסינים החלו להשתמש בשיטה עשרונית בערך במאה הראשונה לספירה. הם השתמשו בקני במבוק אדומים כדי לסמן מספרים חיוביים ובקני במבוק שחורים כדי לסמן מספרים שליליים ("מוטות מנייה"). ספרות היחידות והמאות הונחו לרוחב, בעוד ספרות המאות והאלפים הונחו לאורך. מאות שנים לאחר מכן השיטה התנתקה מהמוטות והפכה לשיטה כתובה המבוססת בעיקרה על קווים אופקיים ואנכיים.

הספר החשוב ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה הסינית הוא תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה (סינית מסורתית: 九章算術). ספר זה מכיל 216 בעיות מעשיות שדרכן מוצגים הרעיונות המתמטיים. הוא תוצאת התפתחות מתמטית בת מאות שנים, וחיברוהו מלומדים רבים. השפעתו על המתמטיקה של זמנו עצומה, בדומה לזו של "יסודות" במתמטיקה היוונית. בין השאר ניתן למצוא בספר: שיטות למדידת שטחים (בין השאר המשולש, הטרפז והעיגול, פעולות החשבון בשברים, משפט פיתגורס, אלגוריתם למציאת מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואות ליניאריות, רעיונות המקדימים את החשבון האינפיניטסימלי, אחוזים ועוד נושאים רבים.

השפעה גדולה מאוד יש גם לפרשנותו של לִי חְוֵי, שחי כנראה במאה השלישית לספירה, ל"תשעת הפרקים". הוא העיד על עצמו שקרא את היצירה בעודו ילד, והתעמק בה בבגרותו. הוא התאמץ יותר מקודמיו להצדיק באופן עקרוני את חישוביו, ובכך התקרב באופן יחסי לתקופתו למתמטיקה הריגורוזית והמופשטת המודרנית. בחיבור מאוחר יותר, "המדריך המתמטי של איי הים", שבמקור היה תוספת לפרשנות הנ"ל אך הפך לטקסט נפרד ורב השפעה, הוא בין השאר השתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את גובהו ומרחקו מנקודת המבט של עצם שלא ניתן לחשב נתונים אלו עליו ישירות.

התקדמותו של חְוֵי הייתה כה משמעותית, עד שבמשך דורות לאחר מכן, מעטים היו הגילויים החדשים. בספרו של סוּן דְזְה מהמאה השלישית עד החמישית לספירה, "המדריך המתמטי של סוּן דְזְה", לא נמצאים גילויים רבים שלא נמצאו בספרים קודמים, אך בכל זאת יש לו חשיבות לא מבוטלת. נכלל בו חומר בנושאי ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש ריבועי, ואף ניתן למצוא בו מעט אלגברה (על אף שהיא שונה מהאלגברה המודרנית). בו הופיע לראשונה משפט השאריות הסיני החשוב. בספרו של שְׂיַה-הוֹאו יַאנְגּ, שבו בעיות מסחר וממשל מלוות בפתרונן, בלי כללים ועם הסברים חלקיים, נמצאת שיטת ספירה עשרונית.

דְזוּ צ'וּנגָ'ה (429-501) הוכיח, בספרו "שיטה לאינטרפולציה", שפאי נמצא בין 3.1415926 ל-3.1415927, ומצא את קירוב פאי 355/113, שנכון עד שש ספרות לאחר הנקודה העשרונית. הוא ובנו, דְּזוּ גֶּנְגּ, ניסחו יחד את הנוסחה לחישוב נפח ספירה (גאומטריה), בהתבסס על רעיון מקביל לעקרון קאוואליירי.

וַּאנְגּ שְׂיַה טונְגּ (580-640 בקירוב) כתב את "האריתמטיקה על בסיס הכללים העתיקים", עבודה בת 20 בעיות בלבד שכולן בעיות מדידה. בעבודה כלולה מתמטיקה מתקדמת למדי ביחס לתקופתה, כולל משוואות ממעלה שלישית, וניתן לראות בה את ראשית האלגברה הסינית.

לאחר שְׂיַה טונְגּ המתמטיקה הסינית לא התקדמה רבות לאורך זמן רב. אף על פי שהיו עוד שיפורים קטנים, במשך מאות שנים, עד סוף המאה ה-12, לא היו חיבורים ראויים לציון. השינוי העיקרי שהתרחש בתקופה זו היה תרבותי: המתמטיקה הפכה ללימוד חובה עבור פקידים, שהיו נבחנים על מתמטיקה מתוך 12 ספרים נבחרים מההיסטוריה של המתמטיקה הסינית, שכונו, למרות מספרם, "10 הקלאסיקות". אמנם במאה ה-12 היו מתמטיקאים בעלי הישגים נכבדים, כגון גְּ'יַה שְׂיֵן ושֶׁן קְוַּה, אך הם היו זניחים למדי ביחס להתקדמויות העבר. ובכל זאת, יש להזכיר שהסינים פתרו משוואות ממעלה שנייה ואף ממעלות גבוהות יותר, וכן ייחדו סימן לאפס (שכנראה הגיע מן המתמטיקה ההודית).

קפיצת מדרגה נעשתה במאה ה-13, שהייתה תקופת שגשוג למתמטיקה הסינית. צִ'ין גְּ'יושַוּ (1202–1261) היה הראשון בשורה של מתמטיקאים רבי השפעה. בין השאר פרסם מחדש את משפט השאריות הסיני, גילה מחדש אל נוסחת הרון היוונית לחישוב שטח משולש על פי צלעותיו ועבד עם משוואות בעלות מקדם משתנה. לִי גְּ'ה כתב ב-1248 את ספרו "מראת הים של מידות המעגל" שכלל שיטה לטיפול במשוואות פולינומיות וב-1259 את ספרו "צעדים חדשים בתורת החישובים" שהכיל פתרון לבעיות גאומטריות בעזרת אלגברה. יַאנְגּ חְוֵי (1191-1279) העלה רעיונות חשובים על נושאים ככפל וחילוק, הוצאת שורשים, חישובי שטחי צורות ומשוואות מסוגים אלו ואחרים. גְּווֹ שוֹוּגִּ'ינְגּ (1231-1316) עסק בין השאר בפתירת משוואות ובטריגונומטריה ספירית. גּ'וּ שְׁה-גְּיֵה (1260-1320) פתר פולינומים עם ארבעה איברים, כמו גם מערכות ליניאריות בנות ארבע עשרה משוואות, וחישב סכומים של סדרות, הישג מרשים לכל הדעות. שה-גיה הוא, ניתן לומר, אחרון המתמטיקאים מ"תור הזהב" של המתמטיקה הסינית במאה ה-13, תקופה שלאחריה המתמטיקה הסינית הפסיקה להיות מהמתקדמות בעולם.

ימי הביניים

העולם המוסלמי

"הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון", ספרו של אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי הנחשב לאבן דרך בהתפתחות האלגברה.

האסלאם נולד במאה השביעית ועד 732 כבר שלטו המוסלמים על שטח רחב ממדים שכלל בין השאר את מסופוטמיה, מצרים, פרס, ספרד וצפון אפריקה. בימי הביניים כוחה הרב של הכנסייה הקתולית פגע בפעילות המדעית אך בארצות האסלאם המדע והתרבות התפתחו והגיעו להישגים רבים ומרשימים. המוסלמים ספגו רבות מהתגליות של יוון העתיקה וקידמו רעיונות אלה. בין המאה ה-8 למאה ה-15 גדלה במיוחד השפעתה של המתמטיקה המוסלמית.

המתמטיקה המוסלמית זכורה גם כזו שדרכה עברה השיטה ההודית-ערבית, כולל הרעיונות החדשים שהתלוו לה: השיטה הפוזיציונלית והאפס כמסמן מקום וכמספר, מהודו לאירופה (את רעיון האפס הם אף פיתחו). לימים טען המלומד והפילוסוף המוסלמי אל-בירוני (973–1048), שביקר למשך מספר שנים בהודו, שבני עמו הכירו מספר שיטות ספירה הודיות, ובחרו את זו שנראתה להם היעילה ביותר. למעשה, ההיסטוריה של שיטת הספירה המוסלמית סבוכה ביותר, ואינה מסתכמת רק בהחלטה מושכלת קולקטיבית שכזו. לפני מוחמד, הערבים סימנו מספרים במילים בלבד. הניהול הכספי של הארצות הכבושות עודדו שימוש בספרות. תחילה היה שימוש בכל ארץ כבושה בספרותיהם של הנכבשים, ואולם בהמשך במשך תקופות ארוכות התקיימו באימפריה המוסלמית, במקביל, לפחות 3 בסיסי ספירה: בסיס אונרי, שכלל סימון עבור כל יחידה והיה נפוץ בשימוש עסקי; בסיס סקסגסימלי, שהיה נפוץ בחישובים אסטרונומיים, והשיטה העשרונית שמכונה השיטה ההודית-ערבית. הגיוון בשיטות שרד זמן רב גם לאחר שהשיטה העשרונית הייתה ידועה. איש העסקים אבו אל-וואפה כתב כי "לא מצאתי לה שימוש בקרב חוגי אנשי העסקים והאוכלוסייה של הח'ליפות המזרחית במשך זמן רב". סימני הספרות עצמם השתנו משמעותית מאז, אך העיקרון נשאר זהה. רעיון אחר שהעבירו ההודים למוסלמים הוא רעיון השבר, והם ממציאיו של קו השבר.

בתקופת בית אומיה (661-750) לא התפתחה המתמטיקה, סביר להניח שבשל הזמן הקצר מאז הפך האסלאם מקבוצת תומכים במוחמד לתרבות מגובשת של ממש. מרבית ההתפתחות המתמטית נעשתה בתקופת בית עבאס, שעודד את המדעים ובראשם האסטרונומיה, הרפואה וגם המתמטיקה, והזמין לחצר המלך מומחים ממקומות שונים. הח'ליפה השני לבית עבאס, אל-מנסור (שלט 754-775), נחשב למייסד תור הזהב של האסלאם. מלומדים ממקומות רחוקות הגיעו אל חצרו של אל-מנסור. בחיבור שנכתב סביב סוף המאה ה-12, אך נשען על מקורות עתיקים יותר, מתואר מלומד הודי שהפגין יכולת מרשימה מול אל-מנסור, והאחרון הורה לתרגם לערבית את הספר עליו התבסס. בהתאם לתיאור, סביר להניח שמדובר בספר בראהמספהוטסידהאנטה של בראהמגופטה. כלומר, הדבר מבטיח שבידי הערבים היה עוד אז ספר שבו ספרות הודיות. ב-763, עלה לשלטון הארון א-רשיד. כמו אצל אל-מנסור, גם בתקופתו הייתה פריחה תרבותית ומדעית, ובפרט במתמטיקה.

במאה התשיעית הח'ליפה אל-מאמון הקים את "בית החוכמה" בבגדאד. היה זה מכון לתרגום ולמחקר ובו ספרייה. כתבי יד מדעיים רבים נלקחו מרחבי האימפריה ותורגמו לערבית. במוסלמים שלטו על מעצמות מתמטיות, בהן יוון העתיקה והודו, וחיבוריהן החשובים תורגמו בבית החוכמה. לדוגמה, חמש מעבודותיו של אוקלידס (כולל "יסודות"), שתיים של ארכימדס, כל כתבי אפולוניוס מפרגה ו"האריתמטיקה" מאת דיופנטוס. התרגומים לא הוגבלו למתמטיקה טהורה; כך תורגם, למשל, הטקסט האסטרונומי "אלמגסט" שכתב תלמי. "בית החוכמה" היה גם מקור של מחקר מקורי. ייתכן מאוד שמלומדים הודיים ששכנו שם העבירו למוסלמים את רעיון האפס.

