פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר גאורג קנטור משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. באופן פורמלי, המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה. משמעות המשפט היא שלכל קבוצה, אפילו אינסופית, יש קבוצה גדולה ממנה (במובן מדויק שיוגדר בהמשך). מסקנה מיידית היא שיש אינסוף גדלים אינסופיים השונים זה מזה, ואין אינסוף גדול ביותר. את המשפט הגה והוכיח אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1891. שיטת הלכסון אותה המציא כדי להוכיח את המשפט ותוצאות דומות, מנצלת את הסתירות שביסוד פרדוקס הסַפָּר ופרדוקס השקרן, ומשמשת בתחומים רבים החורגים מתורת הקבוצות. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר ג'ון פון נוימן בשנות ה-40 של המאה ה-20 ג'ון לואיס פון נוימן (28 בדצמבר 1903 - 8 בפברואר 1957), מתמטיקאי אמריקאי ממוצא יהודי-הונגרי. היה שותף לשניים מההישגים הטכנולוגיים הבולטים של המאה העשרים: פיתוח פצצת אטום ופיתוח המחשב האלקטרוני, אך זכור בעיקר כיוצרה של תורת המשחקים. כמו כן הרים תרומה משמעותית לחקר מכניקת הקוונטים, תורת הקבוצות (תחום שהפגיש אותו עם אברהם הלוי פרנקל) וענפי מתמטיקה נוספים. שילב בהצלחה רבה פעילות במחקר טהור ובמחקר שימושי, בענפי מדע רבים. פון נוימן נולד בבודפשט למשפחה יהודית מתבוללת. אביו, מקס נוימן, היה בנקאי יהודי אמיד. עד גיל 10 למד בבית בהדרכת מורים פרטיים כמנהג עשירי אירופה. סימנים של גאונות ניכרו בו כבר בילדותו. יוג'ין ויגנר, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1963, שלמד יחד עם פון נוימן בבית הספר התיכון, אמר עליו מאוחר יותר: "יש שני סוגי אנשים בעולם: ג'וני פון נוימן ואנחנו, השאר". המורה למתמטיקה בגימנסיה זיהה מיד את כושרו המתמטי יוצא הדופן והמליץ להוריו לשכור לו מורה פרטי למתמטיקה. ההורים שכרו את מיכאל פקטה שהיה מרצה באוניברסיטת בודפשט והוא לימד אותו מתמטיקה גבוהה. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת תצוגה גרפית של כל הסודרים מ-0 עד $\omega ^{\omega }$ קבוצת סודרים זו מהווה סודר בפני עצמה. הוא $\omega ^{\omega }+1$. על כל סודר מוגדרת טופולוגיה. למעשה תצוגה זאת מגדירה שיכון רציף של $\omega ^{\omega }+1$ למישור לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת אנימציה המדגימה את הרעיון העומד מאחורי משולש פסקל המאפשר חישוב של המקדמים הבינומיים. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

דילמת האסיר היא בעיה בתורת המשחקים, שפורסמה בשנת 1950 על ידי מריל פלאד ומלווין דרשר מ"מכון ראנד" בארצות הברית. על פי גרסה נפוצה לבעיה, המשטרה עצרה שני עבריינים שביצעו פשע משותף, ומפרידה ביניהם לצורך חקירה. אם תצליח המשטרה להביא להרשעתם, ייכנס כל אחד מהם לכלא ל-15 שנה, אך בחוסר ראיות הם יועמדו לדין על עבירה משנית שבגינה ייכנס כל אחד מהם לכלא לשנה אחת (למשל רצח לעומת החזקת נשק לא חוקית). למשטרה אין די ראיות להעמידם לדין, ולכן היא מציעה לכל אחד מהם להעיד נגד רעהו, וכפרס מובטח לעד עונש מופחת: אם שני האסירים יקבלו את הצעת המשטרה, ייכנס כל אחד מהם לכלא לחמש שנים, ואם רק אחד מהם יעיד ורעהו ישתוק, העד יצא מיד לחופשי וחברו ייכלא ל-15 שנה. לפיכך, לא משנה מה כל אסיר יעשה, לשני כדאי להודות באשמה, ואף על פי כן הודאה באשמה של שני האסירים היא לא התוצאה האופטימלית עבורם. במדע המדינה משמשת דילמת האסיר להמחשת מצב שבו שתי מדינות נכנסות למרוץ חימוש, לדוגמה המלחמה הקרה בין ארצות הברית לברית המועצות, שכן בין אם המדינה השנייה תוקפת או לא עדיף להם לתקוף, אך שלום הדדי עדיף על מלחמה הדדית.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$\sum _{n=1}^{N}n={\frac {N(N+1)}{2}}$

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

איך לחתוך ריבוע לחתיכות שאותן ניתן לסדר מחדש על מנת ליצור משולש שווה-צלעות? מה המספר הקטן ביותר של חיתוכים שמאפשר זאת?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: MegaMath (באנגלית) MegaMath הוא אתר המביא לתלמידי בית הספר היסודי את הרעיונות והבעיות של המתמטיקה המודרנית: לוגיקה, האינסוף, תורת הגרפים, ועוד. זהו אתר חובה לשונאי מתמטיקה: אלה שמעולם לא הבינו דבר בתחום זה, אך פתוחים להזדמנות לגלות את יופיו. את האתר העניקה לעולם המעבדה הלאומית לוס אלמוס, המוכרת יותר בתרומתה לפיתוח נשק גרעיני. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה: סיפור החידה המתימטית ששיגעה את המוחות המבריקים ביותר בעולם במשך 358 שנים, תרגם עודד שכטר, הוצאת ידיעות אחרונות, 2000 המשפט האחרון של פרמה הוא משפט מפורסם בתורת המספרים שנוסח על ידי המתמטיקאי פייר דה פרמה באמצע המאה ה-17 ונותר כבעיה פתוחה עד שהוכח על ידי אנדרו ויילס בשנת 1995. בעקבות ההוכחה, שעוררה עניין גם מחוץ לעולמם של המתמטיקאים, כתב סיימון סינג את ספרו, "המשפט האחרון של פרמה". אגב תיאור דרכו של ויילס אל ההוכחה המיוחלת, נוגע סינג בתולדות המתמטיקה מראשיתה ועד ימינו. סינג הקפיד שבספר עצמו לא יופיעו הוכחות, והמעטות שנכללות בו מופיעות בנספחים בסוף הספר. היה זה הספר הראשון על מתמטיקה שהגיע למקום הראשון ברשימת רבי המכר בבריטניה, והוא תורגם לשפות רבות, שאף בהן זכה להצלחה. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:

• בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה
• שילוש זווית: חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים
• בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון
• בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות

את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.

רק במאה התשע-עשרה הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים