מטריצה סימטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית A, הנשמרת תחת פעולת השחלוף, כלומר, מתקיים $\ A^{t}=A$ . אם $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n}$ אזי $A^{t}=[a_{ji}]_{i,j=1}^{n}$ ותנאי הסימטריות למעשה אומר $\forall 1\leq i,j\leq n:a_{ij}=a_{ji}$ .

ציר הסימטריה הוא האלכסון הראשי כך שהאיברים הנמצאים מעליו שווים לאיברים המשתקפים מתחתיו (תמונת מראה).

הצורה הכללית של מטריצה סימטרית בגודל 3 על 3 היא $\left[{\begin{matrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{matrix}}\right]$ .

אוסף המטריצות הסימטריות מסדר n הוא מרחב וקטורי. מעל שדה המספרים הממשיים מטריצה סימטרית ממשית היא צמודה לעצמה, ולכן לכסינה אורתוגונלית. בפרט, הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים.

אם מטריצה A היא סימטרית, אז גם $A^{n}$ היא סימטרית לכל n טבעי.

הוכחת תכונות מרכזיות של מטריצות סימטריות

למשפט שקובע כי כל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, וכי היא תמיד לכסינה אורתוגונלית, יש חשיבות רבה הגולשת מתחום האלגברה הליניארית ליישומים רבים בתחומי המדע השונים. למשל, העובדה שהתנועה של מערכת של אוסצילטורים הרמוניים מצומדים ניתנת לתיאור כסכום של אופני תנודה עצמיים נובעת מכך שמטריצת האינטראקציות של החלקיקים היא תמיד סימטרית, ולכן כל הערכים העצמיים שלה ממשיים (במקרה זה, הערכים העצמיים הם התדירויות העצמיות). במכניקה אנליטית, מן העובדה שטנזור ההתמד של גוף הוא מטריצה סימטרית נובע שתמיד קיימת מערכת אורתוגונלית של צירים ראשיים, כך שתיאור הסיבוב העצמי של הגוף במערכת הצירים הראשית נעשה פשוט יותר.

הוכחת המשפט

נוכיח תחילה שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית $A$ הם ממשיים. יהי $v$ וקטור עצמי של $A$ , ו- $\lambda$ הערך העצמי המתאים לו. נבחן את המכפלה הפנימית הבאה: $\langle Av,Av\rangle$ . מן התכונות של כפל מטריצות נובע ש-:

\langle Av,Av\rangle =(Av)^{T}(Av)=v^{T}(A^{T}\cdot A)v

(כאן $v^{T}$ הוא וקטור שורה). מן הסימטריה של המטריצה $A$ נובע $A^{T}=A$ , ולכן נקבל:

\langle Av,Av\rangle =v^{T}(A\cdot A)v=v^{T}(A^{2})v=v^{T}(\lambda ^{2}v)=\lambda ^{2}\langle v,v\rangle

כלומר מתקיים: $\lambda ^{2}={\frac {\langle Av,Av\rangle }{\langle v,v\rangle }}$ . מן האקסיומות המגדירות מכפלה פנימית נובע שהביטוי באגף ימין הוא גודל אי שלילי, כך ש- $\lambda$ הוא שורש של מספר אי שלילי ולכן הוא ממשי.

כעת, נוכיח את חלקו השני של המשפט - נראה שוקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים של מטריצה סימטרית ממשית $A$ הם בהכרח אורתוגונליים. מטענה זאת נובע בהכרח כי $A$ לכסינה אורתוגונלית, שכן ניתן להפעיל את תהליך גרם-שמידט על כל אחד מהמרחבים העצמיים שלה ולקבל בסיס אורתוגונלי ל- $\mathbb {R} ^{n}$ בו היא אלכסונית.

יהיו $x,y$ שני וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים $\lambda ,\mu$ בהתאמה. נחשב את $x^{T}Ay$ בשתי דרכים שונות. ראשית, מכיוון ש- $Ay=\mu y$ , מכפלה זאת שווה ל-:

x^{T}Ay=x^{T}(\mu y)=\mu (x\cdot y)

מצד שני, מכיוון ש- $A^{T}=A$ , נקבל:

x^{T}Ay=x^{T}A^{T}y=(Ax)^{T}y=(\lambda x)y=\lambda (x\cdot y)

מכך נובע: $\mu (x\cdot y)=\lambda (x\cdot y)\implies (\lambda -\mu )(x\cdot y)=0$ . מכיוון שהנחנו $\lambda \neq \mu$ , השוויון הקודם גורר שבהכרח $x\cdot y=0$ , כלומר הווקטורים העצמיים $x$ ו- $y$ בהכרח ניצבים.

מטריצה אנטי-סימטרית

מטריצה A המקיימת $\ A^{t}=-A$ היא מטריצה אנטי-סימטרית. כאשר שדה הבסיס בעל מאפיין שונה מ-2, כל האיברים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי-סימטרית שווים לאפס. בנוסף לזה, מרחב המטריצות מתפרק לסכום ישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי-סימטריות. כל מטריצה A היא סכום של מטריצה סימטרית: ${\frac {A+A^{t}}{2}}$ ומטריצה אנטי סימטרית: ${\frac {A-A^{t}}{2}}$ ונוסחת הממדים היא $\ n^{2}={\frac {n^{2}+n}{2}}+{\frac {n^{2}-n}{2}}$ .