פפאפיאן

באלגברה ליניארית, הפּפאפיאן של מטריצה מסדר זוגי הוא פולינום מסוים באברי המטריצה, שיש לו קשר לדטרמיננטה. הפפאפיאן הופיע לראשונה בעבודות של יוהאן פרידריך פפאף (Pfaff) ב-1815, וקיבל את שמו מידי ארתור קיילי ב-1852. את הפפאפיאן של מטריצה A מסמנים $\ \operatorname {Pf} (A)$ . תכונתו החשובה ביותר היא שהדטרמיננטה של מטריצה אנטי-סימטרית שווה לריבוע הפפאפיאן. גם הדטרמיננטה של מטריצה סימטרית ביחס לאינוולוציה סימפלקטית שווה לריבוע הפפאפיאן.

פפאף חקר מערכות של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, ונתקל בתנאי השקול לכך שהפפאפיאן של מטריצה אנטי-סימטרית מסוימת אינו מתאפס. ב-1827 זיהה קרל גוסטב יעקובי שהתנאי החישובי של פפאף שקול לכך שהדטרמיננטה של אותה מטריצה שונה מאפס. בעקבות זאת הוכיח קיילי ב-1847 שאם A אנטי-סימטרית, אז $\ \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}$ . ביחס לפעולת החפיפה, הפפאפיאן מקיים $\ \operatorname {Pf} (BAB^{t})=\det(B)\cdot \operatorname {Pf} (A)$ .

הפפאפיאן של מטריצה $\ (a_{ij})$ מסדר $\ 2m\times 2m$ מוגדר לפי הנוסחה $\ \operatorname {Pf} (A)={\frac {1}{2^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}(\operatorname {sgn} \sigma )a_{\sigma (1),\sigma (2)}a_{\sigma (3),\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2m-1),\sigma (2m)}$ . אם המטריצה אנטי-סימטרית, מספיק לעבור על התמורות המקיימות $\ \sigma (2i-1)<\sigma (2i)$ לכל i, ו- $\ \sigma (1)<\sigma (3)<\cdots <\sigma (2m-1)$ , ללא המקדם המוביל, וכך ההגדרה טובה מעל שדה מכל מאפיין. לדוגמה, $\ \operatorname {Pf} \left({\begin{array}{cc}0&a\\-a&0\end{array}}\right)=a$ , ו- $\ \operatorname {Pf} \left({\begin{array}{cccc}0&a&x&t\\-a&0&s&y\\-x&-s&0&c\\-t&-y&-c&0\end{array}}\right)=ac+ts-xy$ . בדומה לזה, הפפאפיאן של $\ \left({\begin{array}{cccc}a&b&0&\alpha \\c&d&-\alpha &0\\0&\beta &a&c\\-\beta &0&b&d\end{array}}\right)$ , שהיא סימטרית ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית, הוא $\ ad-bc+\alpha \beta$ .