פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר פלימפטון 322 פלימפטון 322 הוא שמו של לוח חרסית שמקורו בבבל והוא מתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הלוח, הכתוב בכתב יתדות, מכיל ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות, כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים לשלשות פיתגוריות. מהות המספרים שבו שנויה במחלוקת - על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית. הלוח התגלה בעת חפירות ארכאולוגיות לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בשנות העשרים של המאה ה-20. ג.א. פלימפטון קנה את הלוח, ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובשנות ה-30 תרם אותו יחד עם האוסף שלו לאוניברסיטת קולומביה, שם הוא שמור עד עצם היום הזה. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר לאונרד אוילר לאונרד אוילר (Leonhard Euler)‏ (15 באפריל 1707 - 18 בספטמבר 1783), מתמטיקאי ופיזיקאי שווייצרי מוביל, שבילה את רוב חייו ברוסיה ובגרמניה. הוא פרסם יותר עבודות במתמטיקה מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. אוילר ביצע תרומות ותגליות בתחומים מגוונים, כמו חדו"א ותורת הגרפים. הוא גם הציג חלק נכבד מן המינוחים וסימני המתמטיקה המודרניים, במיוחד בתחום האנליזה מתמטית, כדוגמת סימון הפונקציה. כמו כן, הוא ידוע בזכות עבודתו במכניקה, באופטיקה ובאסטרונומיה. אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא היה המתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה: הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו. ישנם 60-80 מושגים במתמטיקה הנקראים על שמו. אמרה המיוחסת לפייר סימון לפלס באה לתאר את גדולתו והשפעתו של אוילר במתמטיקה: "למדו מאוילר, למדו מאוילר, הוא המאסטר של כולנו". לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת ממדי, שמחזירה וקטור. בתמונה מופיע כלל עזר למציאת כיוונה המוכר בשם "כלל יד ימין": אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת מסלולה של נקודה על שפתו של מעגל המתגלגל על שפתו מעגל אחר בעל רדיוס גדול פי ארבעה נקראת "אסטרואידה". משוואתה של אסטרואידה היא $x^{2/3}+y^{2/3}=1$. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

כמות המספרים הראשוניים עד X והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים

x	$\pi (x)$	$[\pi (x)-x/\ln x]$	$[Li(x)-\pi (x)]$
101	4	0	2
103	168	23	10
106	78,498	6,116	130
109	50,847,534	2,592,592	1,701
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619

במתמטיקה כמו במדעי הטבע נהוג לשער השערות על בסיס אינדוקציה (הסקת מסקנות מהפרט אל הכלל). אולם, בשונה ממדעי הטבע, על מנת שהשערה תהפוך למשפט נדרשות גם הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מקרים. על אף שבהרבה מקרים השערות עם ראיות מספריות חזקות מוכחות בסופו של דבר, חלקן מופרכות. תופעה זאת נקראת לעיתים חוק המספרים הקטנים.

דוגמה לתופעה זאת הייתה ההשערה לפיה המספרים 31, 331, 3331 וכו' ראשוניים, שהייתה נכונה למספרים הראשונים בסדרה והופרכה רק כשהתגלה ש-333,333,331 פריק.

דוגמה קיצונית אף יותר, גם היא עוסקת במספרים ראשוניים, קשורה למשפט המספרים הראשוניים, שמספק קירוב טוב למספר הראשוניים מתחת למספר $X$. הקירוב נתון על ידי פונציית הפונקציית האינטגרל הלוגריתמי $Li(x)$ (ששווה בקירוב, פחות מדויק, ל$\frac{x}{\ln (x)}$, דהיינו X לחלק לתוצאת הלוגריתם הטבעי עבורו).

לאחר בדיקת כמות עצומה של מספרים, הערכה זו תמיד מפריזה במעט במספר הראשוניים, אך ג'ון אדנזור ליטלווד גילה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים, מבלי להצביע על המספר בו יקרה ההיפוך.

להשערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נמצאו ראיות התקפות למספרים רבים בעזרת מחשבי על. אולם בהיעדר הוכחה הן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום).

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$e^{i\pi }+1=0$$ זהות אוילר. זהות הקושרת בין חמישה קבועים מרכזיים במתמטיקה: 0, 1, i, $\pi$ ו - $e$, באמצעות שלוש פעולות בסיסיות: חיבור, כפל וחזקה.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: The Geometry Junkyard (באנגלית) אתר מקסים המרכז הפניות לנושאים הקשורים לשעשועי מתמטיקה גאומטריים ברשת. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: לנסלוט הוגבן , מתמטיקה למיליון, הוצאת "ניצנים", שנות ה-50 של המאה ה-20. הספר יצא לאור במקורו באנגלית ב-1936 וזכה לפופולריות רבה. הספר סוקר את התפתחות המתמטיקה מהיוונים ועד למחצית המאה ה-19 בערך, עם דגש על השלכות והשפעת הידע המתמטי על תחומי החיים, כמו ניווט, כלכלה, טכנולוגיה ועוד. לסופר נקודת מבט מרקסיסטית, והספר כתוב בצורה מרתקת. לא מיועד למי שמעוניין ללמוד מתמטיקה מתקדמת, אך מספק נקודת מבט מעניינת, מקורית ומרתקת על ההיסטוריה של מתמטיקה. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא מן התוצאות הקלאסיות והאלגנטיות בתורת המספרים. המשפט, אותו הוכיח ז'וזף לואי לגראנז' ב-1770, קובע שכל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים: לכל מספר טבעי n אפשר למצוא מספרים שלמים a,b,c,d, כך ש- $n=a^2+b^2+c^2+d^2$. לדוגמה, $107=8^2+5^2+3^2+3^2$.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים