פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר כתב החידה מתוך ספרו של ז'ול ורן "מסע אל בטן האדמה" קריפטוגרפיה היא ענף במתמטיקה ובמדעי המחשב העוסק באלגוריתמים של אבטחת מידע על רבדיה השונים, ובביסוס המתמטי שלהם. תחום הקריפטוגרפיה מאגד תחתיו נושאים רבים ובהם: הצפנה של מידע חסוי ממי שלא הוסמך לראותו; אימות זהות (כמו באמצעות סיסמה) ובקרת הרשאות גישה; פרוטוקולים להוכחת ידיעה, כמו פרוטוקול אתגר מענה והוכחה באפס ידע; מנגנוני חתימה דיגיטלית לאימות זהות המקור ומניעת התכחשות, והבטחת שלמות המידע. קריפטוגרפיה מודרנית נמצאת בשימוש ביישומים מעשיים רבים, החל מאבטחת רשתות תקשורת (גם אלחוטיות כמו רשת סלולרית), דרך דואר אלקטרוני, מסחר אלקטרוני, כרטיסי אשראי ואבטחת מסופי משיכת מזומנים. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר קורט גדל קורט גדל (בגרמנית: Kurt Gödel)‏ (28 באפריל 1906 - 14 בינואר 1978) היה לוגיקן אוסטרי (ואחר-כך אמריקני) מגדולי הלוגיקנים של כל הזמנים. גדל נולד ב-28 באפריל 1906 בעיר ברנו שבאימפריה האוסטרו-הונגרית (כיום בצ'כיה), לאב שהיה מנהל מפעל טקסטיל. בגיל 18 התחיל גדל את לימודיו באוניברסיטת וינה, שם לקח קורסים בפיזיקה, במתמטיקה ובפילוסופיה, כשבסופו של דבר התמקד בלוגיקה מתמטית והיה חבר בחוג הווינאי. בשנת 1930 סיים את עבודת הדוקטורט שלו, שבה הוכיח את שלמותו של תחשיב פסוקים מסדר ראשון. טענה זו ידועה בשם משפט השלמות של גדל. מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שכל טענה מתמטית ניתנת להוכחה או, לחלופין, להפרכה (כלומר להוכיח שאינה נכונה). בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שלתחושה זו אין כל בסיס, וברבות מהמערכות האקסיומטיות, ובפרט אלו שמנסות למדל את האריתמטיקה, קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך. הוכחה זו זכתה לשם משפטי האי שלמות של גדל, משפט שהוא אבן הפינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית וזיכה את גדל בכינוי "מקלקל האריתמטיקה". לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת טורוס הנו גוף סיבוב הנוצר מסיבובו של מעגל סביב לציר הציב לו אך לא חותך אותו. בתמונה מופיע טורוס עם חור ההולך וגדל עד שהטורוס "בולע" את עצמו. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט, קבוצה של מספרים מרוכבים אשר הגבול של ייצוגן הגאומטרי מהווה את אחת הדוגמאות המוכרות ביותר של פרקטלים במתמטיקה. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

גאורג קנטור

השערת הרצף, שניסח מייסד תורת הקבוצות, גאורג קנטור, נחשבה לאחת הבעיות הפתוחות, החשובות במתמטיקה, ואף הייתה הראשונה ברשימת 23 הבעיות הפתוחות של המתמטיקה, שמנה דויד הילברט בשנת 1900. משך שנים קנטור ואחרים ניסו להוכיח את ההשערה, או להפריכה, אך לא הצליחו לעשות זאת. רק בשנת 1937 חלה התקדמות מסוימת במעמדה, כאשר קורט גדל הצליח להוכיח כי הנחת אמיתותה משתלבת במערכת האקסיומות המתמטיות המקובלות בלי לערערה. עם זאת, ב-1963, הראה פול כהן כי גם ההנחה ההפוכה, השוללת את השערת הרצף, משתלבת באותה מערכת בלי לערערה. כך בעצם הוכח שהשערת הרצף היא טענה מתמטית שאמיתותה אינה תלויה ביתר האקסיומות המקובלות, ובעצם היא טענה שלא ניתן להפריכה ולא ניתן להוכיחה.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}=\prod _{p-\text{ ינושאר}}{(1-p^{-s})}^{-1}$$ נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן. הנוסחה עומדת בבסיסה של תורת המספרים האנליטית ומאפשרת לקבל מידע רב על ההתפלגות של מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת של פונקציית זטא של רימן.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

במשחק בין שני שחקנים, מטרתו של הכלוא לצאת ממעגל ברדיוס 100 מטר, ומטרתו של הסוהר למנוע ממנו את היציאה. על-פי חוקי המשחק, הכלוא מתחיל במרכז המעגל, ובכל שלב מותר לו לבחור כיוון שבו הוא מבקש לצעוד, וללכת צעד שאורכו מטר אחד. קודם לביצוע הצעד, הסוהר קובע האם הכלוא ילך בכיוון שבחר, או בכיוון המנוגד.

האם יצליח הכלוא לצאת מן המעגל? אם כן, כיצד, ובכמה צעדים; ואם לא - מדוע?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: NRICH (באנגלית) אתר בריטי להעשרה מתמטית, למורים ולתלמידים, ובו שלל חידות ומשחקים. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: איאן סטיוארט, תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2012 כאשר היה פרופ' איאן סטיוארט, מתמטיקאי בריטי ידוע, בן ארבע עשרה, החל לרשום בפנקס רעיונות מתמטיים שנראו לו מעניינים ושלא נלמדו בבית הספר. עד מהרה נזקק לפנקס חדש, ובסופו של דבר לארונית שלמה. מתוכם, ברר סטיוארט כ-180 חידות, רעיונות, סיפורים ובדיחות מתמטיות, הפרוסות על פני כ-310 עמודים. בסוף הספר ישנן פתרונות לכל החידות עם מעט הסברים. סגנון הכתיבה החופשי אפשר לסטיוארט להביא את דבריו באופן קליל, אשר יובנו גם למי שאינו עוסק בתחום ואינו מכיר את השיטות המתמטיות ודרכי ההוכחה מקובלות במחקר. כפעם בפעם הוא מפנה לאתרי אינטרנט העוסקים בנושא הפרק שבו הוא דן, אך לרוב הוא אינו מפנה לביבליוגרפיה והמעוניינים בכך יצטרכו לחפש בעצמם. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

משפט בולצאנו-ויירשטראס באנליזה מתמטית קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב-${\mathbb{ℝ}}^n$ קיימת תת-סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב-${\mathbb{ℝ}}^n$ קיימת נקודת הצטברות.

הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסרקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים