מתמטיקה ביוון העתיקה

פרגמנט מתוך הספר השני של יסודות מאת אוקלידס, על פפירוס שנמצא בחפירות באוקסירינכוס; האיור שייך לטענה החמישית בספר

אחת מתרומותיה החשובות לאנושות של יוון העתיקה היא פיתוח המתמטיקה.

מהותה של המתמטיקה היוונית

עד תקופת יוון העתיקה היה העיסוק במתמטיקה תכליתי בלבד: היא שימשה כאוסף של נוסחאות לחישוב קרקע, אוכלוסין וכו'. פריצת הדרך של היוונים, פרט לתרומותיהם הגדולות לידע המתמטי, הייתה בלימוד המתמטיקה כשלעצמה, מתוקף ערכה הרוחני. יחסם של חלק מהיוונים הקדמונים למתמטיקה היה דתי - למשל, הכת שאסף סביבו פיתגורס האמינה כי המתמטיקה היא הבסיס לכל הדברים. היוונים נחשבים ליוצרי מושג ההוכחה המתמטית, וכן לראשונים שעסקו במתמטיקה לשם עצמה, כלומר כתחום מחקרי עיוני ומופשט ולא רק כעזר שימושי. עם זאת, לצדה של המתמטיקה הטהורה התפתחה מתמטיקה שימושית, ששימשה לצרכים יומיומיים ולקידום המדע (ובמיוחד האסטרונומיה).

היוונים המשיכו לדון ולפתח את המתמטיקה במובנה הפילוסופי, ובכך הניחו את היסוד למתמטיקה כפי שהיא נתפסת בעולם המודרני. הם פיתחו את הגאומטריה (מכיוון שהשימוש העיקרי במתמטיקה באותה התקופה היה חישובי קרקע), ולמעשה יצרו את המבנה המתמטי הראשון. שיאה של התפתחות זו בחיבורו של אוקלידס, "יסודות" אשר עסק בצורה אקסיומטית בגאומטריה, אלגברה ותורת המספרים. אוקלידס, תושב אלכסנדריה, היה אחד מבין המשכילים שעשו שימוש בספרייה המפורסמת שנבנתה בעיר מתוקף החלטת בית המלוכה המצרי, ובכך נחשב לראשון שקיבץ באופן שיטתי את החוקים המתמטיים הידועים של זמנו.

לאורך רובה המוחלט של ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון, היוונים נהגו לבטא כמעט את כל המתמטיקה במונחים גאומטריים; לדוגמה, מספרים אי רציונליים (שהיוונים היו הראשונים לעסוק בהם) נקראו "קטעים חסרי מידה משותפת".

המונח מתמטיקה יוונית קלאסית מתייחס למתמטיקה שהייתה קיימת עוד לפני התקופה ההלניסטית, כאשר מתמטיקה נכתבה בשפה היוונית רק בתחומי יוון דאז. מאז תחילת התקופה ההלניסטית, בסוף המאה הרביעית לפני הספירה, התפשטה השפה היוונית, ומלומדים כתבו בשפה זו בכל חלקו המזרחי של אגן הים התיכון. זרימת הרעיונות הביאה לכך שהמתמטיקה היוונית ספגה ובלעה את המתמטיקה המצרית והבבלית; המתמטיקה בת תקופה זו נקראת מתמטיקה הלניסטית.

רוב הטקסטים המתמטיים שנכתבו ביוונית נמצאו ביוון, מצרים, מסופוטמיה, אסיה הקטנה, סיציליה ודרום איטליה.

המתמטיקה ביוון העתיקה היא שלב חשוב בהיסטוריה של המתמטיקה, שבמהלכו נוצר מושג ההוכחה, והתפתחו תחומים מרכזיים כמו הגאומטריה, תורת המספרים ומתמטיקה שימושית, והתגלו רעיונות שהובילו בהמשך לאנליזה המתמטית. המתמטיקה היוונית הגיעה לרמה שאפשרה לתלמי לנסח מודל גיאוצנטרי של מערכת השמש, שהסביר את התצפיות האסטרונומיות עד למאה ה-17.

התפתחותה של המתמטיקה היוונית

שיטת הספירה הראשונה בה השתמשו היוונים מבוססת על בסיס עשרוני. הסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומן באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור ממנו השיטה התפתחה - אטיקה.

האותיות בהם השתמשו היוונים כמספרים בשיטה האטית:

המספר:	50,000	10,000	5,000	1,000	500	100	50	10	5	1
הסימן:	πμ	μ	πχ	χ	πη	η	πδ	δ	π	ι
שמו היווני:	πεντάκις μύριοι	μύριοι	πεντάκις χίλιοι	χίλιοι	πενταόσιοι	έκαου	πέντήκοντα	δέκα	πέντε	εϊξ

האותיות בהן השתמשו היוונים כמספרים בשיטת ה"גרשים":

המספר:	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסימן:	θʹ‎	ηʹ‎	ζʹ‎	στʹ‎	εʹ‎	δʹ‎	γʹ‎	βʹ‎	αʹ‎
המספר:	90	80	70	60	50	40	30	20	10
הסימן:	ϟʹ‎	πʹ‎	οʹ‎	ξʹ‎	νʹ‎	μʹ‎	λʹ‎	κʹ‎	ιʹ‎
המספר:	900	800	700	600	500	400	300	200	100
הסימן:	ϡʹ‎	ωʹ‎	ψʹ‎	χʹ‎	φʹ‎	υʹ‎	τʹ‎	σʹ‎	ρʹ‎

בתקופה מאוחרת יותר, השתמשו היוונים בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי 22 אותיות האלפבית היווני. לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות, בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה; תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותן אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.

המתמטיקאי הבולט הראשון ביוון העתיקה, ויש האומרים בתולדות האנושות, הוא תאלס (624 לפנה"ס - 546 לפנה"ס בקירוב). לא יהיה זה משולל יסוד להניח שהוא האדם הראשון שהוכיח משפט מתמטי, ולא רק גילה אותו. תאלס הוכיח שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים (משפט תאלס הראשון), שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה (משפט תאלס השני), שהקוטר מחלק את המעגל לשני חלקים שווים, ושזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות זו לזו. מיוחסות לו גם שיטות למדידת גובהן של הפירמידות בעזרת מדידת צילן ולקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף.

בשנים 582 לפנה"ס עד 496 לפנה"ס, בקירוב, חי מתמטיקאי חשוב במיוחד - פיתגורס. המקורות הראשוניים עליו מועטים, וההיסטוריונים מתקשים להפריד את העובדות משכבת המסתורין והאגדות שנקשרו בו. ידוע שסביבו התקבצה האסכולה הפיתגוראית מעין כת פסבדו-מתמטית שהאמינה ש"הכל מספר", או ליתר דיוק הכל ניתן לכימות, וייחסה למספרים משמעויות מיסטיות. ככל הנראה הפיתגוראים ידעו לבנות את הגופים האפלטוניים, הכירו את הממוצע האריתמטי, הממוצע הגאומטרי והממוצע ההרמוני והגיעו להישגים חשובים נוספים. ניתן לומר שהפיתגוראים גילו את היותו של השורש הריבועי של 2, שהוא גם האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו 1, אי רציונלי, אך תגליתם הייתה למעשה רק שהקטעים "חסרי מידה משותפת", ומושג המספר האי רציונלי מאוחר יותר. אזכור ראשון לקיומם של קטעים חסרי מידה משותפת מופיע בדיאלוג "תאיטיטוס" של אפלטון, אך רעיון זה היה מוכר עוד קודם לכן, במאה החמישית לפנה"ס להיפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, ואולי לפיתגורס עצמו.

השפעתם של הפיתגוראים ניכרה גם בכתבי הפילוסוף החשוב אפלטון (427-8 לפנה"ס - 347 לפנה"ס), שהוקסם מההרמוניה שמצא במתמטיקה וסבר שיש ללמדה הן למען פיתוח החשיבה והבנה מעמיקה יותר של העולם והן לצרכים מעשיים. על שער מדרשו רשם "הא-גאומטרי [חסר הידע בגאומטריה] בל ייכנס לכאן". בדיאלוג "המדינה" כתב:

כי לאיש מלחמה הכרחי הוא לימוד זה [של אריתמטיקה] לשם עריכת המערכות, וכן לפילוסופים לשם השגת הישות, לאחר שהוא מתעלה מעל לתחום ההתהוות..."

הוא לא הגיע להישגים מתמטיים בעצמו, אך הוא עודד מתמטיקאים וכונה "יוצר מתמטיקאים". תלמידו, הפילוסוף הנודע אריסטו, הלך בדרך מורו ורומם את המתמטיקה בכתביו כ"עומדת באמצע הדרך בין פיזיקה למטאפיזיקה", כתב על פילוסופיה של המתמטיקה וכן תרם תרומות למתמטיקה, בין השאר בהבחנה החדה בין אקסיומות לפוסטולטים.

בתקופה שלאחר פיתגורס פעל היפוקרטס מכיוס (בקירוב 470 לפנה"ס עד 410 לפנה"ס), שתרם תרומות חשובות לגאומטריה היוונית, במיוחד בנושאי הצורות החסומות. בתקופתו, פחות או יותר, נהגו הבעיות הגאומטריות של ימי קדם - בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, שילוש זווית ( חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים), תרבוע העיגול (בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון) ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות, כל זאת באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. רק במאה התשע עשרה הוכח בעזרת תורת גלואה שהבעיות הללו בלתי פתירות, אך הניסיונות לפתרן תרמו תרומה עצומה להתפתחות המתמטיקה בכלל והמתמטיקה היוונית בפרט. להיפוקרטס מכיוס היו מספר תובנות חשובות על הבעיות האלו. מעט אחרי היפוקרטס חי אאודוקסוס מקנידוס (ככל הנראה 408 או 410 - 347 או 355 לפנה"ס), שחקר יחסים בין מספרים ופיתח שיטה למציאת שטחו של עקום.

תרומה יוצאת דופן להתפתחות המתמטיקה תרם אוקלידס מאלכסנדריה, שחי, כמשוער, בין 365 ל-275 לפני הספירה. הוא כתב מספר חיבורים, אך החשוב שבהם הוא ללא ספק הספר "יסודות", מהספרים המתמטיים המשפיעים ביותר בכל הזמנים. הספר, בן שלושה עשר הכרכים, עוסק בגאומטריה ובאריתמטיקה, ותורם תרומות חשובות בשניהם. למעשה הוא בנוי במתכונת של ספר לימוד, וקשה להפריד מה בו מקורי ומה תוצר עבודתם של מתמטיקאים קודמים. בספר בולט במיוחד מספרן הרב של הוכחות בדרך השלילה. בין הגילויים המופיעים בו לראשונה: ההוכחה המפורסמת לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, ההוכחה לכך שכל מספר מהתבנית $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$, כאשר $\left(2^{n}-1\right)$ הוא מספר ראשוני הוא משוכלל, ההוכחה לכך שחמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים שניתן לבנות, ועוד. זהו ספר היסוד של הגאומטריה האוקלידית, שבמשך אלפי שנים הייתה היחידה שקיימת.

הדגמה לשיטת המיצוי של ארכימדס

בין השנים 287 - 212 לפנה"ס חי ארכימדס, שנחשב לאחד מגדולי המדענים של העת העתיקה אם לא הגדול שבהם. מלבד הישגים רבים בפיזיקה, ארכימדס תרם רבות גם למתמטיקה. הוא מניח היסודות לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שכן ידע לחשב סכום של טור אינסופי. לדוגמה, הוא ידע להוכיח כי $\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}\;$. הוא העמיק את השימוש שיטת המיצוי, שבעזרתה ניתן לחשב היקף של מעגל (ובעקבותיו את פאי, השווה ליחס בין היקף המעגל לקוטרו, ואת שטח העיגול, השווה לפאי כפול ריבוע הרדיוס): נחשב את היקפם של מצולע חוסם ומצולע חסום במעגל, ומכיוון שהיקף המעגל קטן מהיקף המצולע החוסם וגדול מהיקף המצולע החסום, אפשר לחשב אותו בכל רמת דיוק שנרצה, בעזרת הגדלת מספר צלעות המצולע. בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי הוא חישב שטחים ונפחים של מצולעים ופאונים. הישגים מתמטיים נוספים אליהם הגיע ארכימדס: אומדן מדויק למדי לשורש הריבועי של 3, הוכחה שהיחס בין נפחו ושטח פניו של כדור שווה לשני שלישים מהיחס המקביל בגליל החוסם את הכדור, תרבוע העיגול (בשימוש באמצעי שאינו סרגל ומחוגה) ועוד. ההיסטוריון של המתמטיקה אריק טמפל בל מנה אותו כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, ובוודאי הוא שייך לשורה הראשונה של המתמטיקאים בעת העתיקה בפרט ובתולדות המתמטיקה בכלל.