גדול החוקרים שהניב המוסד הוא אבו ג'עפר מוחמד אל-ח'ואריזמי שחי בסביבות השנים 780–845. הוא כתב מספר חיבורים שמהם ידועים שניים. האחד הוא "Algoritmi de numero Indorum" ("אלגוריתמי על אמנות החישוב ההודית"). בתרגום ללטינית מן המאה ה-12, שהוא המהדורה היחידה ששרדה (אפילו השם המקורי בערבית לא שרד), שובש שמו של אל-ח'ואריזמי לאלגוריתמי, מה שיצר את המונח אלגוריתם. תרומתו העיקרית של הספר הייתה הצגה מתקדמת במיוחד של שיטת הספירה ההודית, כולל האפס, וכללים אריתמטיים שונים. יצירתו הבולטת השנייה, "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" ("חשבון ההשלמה וההקבלה"), חשובה אף יותר ונתנה לו מוניטין של מייסד האלגברה. "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" נחשב לספר מכונן בתולדות האלגברה (ממנו נגזר שמה) והייתה לו השפעה מאות שנים לאחר כתיבתו. הספר מחולק לשני חלקים, שרק את הראשון אפשר לכנות "אלגברי" במובנה המודרני של האלגברה, והשני כולל הצדקות גאומטריות לחישובים מהחלק הראשון. הוא כולו כולל תיאורים רטוריים ללא סימון מתמטי, וניכר כי כותבו מעדיף את שיטות ההסקה ההודיות הגמישות מאשר ההוכחות הקפדניות של היוונים, אף כי ברור שהוא מושפע מהישגי שתי התרבויות. בתחילתו נכלל הסבר כיצד לכתוב מספרים בבסיס 10. ניתנים כללים לביצוע פעולות החשבון - הן בשלמים והן בשברים. לעומת זאת, המספרים השליליים לא אומצו לא כביטויים ולא כפתרונות למשוואות. מפני שנמנע השימוש במספרים שליליים, נאלץ הכותב לחלק את המשוואה שידועה היום כמשוואה ריבועית ל-6 קטגוריות שונות, בשעה שלמעשה מדובר בייצוגים שונים של אותה משוואה. הדוגמאות המובאות לכך הן אלגוריתמיות, כלומר "מתכוניות", מכילות סדרת צעדים מספריים המובילים לתוצאה, בלי התייחסות למקרה הכללי. אותן דוגמאות בדיוק הוא מראה גם בייצוג גאומטרי.

מתמטיקאי חשוב נוסף מ"בית החוכמה" הוא ת'אבת אבן קורה, שהיה גם אסטרונום בעל השפעה. הוא היה מתרגם נחשב, ותרגם את כתבי אוקלידס, ארכימדס, אפולוניוס מפרגה ותלמי. גם תרומותיו המקוריות הן בעלות חשיבות רבה. הוא המשיך במסורת ההודית, ועסק בריבועי קסם, נושא שהיה פופולרי בהודו ובסין אך לא זכה להתייחסות בארצות ערב. הוא מצא נוסחה לגילוי מספרים ידידים, אם כי לא את כולם. גילוי חשוב נוסף שלו היא הכללת אבן קורה למשפט פיתגורס עבור משולש כללי.

אבו כאמל (בערך 850-בערך 930) הרחיב את הישגי אל-ח'ואריזמי. הוא השפיע על מתמטיקאים חשובים שבאו אחריו, כמו: לאונרדו מפיזה (פיבונאצ'י) האירופאי, ואל-קאראג'י המוסלמי.

אל-קאראג'י (953- בערך 1024) התרחק אף יותר מאל-ח'ואריזמי מהמסורת הגאומטרית. הוא הגדיר את הביטויים $\ x,x^{2},x^{3},...$, ואף את $\ {\frac {1}{x}},{\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{x^{3}}},...$, ונתן כללים להכפלתם זה בזה. בכלליו אלו כמעט וניסח גרסה שקולה לנוסחה המודרנית $x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$, אך לא הגדיר את $\ x^{0}$ כ-1. כל זאת עשה ללא שימוש בכללים גאומטריים. בנוסף, הוא ייסד מוסד לימודי שהתקיים מאות שנים לאחר מותו. אל-ח'ואריזמי ואל-קאראג'י הביאו את האלגברה לשלב התפתחות מתקדם במיוחד, וניכר כי הם היו קרובים יותר מכל קודמיהם לאלגברה המודרנית.

איבן אל-היית'ם (955-1040) נחשב לאחד ההוגים המשפיעים ביותר בהיסטוריה של המחשבה האנושית, ובפרט במדעי הטבע - גם בהישגיו הרבים וגם בגישתו המדעית המדוקדקת המקדימה את זמנה. נודע בעיקר כפיזיקאי ובייחוד כאופטיקן, אך תרומתו השתרעה על פני מגוון רחב של נושאים, בהם: פסיכולוגיה, פילוסופיה, אדריכלות, אסטרונומיה וגם מתמטיקה. הוא התעניין הן בגאומטריה והן בתורת המספרים, ובמיוחד בשילוב בין שני התחומים. הוא פיתח מעין גאומטריה אנליטית מוקדמת, והשפיע, אולי, על יסודות הגאומטריה האנליטית המודרנית של רנה דקארט ועל החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של אייזק ניוטון שבאו לאחריו. בגאומטריה הוא ניסה להוכיח את אקסיומת המקבילים בעזרת הוכחה בדרך השלילה, ובעבודותיו נמצאו רעיונות שעתידים היו להפוך לחלק מהגאומטריה הלא אוקלידית. בתורת המספרים, הוא הבין כי למשפט שהוכיח אוקלידס, לפי כל מספר מהצורה $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$, כאשר $\left(2^{n}-1\right)$ הוא ראשוני הוא מספר משוכלל, יש גם משפט הפוך תקף: כל מספר משוכלל זוגי (לא ידוע אם קיימים אי זוגיים) הוא מצורה זו - משפט שהוכח רק על ידי לאונרד אוילר.

עומר ח'יאם (1048-1131) מפרס נודע בעיקר כמשורר, במיוחד בגלל יצירתו המרובעים של עומר ח'יאם. יצירה זו היא אחת מהדוגמאות הידועות ביותר בכל הזמנים לכתיבה בסגנון "מרובעים", סגנון שמקורו ככל הנראה מפרס ובו נכתבים שירים בני ארבע שורות, שוות פחות או יותר, ובהן מסר פילוסופי קצר או רעיון הומוריסטי המתמצים לרוב בשורה האחרונה. הצלחת "המרובעים של עומר ח'יאם", שתורגם לשפות רבות שוב ושוב, עוררה שימוש בסגנון שירי זה הן בארצות ערב והן במערב (בתקופות שונות). תרומות ידועות פחות שלו, אך חשובות גם הן, נכללות בתחומי הפילוסופיה, האסטרונומיה ובעיקר המתמטיקה. ח'יאם כתב ספר אלגברה שהושפע מאל-ח'ואריזמי, ובאופן מובהק לא פחות מהמסורת הגאומטרית היוונית. בספר זה הוא חידד את ההבחנה בין אריתמטיקה לאלגברה. הוא הוסיף לששת סוגי המשוואות שציין אל-ח'ואריזמי עוד 19 סוגים, מהן 14 סוגי משוואות ממעלה שלישית. הישגו הגדול הוא יצירת שיטה לסיווג ולפתירת משוואות ממעלה שלישית בעזרת חיתוכי חתכי חרוט שונים (מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה), הישג מרשים לאור העובדה שבאירופה הגיעו לאותו הישג בעזרת אלגברה "טהורה" (ללא גאומטריה) - רק במאה ה-16. הוא גם הכיר במספרים אי רציונליים כמספרים לכל דבר, על אף שהיו אלו פתרונות "גאומטריים", כהגדרתו, למשוואותיו (לעומת פתרונות "אריתמטיים", שהם חיוביים ורציונליים). אף על פי שהושפע מהמסורת האוקלידית, הוא לא חשש להצביע על בעיות שמצא ב"יסודות" של אוקלידס: כך החליף את תאוריית הפרופורציות של אוקלידס ואאודוקסוס מקנידוס בתאוריה מספרית ולא גאומטרית, וכך לא השתמש באקסיומת המקבילים, אלא בפוסטולאטים אחרים, והגיע, כמו איבן אל-היית'ם, לתובנות שהקדימו את זמנה של הגאומטריה הלא אוקלידית.

אל-סמוואל (נולד ב-1130), מתמטיקאי חשוב למדי ממוסד הלימוד של אל-קאראג'י, הגדיר את האלגברה כך: "... ביצוע פעולות על הלא ידוע תוך שימוש בכל הכלים האריתמטיים, באותה צורה בה מבוצעות פעולות על הידוע". זוהי ההגדרה המדויקת הראשונה לאלגברה במובנה המודרני. מתמטיקאי אחר בן אותו דור, שארף אל-דין אל-טוסי (1135 לערך - 1213), המשיך בדרכו של אל-ח'ואריזמי בנושא הקשר בין אלגברה לגאומטריה, וכתב חיבור בנושא משוואות ממעלה שלישית, שהחוקר המודרני ר. ראשד מייחס לתחילת הגאומטריה האלגברית.

באופן כללי, האסטרונומיה קיבלה דגש בארצות האסלאם מסיבות מגוונות, בהן מצוות האסלאם שדרשו שימוש יומיומי באסטרונומיה (קביעת הצד הפונה לכיוון מכה כדי להתפלל אליו בכל רחבי הממלכה, חישוב זמני התפילה והטבילה בדיוק רב וכולי); אמונה בקשר בין ההתרחשויות בשמיים לאלו שעל האדמה; והדגש הכללי שניתן למדעים. חלק גדול מהמתמטיקאים החשובים ביותר בארצות האסלאם נודעו גם כאסטרונומים. תוך ניסיונותיהם לשפר את צפייתם בגרמי השמיים ויכולת הניבוי שלהם הם פיתחו את יכולתם החישובית, והמציאו כלים מתמטיים לטיפול בכך. ת'אבת אבן קורה (826-901) ואל-בטאני (868-929) התחילו במגמה זו. הכלי החשוב ביותר לצורך חישובי אסטרונומיה היא הטריגונומטריה, ורק מחקרים שנעשו לאחר יצירתו הראשונית הפכו אותו לענף נפרד מהאסטרונומיה, אך עדיין קשור אליה בקשר הדוק. אולוג בג (1393-1449), נכדו של טימור לנג, שליט "טרנסוקסיאנה" (הנמצאת באזור אוזבקיסטן של היום) מ-1447 עד מותו ושליט העיר סמרקנד עוד לפני כן, היה גם אסטרונום מחונן. מלבד הפיכת סמרקנד למרכז אסטרונומי, הוא כתב את "קטלוג הכוכבים של הסולטאן" (1437), המכיל תצפיות מדויקות עד להדהים וגם טבלה טריגונומטרית של סינוסים וטנגנסים בהפרשים של מעלה ובדיוק שמונה ספרות לאחר הנקודה - טבלאות שככל הנראה נעשו על בסיס עבודותיו של אל-קאשי (1380-1429). אל-קאשי היה אסטרונום ומתמטיקאי חשוב אף יותר, שהגיע להישגיו הטובים ביותר בסמרקנד והוערך מאוד בידי בג, שלאחר מותו אמר שהוא היה: "מדען יוצא מן הכלל, אחד המפורסמים בעולם, שהייתה לו שליטה מושלמת במדע הקדמונים, שתרם לפיתוחם ושיכול היה לפתור את הבעיות הקשות ביותר".

מדינות אירופה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

עם שקיעתה של רומא העתיקה נכנסה אירופה לתקופת ימי הביניים, היא התקופה שבין העת העתיקה לבין הרנסאנס. בתקופה זו, המתוארכת בצורות שונות אך לרוב בין המאות ה-5 או ה-6 לספירה עד המאות ה-15 או ה-16 לספירה, שלטה באירופה הנצרות בצורתה הקיצונית. בעולם הנוצרי הימי ביניימי לא היה מקום רב למדע, שקפא על שמריו ואף חזר לאחור, ואיתו המתמטיקה. הערכתה כתחום ידע מופשט בעל חשיבות עצמאית חלפה, כמו גם שימושה המדעי, והיא נדרשה עתה רק לצרכים יומיומיים.

דמות חשובה בהגות ימי הביניים הייתה דמותו של הפילוסוף בואתיוס (480-524 או 525). הוא חיבר ספרים בתחומים מתמטיים: על אריתמטיקה, גאומטריה, מוזיקה (שקושרה אז עם מתמטיקה) וחישובים אסטרונומיים. ספריו אינם מפותחים מהבחינה המתמטיקה כחיבוריהם של גדולי המתמטיקאים היוונים, והוא התעניין בעיקר בקשרה של המתמטיקה לפילוסופיה מצד אחד ולחיי היום יום מצד שני. לאחר מותו מעטים היו האינטלקטואלים במשך מאות בשנים; בין הבודדים ניתן למצוא את בדה ונרביליס ואת אלקווין, שלשניהם לא היו תרומות מתמטיות. אף שהכנסייה לא עודדה במיוחד את המחקר, דווקא מנזרים וכנסיות היו המוסדות היחידים בהם מעט לימודי רוח.

האפיפיור סילבסטר השני (950 לערך-1003, כיהן מ-999 עד מותו) היה יוצא דופן מבין האפיפיורים שכן נודע כאדם משכיל. שנים לפני מינויו לאפיפיור היא לימד נושאים כמתמטיקה ואסטרונומיה וכתב מספר חיבורים בנושאי הקואדריוויום (אריתמטיקה, גאומטריה, מוזיקה, אסטרונומיה) והטריוויום (דקדוק, רטוריקה, לוגיקה). למעשה הוא המדען והמתמטיקאי היחיד אי פעם, עד היום, שהתמנה לתפקיד. בהתאם לכך התאפיינה כהונתו בדגש על המתמטיקה והאסטרונומיה, ובפרט הכרת הידע הערבי בנושאים אלו לאירופאים (הוא למד בעברו בספרד המוסלמית וידע ערבית בעקבות זאת). הוא חידש את השימוש בחשבונייה והספירה הארמילרית (מודל של כיפת השמיים), שנזנחו מאז ימי יוון ורומא. הוא הציג בכתביו את השיטה ההודית ערבית, אולם היא לא חדרה, והמשיכו להשתמש בשיטה הרומית המסורבלת.

במאה ה-12 חיו באירופה שני מתרגמים חשובים ללטינית. האחד הוא ג'רארדו דה קרמונה (1114-1187) שתרגם מערבית ללטינית עשרות חיבורים. משפה זו הוא תרגם בין היתר, בתחומי המתמטיקה והאסטרונומיה, את האלמגסט של תלמי, את חיבורו של אפולוניוס מפרגה על חתכי חרוט וכן תרגום שאבד של יסודות של אוקלידס (ב-1901 נמצאו כרכים 5–8 בספריית הוותיקן). דרך תרגום עבודותיו של אריאבהט, ונתן כללים להכפלתם זה בזה. בכלליו אלו כמעט וניסח גרסה שקולה לנוסחה המודרנית המערבית ללטינית הגיעה לאירופה המילה סינוס. השני הוא אדלארד מבאת', שתרגם גם הוא מערבית חיבורים רבים, כולל תרגום חשובים של "יסודות", שהיה בשימוש למשך כ-150 שנים.

בשנים 1170–1250 בקירוב חי מתמטיקאי שנודע כאחד מגדולי המתמטיקאים של ימי הביניים. שמו לאונרדו פיזנו, או לאונרדו מפיזה, אך לאחר מותו ניתן לו הכינוי פיבונאצ'י, שמשמעותו בנו של בונאצ'י (כינויו של אביו). הוא הביא לאירופה חלק מהידע שהצטבר בארצות האסלאם, דרך כתבים יהודיים או ממקורות מוסלמיים. החשוב שבספריו הוא "ספר החשבונייה" (1209). הוא הכיל ידע עצום באלגברה, אך חשיבותו ופרסומו נעוצים בשני גורמים. האחד הוא בהפצת שיטת הספירה ההודית ערבית באירופה- קדם לו רק "ספר המספר" של רבי אברהם אבן עזרא, יהודי שנודע גם כמשורר, בלשן ואדם שנון במיוחד, אך כתביו של אבן עזרא היו שוליים לעין שיעור מאלו של פיבונאצ'י מבחינת השפעתם. פיבונאצ'י תיאר בו גם את האפס, אף שלא התייחס אליו כאחד המספרים. הגורם השני, שהביא לכך ששמו נחקק בזיכרון דורות של מתמטיקאים, הייתה בעיה מתמטית אחת מהספר:

אדם אחד שם שני ארנבים במקום המוקף חומה מכל צדדיו. כמה זוגות ארנבים יכול להוליד זוג זה בשנה אם נניח כי בכל חודש זוג מוליד זוג חדש שמסוגל להוליד בחודש השני?

פתרון החידה היא הסדרה 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 וכן הלאה. בסימון מודרני מוגדרת הסדרה על ידי הנוסחאות: $\ F_{1}=F_{2}=1$ ,$\ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$. כלומר, שני איברי הסדרה הראשונים הם 1, והאיברים שלאחריהם מהווים את סכום שני קודמיהם. סדרה זו נקראה על שמו בשם סדרת פיבונאצ'י, והיא אחת מן המפורסמות והחשובות שבסדרות המתמטיות. לסדרה זו תכונות רבות ומעניינות, בהן העובדה שהיחס בין איבריה שואף ליחס הזהב והתחלקותם של מספרים מהסדרה במספרים ראשוניים בצורה קבועה (כל מספר שלישי ב-2, רביעי ב-3, חמישי ב-5, שביעי ב-13 ועוד).

יורדאנוס נמוראסיוס (Jordanus Nemorarius), מתמטיקאי נוסף בן המאה ה-13, נודע פחות מפיבונאצ'י, אך גם לו תרומה משלו. בין היתר סימן מספרים בעזרת אותיות.

המאות ה־14 וה־15

מתמטיקאים בודדים מוכרים ממאות אלו ולכל אחד תרומות בודדות בלבד למתמטיקה, וביניהם: המתמטיקאי היהודי הרלב"ג, אולוג בג,

הרנסאנס והעת החדשה

המאה ה־16

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

לאחר הקיפאון הארוך של המתמטיקה האירופאית בימי הביניים, המתמטיקה פרחה מחדש על רקע תקופת הרנסאנס של איטליה. ב-1494 פרסם לוקה פאצ'ולי את החיבור "Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita" שהקיף את כל תחומי המתמטיקה של זמנו, ונחשב בין השאר לערש החשבונאות המודרנית. ב-1509 פרסם את ספרו המפורסם "על הפרופורציה הא-לוהית".

אמנם פתרון כללי למשוואה ממעלה שנייה היה ידוע עוד מימי הבבלים, אך לא היה פתרון כללי למשוואות ממעלה גבוהה יותר. במהלך המאה ה-16 התחרו ביניהם מתמטיקאים איטלקים בפתרון משוואות. שיפיונה דל פרו היה הראשון לגלות שיטה לפתרון משוואות ממעלה שלישית ב-1515, אך שמר על פתרונו בסוד. ניקולו טרטליה גילה בנפרד שיטה משלו בשנת 1535, וג'ירולמו קרדאנו ולודוביקו פרארי הרחיבו את פתרונו למקרים שלא טופלו על ידה. במהלך עבודתו על הפתרון של טרטליה גילה פרארי את הפתרון הכללי למשוואה ממעלה רביעית. השיטות לפתרון המשוואות פורסמו בספר "האומנות הגדולה" של קרדאנו, שהתפרסם ב-1545 (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות). בספר גם הוצגו לראשונה בהיסטוריה מספרים מדומים, משום שהם מופיעים במהלך פתרון משוואות ממעלה שלישית, גם במקרים בהם הפתרונות הסופיים ממשיים.

במאה ה-16 החל העיסוק בהסתברות, בעבודתו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ירולמו קרדאנו, שהיה מהמר נלהב. עם זאת מקובל לראות את שנת 1654 כתאריך הלידה של תורת ההסתברות בעקבות המכתבים של פרמה ופסקל בנושא.

במקביל להתפתחויות אלו במתמטיקה הטהורה, התרחשה המהפכה המדעית בכל תחומי המדע. זו בישרה את תחילת ביסוס המדעים המדויקים על מתמטיקה.

המאה ה־17

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

בראשית המאה ה-17 הגה ג'ון נפייר את הלוגריתמים. במהרה השימוש בהם חדר למתמטיקה ולתחומי המדע ועל בסיסם הומצאו עזרי החישוב, סרגל החישוב ולוח לוגריתמים. ב-1637 הגה רנה דקארט את מערכת הצירים הקרטזית, והעלה את הרעיון של המחשת פונקציות באמצעות גרף על מערכת הצירים, צעד שנחשב לראשית הגאומטריה האנליטית.

המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שנולד ב-1601 נחשב לאבי תורת המספרים בתקופה המודרנית. אולם תרומתו הקיפה תחומים רבים נוספים. 1654 נחשבת שנת הלידה של תורת ההסתברות, וזאת בעקבות תכתובת בין פרמה לבין בלז פסקל, בעניין הדרכים לחישוב ההסתברות במשחקי מזל מסוימים. פסקל ופרמה נחשבים לכן לשני האבות של תורה זו. הצעדים הבאים נעשו על ידי כריסטיאן הויגנס, יאקוב ברנולי, פואסון וגאוס. המשך ביסוסה של תורת ההסתברות נעשה בתחילת המאה ה-19. פרמה גם תרם להנחת יסודות החשבון האינפיניטסימלי.

