התפלגות לוגריתמית

התפלגות לוגריתמית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$0<p<1$
תומך	$x\in [0,+\infty )$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$
תוחלת	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$
ערך שכיח	$1$
שונות	$-{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p$
פונקציה אופיינית	${\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}$

בהסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הלוגריתמית היא התפלגות הסתברות בדידה הנגזרת מפיתוח טור מקלורין

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

מכאן מתקבלת הזהות

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1$

שמובילה ישירות לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג Log(p):

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

עבור $k\geq 1$ ו $0<p<1$. בגלל הזהות לעיל, ההתפלגות מנורמלת כראוי.

פונקציית ההתפלגות המצטברת היא

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

כאשר B היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

אם N הוא משתנה אקראי המתפלג פואסון ו $X_{i},\,i=1,2,3\ldots$ הוא רצף אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות שכל אחד מהם מתפלג Log(p), אז הסכום

$\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

מתפלג התפלגות בינומית שלילית.

הביולוג רונלד פישר תיאר את ההתפלגות הלוגריתמית במאמר מ-1943 כמודל של התפלגות מינים בטבע.

ראו גם

• התפלגות פואסון

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות לוגריתמית40347705Q1867999