משולש ישר-זווית

משולש ישר-זווית

משולש יְשַׁר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

• משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
• התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
• משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
• הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
• ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר (תיכון היתר שווה למחציתו).
• כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
• הניצב מול זווית של 30 מעלות שווה למחצית היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה למחצית היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
• חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

נוסחאות

אם הניצבים של המשולש הם $a$ ו-$b$, היתר הוא $c$ והגובה ליתר הוא $h$, אז מתקיים:

$a^2+b^2=c^2$ (משפט פיתגורס)

וכן:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$

שטח המשולש הוא:

$\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}$

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $r$, אז מתקיים:

$r=\frac{1}{2}(a+b-c)=\frac{ab}{a+b+c}$

אם התיכונים לניצבים הם $m_a$ ו-$m_b$ והתיכון ליתר הוא $m_c$, אז מתקיים:

$m_a^2+m_b^2=5m_c^2=\frac{5}{4}{c}^2$

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ($\frac{\pi }{2}$ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית $\alpha$ הכלואה בין הניצב $b$ והיתר $c$ ומול הצלע $a$ מוגדר:

$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c},\tan \alpha =\frac{a}{b},\sec \alpha =\frac{c}{b},\cot \alpha =\frac{b}{a},\csc \alpha =\frac{c}{a}$

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לעיתים השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בעברית מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

שלשה פיתגורית

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון $a^2+b^2=c^2$, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית.

ראו גם

• המשולש הישר של פרמה

קישורים חיצוניים

• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, freewebs (בעברית)
• אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, mathportal (באנגלית)
• משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משולש ישר-זווית38410954Q158688