מטריצה אנטי-סימטרית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix) היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי:

$A^{\mathrm{\top }}=-A$

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם $a_{ij}$ מציין את הערך בשורה ה־$i$ ובעמודה ה־$j$, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

$\mathrm{\forall }i,j:a_{ji}=-a_{ij}$

תכונות

• אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
• כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
  • הממד של מרחב המטריצות הסימטריות הוא $n(n-1)/2$.
  • הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
• הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
• בפרט, אם $A$ היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית $I+A$ היא מטריצה הפיכה, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה.
• אם $A$ היא מטריצה אנטי סימטרית $A^2$ היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
• מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

שימושים

מכפלה וקטורית

ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים $\mathbf{𝐚}={\left(a_1{a}_2{a}_3\right)}^{\mathrm{\top }}$ ו-$\mathbf{𝐛}={\left(b_1{b}_2{b}_3\right)}^{\mathrm{\top }}$, מוגדרת המטריצה:

$[\mathbf{𝐚}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

$\mathbf{𝐚}\times \mathbf{𝐛}=[\mathbf{𝐚}{]}_{\times }\mathbf{𝐛}$

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

הגדרת מטריצת סיבוב

בהינתן $\overrightarrow{\varphi }$, וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב $R$ המתאימה תהיה:

$R=e^{-[\varphi {]}_x}$

הכללות

ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

ראו גם

• מטריצה סימטרית

לקריאה נוספת

• Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

קישורים חיצוניים

• עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית, סרטון בערוץ "הטכניון", באתר יוטיוב
• "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
• Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90
• מטריצה אנטי-סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצה אנטי-סימטרית37600704Q526790