פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר חידות חיתוך והרכבה הן חידות העוסקות בדרכים שבהן ניתן לחתוך צורה למספר צורות אחרות, לדרכים שבהן ניתן לקחת חלקים ולחבר אותם יחד לצורה חדשה, וכן בחידות המשלבות את שתי הפעולות: כיצד ניתן לחתוך צורה נתונה על מנת להרכיב צורה אחרת מחלקיה. חידת חיתוך קלאסית חידת חיתוך קלאסית היא כיצד ניתן לחלק את הצורה הנקראת L-tromino לשניים, שלושה וארבעה חלקים זהים (בתמונה נראה הפתרון לחלוקה ל-4 חלקים). חידת ההרכבה המפורסמת ביותר היא הטנגרם, ובה ריבוע מחולק ל-7 חלקים שמהם ניתן להרכיב מגוון רב של צורות הכוללות אנשים, בעלי חיים וצמחים. חידה דומה מסוג זה, הנקראת 'סטומכיוון' נחקרה על ידי המדען והמתמטיקאי היווני ארכימדס. המתמטיקאי ההודי הגדול אריאבהטה השתמש בשיטות של חיתוך והרכבה על מנת להוכיח את משפט פיתגורס (הוכחה שנלמדת עד היום בבתי הספר) ולאחריו הופיעו הוכחות רבות נוספות המשתמשות גם הן בחיתוך והרכבה. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר אייזק ניוטון סר אייזק ניוטון (אנגלית: Isaac Newton;‏ 4 בינואר 1643 – 31 במרץ 1727 היה פיזיקאי, מתמטיקאי, אסטרונום, פילוסוף ואלכימאי אנגלי, הנחשב לאחד מגדולי המוחות המדעיים בכל הזמנים. חיבורו "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע" שפורסם ב-1687, הכיל תיאור של כוח הכבידה ושלושת חוקי התנועה, והניח את הבסיס למכניקה הקלאסית ששלטה בראייה המדעית של היקום הפיזיקלי במשך שלוש המאות הבאות ויצרה את הבסיס להנדסה המודרנית. ניוטון נחשב לאבי החשבון האינפיניטסימלי, הציג לראשונה את משפט הבינום המוכלל (אשר נקרא על שמו – הבינום של ניוטון), המתאר את טור טיילור של הפונקציה $(1+x{)}^{\alpha }$ גם כאשר $\alpha$ אינו שלם, הוא פיתח והציג את זהויות ניוטון, שיטת ניוטון-רפסון למציאה נומרית של שורשי פונקציה, התורה של פולינומים ממעלה שלישית בשני משתנים, תרם תרומות חשובות לתורה של הפרשים סופיים והיה הראשון שהשתמש באינדקסים חלקיים ובגאומטרית קוארדינטות כדי לגזור פתרונות למשוואה דיופנטית. ניוטון החל גם לפתח את חשבון הווריאציות, תחום שקיבל שם זה רק במאה ה-18. כמו כן גילה נוסחה חדשה לחישוב π. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת הקורטה הוא מחשבון מכני קטן שהושק לראשונה ב-1948. בתמונה: מחשבון קורטה מכני בתצוגה במוזיאון להיסטוריה של המחשב במאונטן ויו שבקליפורניה. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת בנייה של פתית השלג של קוך, פרקטל שתואר לראשונה על ידי הלגה פון קוך. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

העיסוק בשאלה 'מהי אמת' העסיק את הפילוסופיה במשך אלפי שנים, וסביבו מבוסס ענף הלוגיקה. במאה ה-20 נוסתה גישה חדשה לשאלה העתיקה הזאת, בניסיון לזהות משפט נכון כמשפט בר הוכחה. הרעיון, הקרוי 'הפרוגרמה של הילברט', היה לנסח בצורה פשוטה את האקסיומות הבסיסיות ואת הדרכים להגיע ממשפט נכון אחד לאחר.

הפרוגרמה הזאת נחלה מפלה ניצחת בזכות עבודותיו של הלוגיקאי קורט גדל. גדל הצליח להראות שישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח אותם. ההוכחה של גדל, הנקראת משפטי האי שלמות של גדל מבוססת על וריאציה של פרדוקס השקרן. גדל הצליח ליצור את המשפט המתייחס לעצמו "המשפט הזה אינו בר הוכחה", וליצור פרדוקס.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{N}};p-\text{ ינושאר};p^n<x}\ln (p)=-\ln (2\pi )-\sum _{\rho \in \mathbb{ℂ}}{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\rho }\zeta \cdot \frac{x^{\rho }}{\rho }$$ הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד. נוסחה לפונקציה השניה של צ'בישב באמצעות אפסים (והקטבים) של פונקציית זטא של רימן. הפונקציה השניה של צ'בישב סופרת באופן ממושקל את חזקות הראשוניים עד לערך נתון. מנוסחה זאת קל יחסית להסיק נוסחאות מפורשות לפונקציית המספרים הראשוניים $\pi (x)$. בצורה זאת הנוסחה תקפה רק עבור $x>0$ לא שלם. נוסחה זאת ודומת לה סללו את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

במשחק בין שני שחקנים, מטרתו של הכלוא לצאת ממעגל ברדיוס 100 מטר, ומטרתו של הסוהר למנוע ממנו את היציאה. על-פי חוקי המשחק, הכלוא מתחיל במרכז המעגל, ובכל שלב מותר לו לבחור כיוון שבו הוא מבקש לצעוד, וללכת צעד שאורכו מטר אחד. קודם לביצוע הצעד, הסוהר קובע האם הכלוא ילך בכיוון שבחר, או בכיוון המנוגד.

האם יצליח הכלוא לצאת מן המעגל? אם כן, כיצד, ובכמה צעדים; ואם לא - מדוע?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: NRICH (באנגלית) אתר בריטי להעשרה מתמטית, למורים ולתלמידים, ובו שלל חידות ומשחקים. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: איאן סטיוארט, תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2012 כאשר היה פרופ' איאן סטיוארט, מתמטיקאי בריטי ידוע, בן ארבע עשרה, החל לרשום בפנקס רעיונות מתמטיים שנראו לו מעניינים ושלא נלמדו בבית הספר. עד מהרה נזקק לפנקס חדש, ובסופו של דבר לארונית שלמה. מתוכם, ברר סטיוארט כ-180 חידות, רעיונות, סיפורים ובדיחות מתמטיות, הפרוסות על פני כ-310 עמודים. בסוף הספר ישנן פתרונות לכל החידות עם מעט הסברים. סגנון הכתיבה החופשי אפשר לסטיוארט להביא את דבריו באופן קליל, אשר יובנו גם למי שאינו עוסק בתחום ואינו מכיר את השיטות המתמטיות ודרכי ההוכחה מקובלות במחקר. כפעם בפעם הוא מפנה לאתרי אינטרנט העוסקים בנושא הפרק שבו הוא דן, אך לרוב הוא אינו מפנה לביבליוגרפיה והמעוניינים בכך יצטרכו לחפש בעצמם. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

השערת גולדבך היא השערה בתורת המספרים, שלפיה כל מספר זוגי גדול מ-4 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים.

השערת גולדבך נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד $2\cdot 10^{17}$. ההערכה המקובלת היא שההשערה נכונה, בהתבסס על התפלגותם של המספרים הראשוניים: ככל שמספר זוגי גדול יותר, כך סביר יותר שניתן להציגו כסכום של שני ראשוניים. מובן שזו אינה הוכחה.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים