לדלג לתוכן

פורטל:מתמטיקה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.


האריתמטיקה והרטוריקה. פסלם של ניקולא וג'ובאני פיסאנו, פונטנה מאג'ורה, פראג
האריתמטיקה והרטוריקה. פסלם של ניקולא וג'ובאני פיסאנו, פונטנה מאג'ורה, פראג

אריתמטיקה (מהמילה היוונית "אריתמוס" שמשמעותה מספר) היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה. חוקי האריתמטיקה הבסיסיים משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית. לאריתמטיקה המתקדמת יותר ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מסובכות, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.

במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק בפעולות הקשורות במספרים, כגון ארבע פעולות החשבון או פעולות מורכבות יותר. מתמטיקאים משתמשים לעתים במונח "אריתמטיקה" כתחליף לתורת המספרים. גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. באופן עקרוני, עוסקת האריתמטיקה במספרים, ביצוע פעולות עליהם, חקירת המאפיינים שלהם וסוגיהם, ובאלגוריתמים ומושגים בעלי קרבה רעיונית או תוכנית לתחום זה. כך, למשל, משתמשים לעתים במונח "אריתמטיקה" גם לצורך חקירת מספרים ראשוניים או בעיות חישוביות שונות בגאומטריה אלגברית.



פרופ' ישראל אוֹמַן (Robert J. Aumann), נולד ב-8 ביוני 1930, מתמטיקאי ישראלי, חתן פרס נובל לכלכלה לשנת 2005. תחום מחקרו העיקרי הוא תורת המשחקים.

אומן נולד בעיר פרנקפורט שבגרמניה. משפחתו היגרה לארצות הברית ב-1938, כחודשיים לפני ליל הבדולח. אומן הנו בעל אזרחות אמריקאית בנוסף לזו הישראלית וחבר באקדמיה הלאומית למדעים של ארצות הברית.

למד בישיבה תיכונית במנהטן, ואחר כך למד לתואר ראשון במתמטיקה בניו יורק סיטי קולג' ולתואר שני ותואר דוקטור במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT). ב-1955 עבר לאוניברסיטת פרינסטון, שם חקר את תורת המשחקים, שהייתה תחום מחקר חדש באותה העת. בשנת 1956 עלה לישראל והתיישב בירושלים.

פרופסור אומן זכה בפרס נובל לכלכלה על עבודתו בתחום תורת המשחקים, שהיא ענף מתמטי שמטרתו לחקור מצבי עימות ואסטרטגיות לקבלת החלטות. אומן נחשב למייסדם של כמה ענפים בתורת המשחקים. הוא הראשון שניתח באופן מאורגן סדרות של משחקים, כשהוא מראה כיצד עצם החזרה על אותו מצב יכולה לאכוף התנהגות של שיתוף פעולה, גם כאשר המשחק הבודד אינו מעודד התנהגות כזו. בעקבות עבודתו, משתמשים כלכלנים בשיטות מתחום תורת המשחקים לניתוח מצבים מתמשכים של ניגוד אינטרסים, כמו מלחמות מחירים בין יצרנים המתחרים על אותו שוק.

ציקלואידה

עקומה שמתארת את מסלולה של נקודה קבועה על גבי מעגל המתגלגל ללא החלקה על גבי קו ישר. זה המסלול שפותר את בעיית הברכיסטוכרון, בעיית "הזמן הקצר ביותר".
כמות המספרים הראשוניים עד X והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים
x π(x)  [π(x)x/lnx]  [Li(x)π(x)]
101 4 0  2
103 168 23  10
106 78,498 6,116  130
109 50,847,534 2,592,592  1,701
1012 37,607,912,018 1,416,705,193  38,263
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452  1,052,619


במתמטיקה כמו במדעי הטבע נהוג לשער השערות על בסיס אינדוקציה (הסקת מסקנות מהפרט אל הכלל). אולם, בשונה ממדעי הטבע, על מנת שהשערה תהפוך למשפט נדרשות גם הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מקרים. על אף שבהרבה מקרים השערות עם ראיות מספריות חזקות מוכחות בסופו של דבר, חלקן מופרכות. תופעה זאת נקראת לעיתים חוק המספרים הקטנים.

דוגמה לתופעה זאת הייתה ההשערה לפיה המספרים 31, 331, 3331 וכו' ראשוניים, שהייתה נכונה למספרים הראשונים בסדרה והופרכה רק כשהתגלה ש-333,333,331 פריק.

דוגמה קיצונית אף יותר, גם היא עוסקת במספרים ראשוניים, קשורה למשפט המספרים הראשוניים, שמספק קירוב טוב למספר הראשוניים מתחת למספר X. הקירוב נתון על ידי פונציית הפונקציית האינטגרל הלוגריתמי Li(x) (ששווה בקירוב, פחות מדויק, לxln(x), דהיינו X לחלק לתוצאת הלוגריתם הטבעי עבורו).

לאחר בדיקת כמות עצומה של מספרים, הערכה זו תמיד מפריזה במעט במספר הראשוניים, אך ג'ון אדנזור ליטלווד גילה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים, מבלי להצביע על המספר בו יקרה ההיפוך.

להשערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נמצאו ראיות התקפות למספרים רבים בעזרת מחשבי על. אולם בהיעדר הוכחה הן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום).


מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.


n!=2πn(ne)n(1+O(1n)).


תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום: The Geometry Junkyard (באנגלית)

אתר מקסים המרכז הפניות לנושאים הקשורים לשעשועי מתמטיקה גאומטריים ברשת.

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום: לנסלוט הוגבן (אנ'), מתמטיקה למיליון, הוצאת "ניצנים", שנות ה-50 של המאה ה-20.

הספר יצא לאור במקורו באנגלית ב-1936 וזכה לפופולריות רבה. הספר סוקר את התפתחות המתמטיקה מהיוונים ועד למחצית המאה ה-19 בערך, עם דגש על השלכות והשפעת הידע המתמטי על תחומי החיים, כמו ניווט, כלכלה, טכנולוגיה ועוד. לסופר נקודת מבט מרקסיסטית, והספר כתוב בצורה מרתקת. לא מיועד למי שמעוניין ללמוד מתמטיקה מתקדמת, אך מספק נקודת מבט מעניינת, מקורית ומרתקת על ההיסטוריה של מתמטיקה.

משפטים מפורסמים
השערות מפורסמות

אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע גאומטרי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה  a1,,an של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים

n1a1++1ana1anna1++ann

כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים a1,,an שווים זה לזה.

מבט על משפטים והשערות נוספים
נושאים במתמטיקה
כמות אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה