ניתוח שונות

בסטטיסטיקה, ניתוח שונות חד כיווני (באנגלית: Analysis of variance,‏ One Way ANOVA) הוא אוסף מודלים סטטיסטיים שמטרתו לנתח את ההבדלים בין קבוצת ממוצעים. אוסף המודלים פותח על ידי הסטטיסטיקאי רונלד פישר. ANOVA מרחיב את מבחן t ליותר משתי קבוצות, ולכן שימושי בעיקר בעבור השוואה בין שלושה ממוצעים או יותר.

הנחות המודל

נניח כי ישנן k קבוצות שונות שנרצה להשוות ביניהן. בכל קבוצה יש $n_{i}$ תצפיות, כך שהתצפית $Y_{i,j}$ היא התצפית ה-j בקבוצה ה-i.

אזי המודל מניח כי התצפיות בקבוצה ה-i מתפלגות נורמלית סביב תוחלת השווה ל- $\mu +\alpha _{i}$, בסטיית תקן $\sigma$. בכתיב מקוצר: $Y_{ij}\sim N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2})$ כלומר לכל קבוצה תוחלת שונה.

אפשר גם לפרק את הביטוי כך שנגדיר גורם של רעש המתפלג נורמלית סביב האפס, בסטיית תקן של $\sigma$, ונוסיף אותו לתוחלת הקבוצה. בכתיב מקוצר נאמר $Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\varepsilon _{i,j}$, כאשר $\varepsilon _{i,j}\sim N(0,\sigma ^{2})$.

השערות המבחן

עבור השערת האפס, לא נניח הבדל בין תוחלות הקבוצות.

כלומר:

$H_{0}:\alpha _{1}=\ldots =\alpha _{k};$

ועבור השערת H1 אחרת מכך.

$H_{1}:otherwise$

התפלגות הממוצעים היא: ${\overline {Y}}_{i}\sim N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2}/n_{i})$

ומכאן שהתפלגות ממוצע כלל הדגימות:

${\overline {Y}}\sim N(\mu +\sum _{i=1}^{k}{n_{i}\cdot \alpha _{i}}/N,\sigma ^{2}/N)$.

חלוקת סכום הריבועים

נגדיר את סכומי הריבועים הבאים: עבור כל קבוצה i: $SS_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}(y_{i,j}-{\overline {Y}}_{i})^{2}$

ובהתאם נגדיר: $SSW=\sum _{i=1}^{k}SS_{i}$ (סכום הריבועים בתוך הקבוצות)

סכום הריבועים בין הקבוצות:$SSB=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot ({\overline {Y}}_{i}-{\overline {Y}})^{2}$ וסה"כ סכומי הריבועים: $SST=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}(Y_{i,j}-{\overline {Y}})^{2}$

מפיתוח מתמטי נגיע לקשר $SST=SSW+SSB$

מבחן F

תחת השערת האפס, ${\frac {MSB}{MSW}}={\frac {\left({\frac {SSB}{K-1}}\right)}{\left({\frac {SSW}{N-K}}\right)}}\sim F_{k-1,N-k}$ כאשר זוהי F זוהי התפלגות F.

מבחני POST HOC - השוואות אנליטיות

אם מבחן ניתוח השונות מצביע על כך שהאוכלוסיות שונות זו מזו, עולה השאלה בין אילו זוגות של אוכלוסיות יש הבדל מובהק. בשאלה זו עוסקים מבחן LSD של פישר , מבחן הטווח של טוקי ומבחנים נוספים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ניתוח שונות בוויקישיתוף

ערך זה הוא קצרמר בנושא סטטיסטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34061326ניתוח שונות