אחד החיבורים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו ביוון העתיקה הוא "הקוניקה" של אפולוניוס מפרגה (משוער בין 262 ל-190 לפנה"ס), חיבור מדורג ודדוקטיבי בסגנון "יסודות" של אוקלידס העוסק בחתכי חרוט, הם המעגל, הפרבולה, ההיפרבולה והאליפסה. הוא מכיל שמונה ספרים, מהם שבעה נשתמרו עד ימינו (ארבעה במקור היווני ושלושה בתרגום). בחיבור זה מראה לראשונה אפולוניוס שחתכי חרוט מתקבלים לא רק מחיתוך בין מישורי אנכי לחרוט חד, ישר או קהה זווית, אלא כולם יכולים להתקבל מחרוט אחד אם נשנה את זווית החיתוך. כנראה בשל איכותו ותרומתו, לא נותר עוד זכר כמעט לחיבורים אחרים על חתכי חרוט מהתקופה שלפני "הקוניקה".

לאחר אפולוניוס חלה האטה מסוימת בפוריות המתמטיקאים היוונים. היפרכוס (מוערך 120 - 190 לפנה"ס), מנלאוס מאלכסנדריה (מוערך 70–140) ותלמי (85–165 לערך) היו ממפתחי הטריגונומטריה הספירית. פאפוס מאלכסנדריה, מתמטיקאי שפעל בתחילת המאה ה-4 לספירה, כתב את ה"סינגוגה", חיבור אנציקלופדי העוסק בגאומטריה, שבין השאר הוא מקור הידיעה הכמעט בלעדי שלנו על האנליזה היוונית. הפילוסוף הנאופלאטוני פרוקלוס (411- 485 כתב פירוש מפורסם מאוד ל"יסודות" של אוקלידס, שמספק ידע רב מאוד על ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון. מעל כולם ישנו דיופנטוס (200–284), וספרו רב ההשפעה "אריתמטיקה", שניתן להקביל אותו ל"יסודות" מבחינת המבנה וההשפעה ("יסודות" בגאומטריה ו"אריתמטיקה" באריתמטיקה). ב"אריתמטיקה" דן דיופנטוס בעיקר במשוואות דיופנטיות, סוג של משוואות שלימים יקרא על שמו, ומפתח שיטת סימון הקרובה יחסית לזו של האלגברה המודרנית.

תפוצה והשפעה

למרות שהטקסטים המתמטיים המוקדמים ביותר בשפה היוונית שהגיעו לידינו נכתבו לאחר התקופה ההלינסטית, רבים מאלה נחשבים לעותקים של עבודות שנכתבו במהלכה, ואף מוקדם יותר. התארוך של עבודות אלה מדויק יותר מזה של עבודות שנכתבו בשפות אחרות, בשל מספר גדול של כרונולוגיות, המתעדות אירועים שנה-אחר-שנה. ישנן אי-וודאויות באשר לראשיתן של כמה יצירות, אבל אלו משתרעות בדרך כלל על-פני עשורים ספורים, ולא מאות.

במהלך ימי הביניים, עיקר הידע המתמטי הגיע לאירופה מן העולם האסלאמי, שם השתמרו העבודות שנוצרו ביוון.

לקריאה נוספת

• שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989
• בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005.
• שמעון דגון, תולדות המתמטיקה הקדומה, הוצאת דביר, תשס"ז.

• C. B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach, 1989
• Thomas Little Heath, A History of Greek Mathematics, Dover publications, (first published 1921)
• Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, Dover Publications.
• Reviel Netz, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History, Cambridge University Press, 2003.