מטריצת היחידה

באלגברה ליניארית, מטריצת היחידה מסדר $n$ היא מטריצה ריבועית מסדר $n$, כלומר בגודל $n^2$, שהאלכסון הראשי שלה מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים. היא מסומנת על ידי $I_n$ או על ידי $I$ כאשר גודלה אינו חשוב או טריוויאלי. מטריצת היחידה משמשת כאיבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, וכטרנספורמציה ליניארית היא מייצגת את העתקת הזהות (כלומר: $v=Iv$ לכל $v$), כלומר כמו שבאלגברה רגילה ניתן להכפיל כל אבר שרוצים בספרה 1 כך ניתן להכפיל כל מטריצה שרוצים במטריצת היחידה מבלי לשנות את השוויון.

דוגמאות למטריצת היחידה בסדרים שונים:

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

מאחר שמטריצת היחידה היא מקרה פרטי של מטריצה אלכסונית, אפשר לכתוב אותה גם כ-: $$I_n=\mathrm{diag}(1,1,\dots ,1)$$

בחישובים לפי קואורדינטות וחשבון טנזורים שימושי להציג את מטריצת היחידה באמצעות הדלתא של קרונקר: $$(I_n{)}_{ij}={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }i=j\\ 0& \text{if }i\ne j\end{array}$$

תהי $A\in M_{m\times n}(F)$ מטריצה מעל שדה F, אזי: $$I_{m}A=A{I}_n=A$$ כלומר: מטריצת היחידה היא איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות.

מטריצת היחידה (מסדר n) היא מטריצה אוניטרית ומטריצה הרמיטית ובפרט מטריצה סימטרית ומטריצה אורתוגונלית, עמודותיה וכן שורותיה מהווים בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי $F^n$. הדטרמיננטה של מטריצת היחידה שווה ל-1. מטריצת היחידה היא מטריצה אלכסונית שכל ערכיה העצמיים שווים ל-1. זו מטריצה הפיכה ודרגתה שווה ל-n.

מטריצה מסוג זה מנוצלת בכמה תחומים של אנליזה נומרית לרבות פירוק אינטרפולטיבי.

ראו גם

• הדלתא של קרונקר

קישורים חיצוניים

• מטריצת היחידה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצת היחידה41467489Q193794