התפלגות לוגריתמית

התפלגות לוגריתמית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$ 0<p<1 $
תומך	$ x\in [0,+\infty ) $
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$ {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}} $
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$ 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}} $
תוחלת	$ {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}} $
ערך שכיח	$ 1 $
שונות	$ -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}} $
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$ {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p $
פונקציה אופיינית	$ {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}} $

בהסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הלוגריתמית היא התפלגות הסתברות בדידה הנגזרת מפיתוח טור מקלורין

$ -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots . $

מכאן מתקבלת הזהות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1

שמובילה ישירות לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג Log(p):

$ f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}} $

עבור $ k\geq 1 $ ו $ 0<p<1 $. בגלל הזהות לעיל, ההתפלגות מנורמלת כראוי.

פונקציית ההתפלגות המצטברת היא

$ F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}} $

כאשר B היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

אם N הוא משתנה אקראי המתפלג פואסון ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): X_i,\, i = 1, 2, 3 \ldots הוא רצף אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות שכל אחד מהם מתפלג Log(p), אז הסכום

$ \sum _{i=1}^{N}X_{i} $

מתפלג התפלגות בינומית שלילית.

הביולוג רונלד פישר תיאר את ההתפלגות הלוגריתמית במאמר מ-1943 כמודל של התפלגות מינים בטבע.

ראו גם

• התפלגות פואסון

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות לוגריתמית40347705Q1867999