פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר $\underset{C}{\int }{\oint }_C$ אינטגרל קווי (לעתים גם אינטגרל לאורך עקום, אינטגרל מסלולי או אינטגרל מסילתי) הוא אינטגרל המחושב לאורך מסילה במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי. כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים. הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל ערכים ממשיים, או ערכים וקטוריים בכל מרחב בנך (ובכלל זה המרחב האוקלידי). הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף עקום, כגון חוט דק. בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת אורך, מסה, או מטען חשמלי. האינטגרל הקווי מחשב כוח הפועל על גוף המיוצג על ידי עקום, או עבודה של כוח המניע מסה לאורכו, כמו גם התנהגות של שדות פיזיקליים (למשל, שדה חשמלי) על פני מסלולים. לאינטגרלים קוויים של פונקציות אנליטיות או הרמוניות ישנן תכונות מתמטיות הקושרות אותם לערכי הפונקציה במשטח שאותו סוגר העקום. בקשרים אלה עוסקים כמה משפטים באנליזה מרוכבת, באנליזה וקטורית ובאנליזה הרמונית. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר אווריסט גלואה אווריסט גלואה (בצרפתית: Évariste Galois;‏ 25 באוקטובר 1811 - 31 במאי 1832), מתמטיקאי צרפתי, ממייסדי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה. שני תחומים מרכזיים אלו באלגברה מופשטת פותחו על ידי גלואה עוד בהיותו בשנות העשרה לחייו. גלואה לא זכה בחייו להכרה על עבודתו, שכן נהרג בדו-קרב קודם שהגיע לגיל 21. הישגו הבולט ביותר היה פתרון בעיה שהטרידה את העולם המתמטי במשך מאות שנים - הוא הוכיח כי במקרה הכללי משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה אינן ניתנות לפתרון באמצעות נוסחה שמערבת את ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש בלבד, והראה מתי הדבר בכל זאת אפשרי. בגיל 16, בלי לדעת על עבודתו של אָבֶּל בראשית הקריירה שלו, האמין לתומו גלואה שגילה את הבלתי אפשרי ופתר את המשוואה הכללית ממעלה החמישית, וחזר על אותו משגה. למשך זמן קצר האמין שחולל את הפלא, אך לבסוף הודה בטעותו. הייתה זו רק אחת משורת תופעות זהות בחייהם של גלואה ואבל, המתמטיקאי הנורווגי הצעיר שמת חסר כל בגיל 26. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת זווית בגודל של רדיאן אחד נוצרת על ידי קשת שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת דוגמה פופולרית בטופולוגיה: דפורמציה רציפה (הומוטופיה) בין ספל קפה וכעך שמדגימה כי שני הגופים הומיאומורפים, לשניהם טופולוגיה של טורוס. למעשה כדי ששני גופים יהיו הומיאומורפים אין צורך בדפורמציה רציפה, מספיק מיפוי והיפוך רציפים. המעבר בין הכעך לספל אינו אלא ארגון מחדש של היריעה מסביב לחור שבכעך בעזרת כיווץ ומתיחה מבלי לקרוע אותה או לחבר חלקים שלא היו מחוברים קודם. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

שני עמודים מלוח לוגריתמים. העמוד הימני מציג, בדיוק של 10 ספרות מימין לנקודה, את הלוגריתמים של המספרים הטבעיים מ-600 עד 850

לוח לוגריתמים הוא טבלה המכילה את הלוגריתמים לפי בסיס 10 של סדרה של מספרים. לוח לוגריתמים היה כלי עזר עיקרי לביצוע פעולות כפל במספרים מרובי ספרות, קודם להמצאתם של המחשב והמחשבון, המאפשרים עריכת פעולות אלה בקלות רבה.

הרעיון הבסיסי מאחורי השימוש בלוח לוגריתמים הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה (בנוסחה: ${\log }_c(a\cdot b)={\log }_c(a)+{\log }_c(b)$). כלל זה מאפשר להחליף פעולת כפל, שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. סרגל חישוב פועל על פי עיקרון זהה, ולמעשה מבצע באופן מכני פעולה המקבילה לכפל באמצעות לוח לוגריתמים.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$x=-\frac{b}{a}$$ $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_{1,2,3}\subset -\frac{b}{3a}& +\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})}^2+{(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})}^3}}\\ & +\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}-\sqrt{{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})}^2+{(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})}^3}}\end{array}$$

נוסחאות למציאת פתרונות למשוואות פולינומיאליות ממעלות 1 עד 4. השורשים ממעלה שלישית הם אלגבריים, זאת אומרת שניתן להציב במקומם כל אחד משלושת השורשים המרוכבים. עם זאת בשתי הנוסחאות האחרונות, לא כל הצבה כזאת (כמו גם בחירה של הסימן $\pm$) תיתן שורש, אבל כל שורש אפשר לקבל כהצבה. הנוסחה האחרונה לא תקפה כשהמכנים מתאפסים, יש נוסחאות שונות למקרים אלה. שתי הנוסחאות האחרונות נחשבות לאחד ההישגים המשמעותיים של המתמטקה של הרנסאנס. בגלל החזרות הרבות, אפשר לפשט משמעותית את שתי הנוסחאות הארחונות אם מכניסים סימוני עזר בשביל חלקים של הנוסחה שחוזרים על עצמם. לפי תורת גלואה, לא ניתן לפתח נוסחאות המבוססות על ארבע פעולות החשבון ושורשים עבור משוואות ממעלה גבוהה יותר.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: The Geometry Junkyard (באנגלית) אתר מקסים המרכז הפניות לנושאים הקשורים לשעשועי מתמטיקה גאומטריים ברשת. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: לנסלוט הוגבן , מתמטיקה למיליון, הוצאת "ניצנים", שנות ה-50 של המאה ה-20. הספר יצא לאור במקורו באנגלית ב-1936 וזכה לפופולריות רבה. הספר סוקר את התפתחות המתמטיקה מהיוונים ועד למחצית המאה ה-19 בערך, עם דגש על השלכות והשפעת הידע המתמטי על תחומי החיים, כמו ניווט, כלכלה, טכנולוגיה ועוד. לסופר נקודת מבט מרקסיסטית, והספר כתוב בצורה מרתקת. לא מיועד למי שמעוניין ללמוד מתמטיקה מתקדמת, אך מספק נקודת מבט מעניינת, מקורית ומרתקת על ההיסטוריה של מתמטיקה. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

בתמונה זו m=9 ולכן כאשר נתונות עשר יונים, על שתיים מהן לחלוק תא אחד.

עקרון שובך היונים, או בשמו השני: "עקרון דיריכלה", הוא עיקרון מתמטי הקובע כי אם יש m תאים בשובך שלתוכם יש להכניס m+1 יונים, קיים בהכרח תא אחד שבו תימצאנה לפחות שתי יונים. לעיקרון טריוויאלי זה יש שימושים רבים בהוכחות בתחום הקומבינטוריקה, וניתן להוכיח באמצעותו תוצאות רבות, מעניינות ולא-טריוויאליות כלל.

בניסוחו הפורמלי בתורת הקבוצות, המשפט קובע שאם עוצמת הקבוצה A גדולה ממש מעוצמת הקבוצה B, אזי לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ-A ל-B.

^{(ראו גם: חידה שבפתרונה נעשה שימוש בעקרון שובך היונים.)}

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים