מטריצה ריבועית

במתמטיקה, מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות.

בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות ליניאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף $\ M_{n}(F)$ של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות.

סוגי מטריצות

• מטריצת היחידה (מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\times n} ) היא המטריצה המסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Id} (ולעיתים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_n} ) שאיבריה מוגדרים באופן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ( Id )_{m,n} = \delta_{m,n}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta_{m,n}} היא הדלתא של קרונקר המוגדרת כך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{m,n} =\left\{ \begin{matrix} 1 & m=n \\ 0 & m\ne n \end{matrix} \right.}

מטריצת היחידה נראית כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & & \vdots \\ & 0 & \ddots & \ddots & \\ \vdots& & \ddots & 1 &0 \\ 0 & \cdots & & 0& 1 \\ \end{pmatrix} }

במטריצה כזאת, איברי האלכסון הראשי הם 1 וכל שאר איברי המטריצה הם 0. לפי הגדרת כפל המטריצות, ניתן לראות שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} מהווה איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, ומכאן שמה. כלומר, לכל $\ A$ מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ IA=AI=A} , והיא מהווה את איבר היחידה בחוג המטריצות.

• מטריצת האפס היא המטריצה שכל איבריה הם 0. מטריצה זו היא איבר האפס בחוג המטריצות.

• מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} נקראת משולשית עליונה אם כל איבריה מתחת לאלכסון הראשי שווים 0. באופן דומה, מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} נקראת משולשית תחתונה אם כל איבריה מעל לאלכסון הראשי שווים 0. מכפלה או סכום של שתי מטריצות משולשיות מאותו סוג היא גם מטריצה משולשית. לכן, קבוצת המטריצות המשולשיות סגורה לכפל וחיבור, ומהווה תת-חוג של חוג המטריצות.

• מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} נקראת אלכסונית אם היא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה, כלומר כל איבריה מעל ומתחת לאלכסון הראשי שווים 0. מטריצה אלכסונית שכל איברי האלכסון הראשי שלה שווים נקראת מטריצה סקלרית, והיא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda I}

• מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} תיקרא הפיכה או רגולרית אם קיימת מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A \cdot B = B \cdot A = I} ואז מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B^{-1}=A} והמטריצה $\ B$ תיקרא המטריצה ההפוכה או ההפכית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} . מטריצה לא הפיכה נקראת מטריצה סינגולרית. מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

• המטריצה המשוחלפת של A, שמסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^{t}} (מבוטא A transposed) היא המטריצה שבה שורות ועמודות A מתחלפות. (כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (A)_{k,m} = (A^t)_{m,k}} ). מושג זה רלוונטי גם למטריצות שאינן ריבועיות, אך במטריצות ריבועיות ניתן להתייחס לשני סוגים מיוחדים שלו:

• מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} תיקרא מטריצה סימטרית אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A=A^{t}} , כלומר האלכסון הראשי מהווה ציר סימטריה שלה. (כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (A)_{k,m} = (A)_{m,k}} )
• מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} תיקרא מטריצה אנטי-סימטרית אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A=-A^{t}} . (כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (A)_{k,m} = -(A)_{m,k}} )
• מטריצת ששני האלכסונים שלה הם צירי סימטריה תיקרא מטריצה ביסימטרית

• צמוד הרמיטי של מטריצה A מעל שדה המרוכבים, היא מטריצה המוגדרת באופן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (A^{\dagger})_{i,j} = \overline{a_{j,i}} } . הסימון הוא $\ A^{\dagger }$ שמבוטא A dagger.

• מטריצה A שמקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^{\dagger} = A} נקראת מטריצה הרמיטית. מעל הממשיים, מטריצה הרמיטית היא מטריצה סימטרית.

• מטריצה U שמקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U^{-1} = U^\dagger} נקראת מטריצה יוניטרית. זוהי מטריצה ששומרת נורמה ומכפלה פנימית. מטריצה יוניטרית ממשית נקראת מטריצה אורתוגונלית.

• מטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} תיקרא מטריצה נילפוטנטית אם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q} טבעי כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A^{q} = 0} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0} היא מטריצת האפס). מההגדרה נובע שרק אפס הוא ערך עצמי שלה. מעל שדה המרוכבים היא דומה למטריצה משולשית שכל אברי האלכסון שלה הם 0.

• מטריצה שכל שורותיה הן וקטורי הסתברות, כלומר, כל אבריה אי-שליליים וסכום כל שורה הוא 1 נקראת מטריצה סטוכסטית. מטריצות סטוכסטיות משמשות לתיאור שרשראות מרקוב.

קישורים חיצוניים

• מטריצה ריבועית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצה ריבועית34014244Q2739329