השערת גולדבך

בעיות פתוחות במתמטיקה:

האם ניתן להציג כל מספר זוגי גדול מ-2 כסכום של שני מספרים ראשוניים?
(בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

השערת גולדבך היא השערה בתורת המספרים, שלפיה כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים.

היסטוריה

מקור הבעיה במכתב ששלח המתמטיקאי הפרוסי כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר בשנת 1742, ובו הציג את ההשערות הבאות: כל מספר N שאפשר להציג כסכום של שני ראשוניים, אפשר להציג גם כסכום של שלושה, ארבעה, ועד N ראשוניים (לרבות המספר 1, שבדרך-כלל אינו נחשב ראשוני); וכמו כן, כל מספר טבעי אי זוגי אפשר לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. על ההשערה הראשונה העיר אוילר שהיא נובעת מהשערה שהציג לו גולדבך במכתב קודם (שנוסחו המדויק לא נשמר), ולפיה כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים.

אם אין כוללים את 1 במניין הראשוניים, להשערה על הצגת מספר טבעי כסכום של שלושה ראשוניים יש שני מרכיבים: השערת גולדבך (כפי שנוסחה לעיל) עבור מספרים זוגיים, והאפשרות להציג כל מספר אי-זוגי כסכום של שלושה ראשוניים (או כסכום $\ p+2+2$ כאשר p ראשוני אי-זוגי, או כסכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים). ההנחה שלפיה כל מספר אי-זוגי הוא סכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים ידועה בשם הגרסה החלשה של השערת גולדבך. השערת גולדבך גוררת את הגרסה החלשה, משום שאפשר להציג כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3, ועוד מספר זוגי.

השערת גולדבך נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד $\ 2\cdot 10^{17}$ . ההערכה המקובלת היא שההשערה נכונה, בהתבסס על התפלגותם של המספרים הראשוניים: ככל שמספר זוגי גדול יותר, כך סביר יותר שניתן להציגו כסכום של שני ראשוניים. זו כמובן אינה הוכחה.

תוצאות חלקיות

בהסתמך על עבודתו של וינוגרדוב על הגרסה החלשה של השערת גולדבך, הראה תאודור אסטרמן (Theodor Estermann) ב-1938 שכמעט כל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של שני ראשוניים (במובן הבא: שכיחותם של המספרים שאינם ניתנים להצגה כזו היא אפס).

ב-1939 הוכיח שנירלמן שהצפיפות של קבוצת המספרים הניתנים להצגה גדולה מקבוע חיובי מסוים, והסיק מכך שכל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של עד 300,000 ראשוניים. שיפורים רבים בכיוון זה הביאו לתוצאה הנוכחית (Olivier Ramare, 1995) שכל מספר זוגי ניתן להציג כסכום של שישה ראשוניים.

ב-1966 הוכיח Chen Jingrun בעזרת הנפה של ארטוסתנס, שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של ראשוני ושל מספר בעל שני גורמים ראשוניים לכל היותר.

ב-2002 הראו רוג'ר הית'-בראון (Roger Heath-Brown) ו-ג'יי.סי. פצ'טה (J.C. Puchta) שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של שני ראשוניים, ועוד בדיוק 13 חזקות של 2^[1]. במילים אחרות, אפשר להציג כל מספר זוגי כסכום של שני ראשוניים, עם 13 טעויות בינאריות. את המספר 13 אפשר להחליף ב-7, אם מניחים את השערת רימן המוכללת. הראשון שהוכיח טענה מסוג זה הוא Yu. V. Linnik, ב-1951. זוהי תוצאה מפתיעה יותר משל Chen, משום שבעוד שצפיפות הראשוניים עד x היא בערך $\ {\frac {x}{\log x}}$ , וצפיפות המכפלות של שני ראשוניים היא בערך $\ {\frac {x\log \log x}{\log x}}$ , הצפיפות של סכומי 13 חזקות של 2 היא $\ O((\log x)^{13})$ בלבד.

השערות דומות

הגרסה החלשה של השערת גולדבך (הוכחה ב-2013) קובעת שכל מספר אי-זוגי (גדול מ-5) אפשר להציג כסכום של שלושה ראשוניים.

משערים שכל מספר זוגי יכול להופיע כהפרש של שני מספרים ראשוניים (ואפילו של שני מספרים ראשוניים סמוכים), אינסוף פעמים. השערה זו פתוחה אפילו עבור ההפרש 2 - ראו השערת הראשוניים התאומים. שיטתו של Chen מאפשרת להראות שכל מספר זוגי הוא הפרש של מספר ראשוני ומספר בעל שני גורמים ראשוניים לכל היותר.