חלק ניכר מההתקדמות המתמטית במאה ה-17 התאפשרה בזכות הנזיר הצרפתי מרן מרסן. מרסן ניהל חלופות מכתבים עם מתמטיקאים ומדענים מרכזיים בכל רחבי אירופה, קישר ביניהם, הפיץ את תורותיהם ואירח מפגשים מדעיים ומתמטיים במנזרו. מרסן תרם למתמטיקה את הנושא של מספרי מרסן הקרויים על שמו. מרסן היה נחוש להילחם בסודיות שאפיינה את המחקר עד לתקופתו ולעודד מדענים לסייע ולהסתייע במחקרים של מדענים אחרים. לפני תקופתו מתמטיקאים רבים העדיפו לשמור על שיטות הפעולה שלהם בסוד בדומה לסוד מסחרי. כאשר חוקר סירב להתייצב במפגשי הקבוצה שלו, מרסן נהג להעביר לחברי הקבוצה את כל החומרים שאדם זה שלח עליו עד אז, כולל מכתבים ומאמרים שנשלחו אליו באופן פרטי. התנהגות זו נחשבה לא מוסרית אבל מרסן טען להגנתו כי חילופי המידע יועילו למתמטיקה ולמדע, ולמין האנושי בכלל. הפרת הסודיות גרמה למריבות קשות בינו לבין חוקרים שונים.

במחצית השנייה של המאה ה-17, פותח מאוד החשבון האינפיניטסימלי. תחום זה התפתח במקביל על ידי זוג היריבים, אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי ג'ון קולינס, יועצו של מזכיר החברה המלכותית הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. ניוטון פרסם מעט מאוד משיטותיו בתחום זה עד 1693, ולא סיפק הסבר מלא עד 1704. מאוחר יותר טען ניוטון כי התעכב בפרסום רשימותיו מחשש שילעגו לו. לייבניץ, לעומת זאת, פרסם הסבר מלא של השיטות שלו כבר ב-1684. הרשימות של לייבניץ היו מפורטות ביותר לגבי הפיתוחים שלו לעומת רשימותיו של ניוטון שהציגו פיתוחים סופיים בלבד.

ב-1699 החלו ניוטון ולייבניץ בעימות ארוך שנים ומכוער לגבי זכות הראשונים על המצאת החדו"א. כל אחד מן השניים טען שהוא זה שגילה את החדו"א והאחר העתיק ממנו, ומכיוון שהאנגלים תמכו בניוטון ואילו המתמטיקאים בשאר מדינות אירופה תמכו בלייבניץ. ניוטון אף גייס את החברה המלכותית, שהוא היה מזכירה למאבק וניסה לזייף מסמך שיתמוך בגרסתו. העימות וההפרדה שנוצרה השפיעו לרעה על התפתחות המתמטיקה באירופה במשך מאה שלמה. חלפו למעלה מ-200 שנה עד שהמצב התברר לאשורו וכיום ניתן הקרדיט על המצאת החדו"א הן לניוטון והן ללייבניץ, והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי נקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ. הסימונים המקובלים כיום לנגזרת ואינטגרל הגיעו בעיקר מהסימונים של לייביניץ.

פיתוח החשבון האינפיניטסימלי הוליד את הענף המתמטי המרכזי – אנליזה מתמטית. ניוטון שינה קצת את המוקד של בעיות מתמטיות. עד לתקופתו מתמטיקאים רבים עסקו בבעיות מתמטיות טהורות שלא בהכרח היה להם יישום בחיי היומיום. עבודתו של ניוטון המחישה למתמטיקאים ולגורמים רבים את השימושים הרבים של מתמטיקה והחל מאמץ רב יותר בתחומים של מתמטיקה שימושית. כמו כן שליטים שונים באירופה החלו לממן את עבדותם של מתמטיקאים.

בתקופה זו החלה לבלוט משפחת ברנולי, משפחת סוחרים שווייצרית, שהוציאה מקרבה מתמטיקאים ידועים במשך שלושה דורות. המתמטיקאים המפורסמים יאקוב ברנולי ויוהאן ברנולי (1667-1748), שהצטרפו אל ניוטון ולייבניץ בחקירת הרעיונות החדשים של החשבון האינפיניטסימלי. שלושת בניו של יוהאן, יוהאן השני (1710-1790), דניאל וניקולאוס (1695-1726) היו מתמטיקאים; דניאל הוא מחלוצי ההידרודינמיקה. גם אחד משלושת בנו של יוהאן השני, יוהאן השלישי (1744-1807), עסק במתמטיקה. יוהאן ברנולי ידוע גם בזכות היותו מורהו של לאונרד אוילר והתכתבויותיו הרבות.

המאה ה־18

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

קובץ:Euler GDR stamp.jpg

בול גרמני לכבוד יום מותו ה-200 של אוילר. באמצע מופיעה נוסחת הפאון שלו

לאונרד אוילר שנולד בשווייץ ופעל בגרמניה וברוסיה, נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו, ונחשב ליותר פורה מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: גאומטריה, אנליזה מתמטית, תורת הגרפים, אלגברה, תורת המספרים ועוד. עבודתו של אוילר נגעה בתחומים רבים כל כך, שבמקרים רבים עבודתו היא החומר הכתוב הראשון שנמצא בנושא מסוים והוא אחראי להוכחות הראשונות בנושא זה, ולכן בניסיון מניעה שכמעט כל דבר יקרא על שמו של אוילר, חלק מתגליותיו וממצאיו משויכים לאדם הראשון בהיסטוריה שעסק או הוכיח בהם משהו לאחר מותו של אוילר.

אוילר המציא סימנים מתמטיים שהפכו לנחלת הכלל. כולל $\ i$ - היחידה המדומה, $\ e$ - בסיס הלוגריתם הטבעי, אשר אוילר הוכיח שהוא מספר אי-רציונלי, $\ f(x)$ כצורת סימון לפונקציה של המשתנה x (במקום לרשום את הפונקציה בצורה ישירה), הסימן $\ \pi$ כיחס בין היקף המעגל לקוטרו, $\Sigma$ כסכום, הסימונים המודרניים לפונקציות הטריגונומטריות, ועוד. הוא גם הגדיר את הקבוע המסומן באות גמא $\,\gamma$ הקרוי קבוע אוילר.

