התפלגות לוגריתמית

התפלגות לוגריתמית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$0<p<1$
תומך	$x\in [0,+\mathrm{\infty })$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$
תוחלת	$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p}{1-p}$
ערך שכיח	$1$
שונות	$-\frac{p^2+p\ln (1-p)}{(1-p{)}^2(\ln (1-p){)}^2}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\frac{\ln (1-p{e}^t)}{\ln (1-p)}\text{ for }t<-\ln p$
פונקציה אופיינית	$\frac{\ln (1-p{e}^{it})}{\ln (1-p)}$

בהסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הלוגריתמית היא התפלגות הסתברות בדידה הנגזרת מפיתוח טור מקלורין

$-\ln (1-p)=p+\frac{p^2}{2}+\frac{p^3}{3}+\cdots .$

מכאן מתקבלת הזהות

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}=1$

שמובילה ישירות לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג Log(p):

$f(k)=\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$

עבור $k\ge 1$ ו $0<p<1$. בגלל הזהות לעיל, ההתפלגות מנורמלת כראוי.

פונקציית ההתפלגות המצטברת היא

$F(k)=1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$

כאשר B היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

אם N הוא משתנה אקראי המתפלג פואסון ו $X_i,i=1,2,3\dots$ הוא רצף אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות שכל אחד מהם מתפלג Log(p), אז הסכום

$\sum _{i=1}^N{X}_i$

מתפלג התפלגות בינומית שלילית.

הביולוג רונלד פישר תיאר את ההתפלגות הלוגריתמית במאמר מ-1943 כמודל של התפלגות מינים בטבע.

ראו גם

• התפלגות פואסון

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות לוגריתמית40347705Q1867999