מרחב מכפלה פנימית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המכונה מכפלה פנימית.

מכפלה פנימית היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב נתון, ומחזירה סקלר מעל השדה הנתון. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.

הגדרה פורמלית

יהי V מרחב וקטורי מעל השדה 𝔽, כאשר 𝔽 הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים . פונקציה ,:V×V𝔽 תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

  • אדיטיביות ברכיב הראשון:

a,b,cV:a+b,c=a,c+b,c

  • הומוגניות ברכיב הראשון:

a,bV,λ𝔽:λa,b=λa,b

x,yV, x,y=y,x

  • חיוביות לחלוטין (אי-שליליות וממשיות):

xV, x,x0 ושוויון קיים אם ורק אם  x=0

נשים לב לכמה דברים:

  • תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
x,x=x,x פירושו כי x,x הוא מספר ממשי.
  • האדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב - כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
x,λy=λx,y
  • מההומוגניות נובע כי תמיד מתקיים: 0,x=0x,x=0x,x=0

מרחב וקטורי V עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית. כאשר 𝔽= המרחב V נקרא מרחב אוקלידי, וכאשר 𝔽= הוא נקרא מרחב אוניטרי (אנ').

שימושים

בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג הנורמה המהווה הכללה של האורך מהמרחב האוקלידי: נורמה מוגדרת כגודל x=x,x (שימו לב שבזכות תכונת האי-שליליות (חיוביות לחלוטין) גודל זה הוא תמיד אי-שלילי).

ניתן גם להכליל את מושג הניצבות: שני וקטורים x ו-y הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה 0, כלומר x,y=0 ומסמנים xy. ביתר כלליות, ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: angle(x,y)=arccosx,yxy. ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.

הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב הילברט. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב טופולוגי שלם ביחס למטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: d(x,y)=xy,xy).

דוגמאות למכפלות פנימיות

ראו גם

קישורים חיצוניים


הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב מכפלה פנימית32404375