פיתוח החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה היה משאת נפשם של מתמטיקאים בני המאה ה-18. בתחום זה אולי השפיע אוילר יותר מכול, ורעיונותיו הובילו להתקדמויות אדירות. אוילר הביא לעולם את רעיון ההצגה של טור חזקות אינסופי ופיתוחו, כמו התגלית: $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)$. ב-1735 פתר אוילר את בעיית בזל דבר שזיכה אותו בתהילה אדירה, מאחר שבעיה זו ניצבה ללא פתרון במשך זמן רב, חרף ניסיונותיהם של המתמטיקאים הדגולים שקדמו לאוילר, בהם בני משפחת ברנולי וגוטפריד וילהלם לייבניץ. במסגרת מחקרו על פונקציית זטא הכליל אוילר את הבעיה והצליח, למצוא ביטוי המתאר את הערכים של פונקציית זטא לכל מספר טבעי זוגי.

ב-1735 פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות לתורת הגרפים, והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. אוילר פתר את חידת מסע הפרש והראה כי היא מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת מסלול המילטוני בגרף. אוילר גם גילה את הנוסחה V − E + F = 2, שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של פאון קמור, ולחלופין של גרף מישורי. אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 פאונים אפלטוניים, ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על ידי קושי ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי טופולוגיה.

המאה ה־19

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

בשנת 1812 פרסם פייר-סימון לפלס את ספרו "תאוריה אנליטית של ההסתברות", שהיווה ביסוס שיטתי ראשון של תורת ההסתברות. בשנת 1867 הוכיח צ'בישב את חוק המספרים הגדולים, ולאחר מכן הוכיח תלמידו ליאפונוב את משפט הגבול המרכזי - אלה שני משפטים חשובים של תורת ההסתברות. ביסוס אקסיומטי לתורה זו נעשה רק בשנת 1933, באמצעות האקסיומות של קולמוגורוב.

בחצי הראשון של המאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניטיסמל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס (שבין השאר הנהיג את ההגדרות המודרניות של מושגים יסודיים כמו גבול ונגזרת, במונחי $\ \varepsilon$ ו- $\ \delta$) ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן.

ברבע השני של המאה ה-19 נוצרה הגאומטריה הלא-אוקלידית כפתרון לבעיה שהעסיקה את המתמטיקאים במשך מאות שנים: הניסיון להוכיח את אקסיומת המקבילים. לאקסיומה זו, שהיא החמישית בין אקסיומות הגאומטריה שבספרו של אוקלידס, "יסודות", מבנה מורכב באופן חריג לעומת שאר האקסיומות. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית המאה ה-19 נעשתה פריצת דרך בנושא, כאשר מתמטיקאים אחדים הבינו שנדרש כיוון שונה.

התנהגותם של קווים בעלי אנך משותף בגאומטריות שונות

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. אחריו הגיעו לרעיון, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה הכדורית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.

במאה התשע-עשרה הושם קץ לניסיונות לפתור את בעיות הבנייה שהעסיקו את היוונים הקדמונים ונודעו בשם הבעיות הגאומטריות של ימי קדם. בעזרת תורת גלואה הוכח שבעיות אלה אינן פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

ב-1870 החל גאורג קנטור לפתח את תורת הקבוצות, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת Mathematische Annalen. בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית.

המאה ה־20

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח או להפריך. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, תיאר הנחה זו באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: היא הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת". בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה. משפט האי שלמות הראשון של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. במשפט האי שלמות השני הוכיח גדל כי תורה שהיא מספיק חזקה לקיים את אקסיומות פאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות.

המאה ה־21

בתחילת המאה, בשנת 2000, פרסם מכון קליי למתמטיקה את רשימת "בעיות המילניום של מכון קליי" והבטיח פרס בסך מיליון דולר למי שיפתור אחת מהבעיות. הרשימה מכילה שבע בעיות פתוחות מתחום המתמטיקה (ומעט גם מדעי המחשב והפיזיקה). השערת פואנקרה, שנכללה בבעיות אלה נפתרה על ידי גרגורי פרלמן.

ראו גם

• היסטוריה של האריתמטיקה
• היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות
• היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי
• יופי מתמטי

לקריאה נוספת

• שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989
• שבתאי אונגורו, "היסטוריה, מתמטיקה, והיסטוריה של המתמטיקה", זמנים: רבעון להיסטוריה 20, חורף 1986 (המאמר זמין לצפייה במאגר JSTOR לאחר הרשמה)
• בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005
• שמעון דגון, תולדות המתמטיקה הקדומה, הוצאת דביר, תשס"ז
• סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2003
• איאן סטיוארט, לאַלף את האינסוף - סיפורה של המתמטיקה, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2012
• C. B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach, 1989

קישורים חיצוניים

• ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor, מקור מידע מקיף על ההיסטוריה של המתמטיקה (באנגלית)
• פלוריאן קג'ורי, ‏A History of Mathematics, בפרויקט גוטנברג (באנגלית)
• ו. ו. ראוז בול, ‏A Short Account of the History of Mathematics, בפרויקט גוטנברג (באנגלית)
• עבודות בקורס "היסטוריה של המתמטיקה", מתוך אתרו של אהוד הרושובסקי
• עופר אדרת, יותר מעוד מספר, באתר הארץ, 18 בנובמבר 2011
• פרק 22 – על אסטרונומיה מקראית ומתמטיקה בבלית בפודקאסט דברי הימים בהגשת אילן אבקסיס

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33981686היסטוריה של המתמטיקה