גאורג קנטור

גאורג קנטור
Georg Cantor

לידה	3 במרץ 1845
פטירה	6 בינואר 1918 (בגיל 72)
ענף מדעי	מתמטיקה
מקום מגורים	רוסיה, גרמניה
תרומות עיקריות
אבי תורת הקבוצות

גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור (בגרמנית: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor;‏ 3 במרץ 1845 - 6 בינואר 1918) מתמטיקאי גרמני, אבי תורת הקבוצות העומדת בבסיס המתמטיקה המודרנית.

ביוגרפיה

גאורג קנטור נולד בסנקט פטרבורג, בירת האימפריה הרוסית. אביו, גאורג ואלדמר קנטור, היה יהודי מתבולל, אזרח דני בנם של יהודים מהקהילה היהודית פורטוגזית בקופנהגן שהומר לפרוטסטנטיות, ואמו, מריה אנה בוהם, הייתה מוזיקאית רוסיה קתולית. עד גיל 11 התגוררה המשפחה בסנקט פטרבורג בה היה האב סוחר מצליח וגאורג גודל על ברכי הפרוטסטנטיות. עקב בעיות בריאות של אביו, עברה המשפחה ב־1856 לגרמניה, בהתחלה לויסבאדן ומאוחר יותר לפרנקפורט ודרמשטאדט. בשנות לימודיו בבית הספר הצטיין קנטור במתמטיקה, במיוחד בטריגונומטריה, אך גם גילה עניין בתאולוגיה ופילוסופיה. ב־1862 סיים בהצטיינות את בית הספר. לאור בקשת אביו שילמד הנדסה הוא החל ללמוד בפוליטכניקום של ציריך. אולם, לאחר סמסטר אחד הוא החל ללמוד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין, שם למד, בין השאר, אצל קארל ויירשטראס, ארנסט קומר ולאופולד קרונקר. במשך סמסטר אחד בקיץ 1866 למד באוניברסיטת גטינגן. הוא השלים דוקטורט בתורת המספרים ב־1867. ב־1869 הצטרף לסגל אוניברסיטת הַאלֶה (Halle) בגרמניה שם עבד עד שנת 1913.

ב־9 באוגוסט 1874 נישא לוואלי גוטמן, ידידה של אחותו, ולזוג נולדו שישה ילדים.

ב־1884 חווה התקף דיכאון, התקף מתועד ראשון בסדרה של התקפי דיכאון שימשיכו לייסרו במשך שארית חייו. בין התקף אחד למשנהו המשיך לפתח תאוריות מתמטיות מזהירות. עם זאת, הדיכאונות פגעו בעבודתו המתמטית. ב־1894 פרסם מאמר מוזר למדי, בו וידא את נכונותה של השערת גולדבך עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ־1,000. היות שכארבעים שנה קודם לכן ההשערה כבר נבדקה עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ־10,000, עבודה זו מעידה כפי הנראה על מצבו הנפשי של קנטור באותה התקופה.

בשנותיו האחרונות הידרדרה בריאותו הנפשית של קנטור, והוא אושפז מדי פעם בבתי חולים לחולי נפש. עבודתו המתמטית כמעט ופסקה, והוא עסק בעיקר בפילוסופיה, תאולוגיה וספרות. בין השאר, ניסה להוכיח כי מחזותיו של ויליאם שייקספיר נכתבו למעשה על־ידי פרנסיס בייקון (ראו שאלת זהותו של מחבר מחזות שייקספיר). הוא פרש ממשרתו ב־1913, ונפטר מהתקף לב בעת שהיה מאושפז בבית חולים בהאלה בשנת 1918.

עבודתו המתמטית

בתחילה, התמקד מחקרו של קנטור בסדרות טריגונומטריות. ב-1872 פרסם מאמר בו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות "חתכי דדקינד" פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה, ובמאמר המתאר אותה מוזכר מאמרו של קנטור.

ב־1873 הוכיח קנטור כי הן המספרים הרציונליים והן המספרים האלגבריים הם בני־מנייה, דהיינו, קיימת התאמה חד־חד־ערכית ועל ביניהם לבין המספרים הטבעיים. בדצמבר 1873 הוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני־מנייה, ופרסם את תגליתו ב־1874. משתי הוכחות אלה נובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים טרנסצנדנטיים, שעצם קיומם הוכח רק כעשרים שנה קודם לכן. כמו כן הוכיח כי מספר הנקודות על קו ישר "גדול" מאשר מספרם של המספרים הטבעיים, שהוא המספר האינסופי ה"קטן" ביותר.

ב־1877 הוכיח את התוצאה נוגדת האינטואיציה, כי קיימת התאמה חד־חד־ערכית בין קבוצת המספרים שבקטע $[0,1]$ לבין המרחב ה־$n$ ממדי. על כך הוא אמר: "אני רואה זאת, אך איני מאמין!".

ב־1891 פרסם לראשונה את הוכחת האלכסון של קנטור ואת משפט קנטור. השיטה אותה הגה לשם ההוכחות קרויה לכסון, ונעשה בה שימוש מרובה מאז, בעיקר במדעי המחשב (למשל להוכחת אי־כריעות בעיית העצירה).

ב־1895 וב־1897 פרסם את שני מאמריו החשובים האחרונים. אף־על־פי שחלפו רק ששה חדשים בין זמני כתיבתם של מאמרים אלה, קנטור עיכב את פרסום המאמר השני משום שקיווה לכלול בו הוכחה של השערת הרצף עליה עבד, ללא הצלחה, במשך שנים רבות. הוא לא מצא הוכחה זו (כיום ידוע כי השערת הרצף היא עצמאית ביחס למערכת שבה עבד קנטור, ולכן לא קיימת לה הוכחה במסגרתה), אך המאמר השני תיאר את תורתו בדבר קבוצות סדורות היטב ומספרים סודרים. בשנת 1897 פרסם את ספרו החשוב ביותר אודות קבוצות המספרים האינסופיים. הוא פיתח חשבון של מספרים אינסופיים בדומה לחשבון הקיים בקבוצות של מספרים סופיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן באות העברית $\aleph _{0}$ (קרי: אלף 0), ואת עוצמת הרצף סימן באות $\aleph$ , שהם הסימונים המקובלים בקרב המתמטיקאים עד היום.

יחס עמיתיו המתמטיקאים

הוכחתו של קנטור, לפיה יש גדלים שונים של אינסוף וכי קבוצות שמספר אבריהן אינסופי יכולות להיות שונות זו מזו ב"מספר אבריהן", הייתה תחילתה של פעילות ענפה בתחום זה. עבור המתמטיקאים בני זמנו היה האינסוף דבר מה מעורפל, שהבנתו בלתי ניתנת להשגה. כתב העת שאליו שלח את מאמרו שהתפרסם בשנת 1874 סירב לפרסמו וקנטור נתקל בהתנגדות עזה מצד מתמטיקאים רבים בני זמנו, ובמיוחד מצד לאופולד קרונקר. לבסוף ראו אור כל רעיונותיו בדבר האינסוף, אולם אלה נותרו שנויים במחלוקת עוד שנים אחדות, בטענה שנושא זה חורג מן המתמטיקה אל המטאפיזיקה. ההתנגדות גרמה לכך שהוא נאלץ להסתפק כל חייו במשרה אקדמית באוניברסיטה מהדרג השלישי (אוניברסיטת האלה). רק בערוב ימיו הוכרה תרומתו האדירה למתמטיקה, עליה אמר המתמטיקאי דויד הילברט: "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור יצר".

על אופי המחלוקת בין קנטור לבני דורו עמד אי"י פוזננסקי:

המחלוקת שפרצה בין אנשי האין-סוף הפוטנציאלי לבין קאנטור הייתה חריפה ביותר ולא־אחת קיבלה צביון של ויכוח תאולוגי מימי הביניים. אמנם לא היתה צפויה לקאנטור הסכנה להישרף חיים, אבל הוא נפגע אישית קשות, נתקל במכשולים בפרסום עבודותיו, הוחרם על־ידי חלק בלתי־מבוטל של ציבור המתמטיקאים (וביניהם גדולי המקצוע), ונמנעה ממנו קתדרה באוניברסיטה מרכזית, בה היה יכול לנצל את כל האפשרויות של עבודה מדעית וחינוכית. מלחמת חרמה זו, שנוהלה נגדו בכל האמצעים המותרים והאסורים, כמעט שהעבירה את קאנטור על דעתו, הביאה אותו עד לסף מחלת רוח, ולבסוף גרמה להפסקת פעילותו המתמטית עשרים שנה לפני פטירתו.

משפטים ורעיונות על שמו

• משפט קנטור לרציפות במידה שווה - משפט הקובע שפונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.
• משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין - משפט הקובע שאם קיימות שתי התאמות חד־חד־ערכיות מקבוצה $A$ לקבוצה $B$ ומקבוצה $B$ לקבוצה $A$ , אזי עוצמת שתי הקבוצות שווה.
• האלכסון של קנטור - ההוכחה שקבוצת המספרים הממשיים אינה בת־מנייה.
• משפט קנטור - משפט הקובע שעוצמת כל קבוצה קטנה מעוצמת קבוצת החזקה שלה.
• משפט החיתוך של קנטור - משפט המגדיר תנאי מספיק והכרחי לכך שמרחב מטרי נתון יהיה מרחב מטרי שלם.
  • הלמה של קנטור - מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור עבור $\mathbb {R}$ .
• משפט קנטור-בנדיקסון - משפט הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת מנייה.
• הפרדוקס של קנטור - סתירה שהתגלתה בתורת הקבוצות הנאיבית.
• קבוצת קנטור - דוגמה לפרקטל בעל תכונות טופולוגיות מעניינות.
• פונקציית קנטור - פונקציה פתולוגית המבוססת על קבוצת קנטור.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גאורג קנטור בוויקישיתוף

• ביוגרפיה של גאורג קנטור, באתר MacTutor (באנגלית)
• גנאלוגיה מתמטית של גאורג קנטור, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0