אינטרפולציה

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אִינְטֶרְפּוֹלַצְיָה (באנגלית: Interpolation; בעברית: בִּיּוּן^[1]) היא שם כולל לשיטות בתחום האנליזה הנומרית. הרעיון המרכזי העומד מאחורי גישה זו היא האפשרות לייצר מידע חדש מאוסף נתונים סופי. בפרט, היכולת לשחזר או ליצור פונקציה שערכה או נגזרותיה ידועים בנקודות מסוימות.

בשימושים ההנדסיים, פיזיקליים וכדומה, מטרת האינטרפולציה היא להתאים פונקציה שתקרב בצורה הטובה ביותר את התנהגותו של אובייקט הניסוי. לדוגמה, נניח שבמסגרת ניסוי פיזיקלי נדגום מיקום של גוף במרחב בכל 5 שניות, כשהניסוי נמשך דקה. נקבל 13 נתונים: מיקומו של הגוף בזמן ההתחלה, מיקומו כעבור 5 שניות וכן הלאה. ברור כי אוסף מידע זה אינו מספק את כל המידע על התנהגות הגוף בכל נקודת זמן שהיא במהלך דקת הניסוי. בשלב זה נכנס כלי האינטרפולציה לפעולה ומאפשר ליצור פונקציה המגדירה את המיקום המשוער לכל אורך הניסוי על פי מסד הנתונים שנדגמו.

הגדרה

בהינתן סדרה של $n$ נקודות מקור $x_{k}$ הנקראות צמתים (nodes) ו- $n$ נקודות יעד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_k } , אזי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) : f(x_i) = y_i \quad \forall i=1 \ldots n } נקראת אינטרפולציה של הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_i,y_i), x\in R^m, y\in R^l,i=1,\dots,n} .

דוגמה

נניח כי נתונות 6 נקודות המידע הבאות, המייצגות למשל תוצאות מדידה כלשהי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) }
0	0
1	0.8415
2	0.9093
3	0.1411
4	0.7568-
5	0.9589-
6	0.2794-

נרצה לדעת מה ערך הפונקציה הנעלמת בנקודה $x=2.5$ - לשם כך נוכל להיעזר באינטרפולציה.

אינטרפולציה היא שם למגוון רחב של כלים נומריים אשר מטרתם לאפשר קירוב של פונקציה שאינה ידועה, או לקרב על ידי עקום נקודות במישור או במרחב (או שילוב של שני האלמנטים הללו). לכל שיטת אינטרפולציה יש יתרונות וחסרונות, ולפני בחירת שיטה זו או אחרת יש להתייחס לכמה בחינות, כגון מידת החלקות של הפונקציה המבוקשת, מספר נקודות המידע העומדות לרשותנו, מידת הדיוק הדרושה, כמות משאבי החישוב הנדרשים כדי לעמוד בדרישותינו ועוד. לאחר התייחסות לשאלות מסוג זה ניתן לבחור שיטה לביצוע אינטרפולציה. בדרך כלל ננסה לדעת בנוגע לכל שיטת אינטרפולציה מהי מידת החלקות של הפונקציה המתקבלת מחד, ומאידך לחקור את ה"טעות" המתקבלת מחישוב ערכים חדשים על ידי הפונקציה המתקבלת מהאינטרפולציה.

אינטרפולציה ליניארית

ערך מורחב – אינטרפולציה ליניארית

בשיטה זו, שהיא הפשוטה ביותר לחישוב, נחבר בקו ישר כל שתי נקודות מידע עוקבות. באופן כללי, בהינתן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_a,y_a),(x_b,y_b) } שתי נקודות מידע עוקבות, אזי הפונקציה הליניארית המחברת אותן היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{x-x_b}{x_a-x_b} y_a - \frac{x-x_a}{x_a-x_b} y_b }

כעת נוכל לענות על השאלה מה ערכה של הפונקציה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=2.5} . נעשה זאת על ידי בחירת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_a = 2, x_b = 3 } והצבת הערך המבוקש בפונקציה המתקבלת.

ברור כי מחד גישה זו קלה לחישוב, אך מאידך תוצאתה אינה מדויקת על פי רוב.

חיסרון נוסף בשיטה זו היא שהפונקציה המתקבלת אינה גזירה בנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k } (הצמתים).

אינטרפולציה באמצעות פולינום

אינטרפולציה באמצעות פולינום היא הכללה של האינטרפולציה הליניארית. בהינתן אוסף נקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_k,y_k),k=1\ldots n } קיים פולינום אחד ויחיד ממעלה שאינה עולה על $\ n-1$ אשר עובר דרך כל הנקודות הנתונות, וכל שנותר הוא לחשב אותו.

צורת לגראנז'

דרך אחת לחשב פולינום לאינטרפולציה היא באמצעות צורת לגראנז' (אנ'). מגדירים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_j = \prod_{k=1;k \neq j}^{n} \frac{x-x_k}{x_j-x_k} = \frac{(x-x_1)}{(x_j-x_1)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_n)}{(x_j-x_n)},}

כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \neq j} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_j(x_q) = 0 } , וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_j(x_j) = 1 } .

מכאן נובע שהפולינום בצורת לגראנז',

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x) = \sum_{j=1}^n y_j P_j(x)=\sum_{j=1}^{n} y_j \prod_{k=1;k \neq j}^{n} \frac{x-x_k}{x_j-x_k} }

מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x_k) = y_k } , לכל $k$ . במילים אחרות, הפולינום שהוגדר בצורת לגראנז' אכן עובר דרך הנקודות הנתונות.

צורת ניוטון

דרך נוספת לחשב את הפולינום היא באמצעות צורת ניוטון. לשיטה זו יתרונות על פני השיטה הקודמת בכך שהיא דורשת פחות פעולות חישוב, וקל להוסיף לפולינום הקיים נקודות נוספות, בעוד שבשיטת לגראנז' יש לחשב הכול מחדש.

צורת ניוטון מחושבת כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p(x) = \sum_{i=1}^{n} [x_1,x_2,\dots,x_i]\prod_{k=1}^{i-1}\left(x-x_k\right) }

כאשר הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [x_1,x_2,\dots,x_i]} נקרא "הפרש מחולק", והוא מוגדר בצורה הרקורסיבית הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [x_k]=y_k }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [x_1,x_2,\dots,x_k]=\frac{[x_2,\dots,x_k]-[x_1,x_2,\dots,x_{k-1}]}{x_k-x_1} }

שיטה זו מניבה את אותו הפולינום שהניבה שיטת לגראנז', אך השימוש בה יעיל יותר; כדי להוסיף נקודה נוספת לאינטרפולציה די לחשב את האיבר החדש שמוסיפים לסכום, ואין צורך לחשב את הסכום כולו מחדש.

ראו גם

קישורים חיצוניים

אינטרפולציה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
שיר הפרבולה, בביצוע דביר רוס, וידאו קליפ של השיר באתר יוטיוב, כולל הדרכה איך לבצע אינטרפולציה ל-3 נקודות בעזרת מחשבון מדעי.
ביון (מתמטיקה), דף שער בספרייה הלאומית
אינטרפולציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ בִּיּוּן במילון סטטיסטיקה (תש"ו, תשי"ב), באתר האקדמיה ללשון העברית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אינטרפולציה38162890Q187631

[1] בִּיּוּן במילון סטטיסטיקה (תש"ו, תשי"ב), באתר האקדמיה ללשון העברית

[1]

אינטרפולציה

תוכן עניינים

הגדרה