משוואה דיפרנציאלית

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה המשתנה הוא פונקציה, כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה. למשוואות דיפרנציאליות שימוש רב בתחומי המדע השונים.

משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.

למשל $f'(x)=f(x)$ היא משוואה דיפרנציאלית רגילה שפתרונה הוא כל פונקציה מהצורה $f(x)=Ce^{x}$ (אקספוננט) כאשר $C$ מספר קבוע.

סיווג משוואות דיפרנציאליות

משוואות דיפרנציאליות מסווגות על פי שני קריטריונים עיקריים: סדר ומעלה.

מעלת המשוואה היא החזקה (המעריך) הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת, המופיעה בה. הסדר הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה.

שימוש במשוואות דיפרנציאליות

למשוואות דיפרנציאליות יש שימושים בכל תחומי המדע: פיזיקה, הנדסה, ביולוגיה, כלכלה ומטאורולוגיה. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן צצות ועולות בכל תחום מדעי שבו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.

דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות בתחומים שונים

משוואה המתארת את קצב התרבות חיידקים ברגע מסוים כתלות במספרם באותו רגע. הסבר לתלות, ככל שמספר החיידקים גדל כך קצב הריבוי קטן, ולהפך.
משוואה המתארת תאוצה (קצב השתנות המהירות) של גוף נופל ברגע מסוים כתלות במהירות באותו רגע. ההסבר לכך הוא שהתנגדות האוויר גדלה באופן פרופורציונלי יחד עם מהירות הגוף, ולכן התאוצה קטנה.

פתרון משוואה דיפרנציאלית

ככלל, לא פשוט לפתור משוואה דיפרנציאלית. אין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו, ולעיתים ניתן להגיע רק לקירוב של הפתרון ולא לפתרון עצמו.

עם זאת, לסוגים מסוימים של משוואות יש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וניתן לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

כדי להקל על כתיבת המשוואה מסומנות בדרך כלל הפונקציות (ונגזרותיהן) באות בודדת בלבד.

פתרון משוואה דיפרנציאלית רגילה לינארית מסדר ראשון

באופן כללי, משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה $a_{0}(x)y'+a_{1}(x)y=f(x)$ כאשר המשתנה בפונקציה שלנו הוא $y$ . אם $a_{0}(x)\equiv 0$ אזי הפונקציה ידועה ואין צורך להמשיך. (אומרים כי $a_{0}(x)\equiv 0$ אם לכל $x$ בתחום מתקיים $a_{0}(x)=0$ )

לכן, נניח כי $a_{0}(x)\not \equiv 0$ . לכן מותר לחלק ב- $a_{0}(x)$ ולקבל משוואה מהצורה $y'+{\frac {a_{1}(x)}{a_{0}(x)}}y={\frac {f(x)}{a_{0}(x)}}$ .

נסמן $p(x)={\frac {a_{1}(x)}{a_{0}(x)}},q(x)={\frac {f(x)}{a_{0}(x)}}$ ונקבל משוואה מהצורה: $y'+p(x)\cdot y=q(x)$ ולכן כשנרצה לפתור משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון, נסתכל על הצורה הזאת.

דוגמה

נרצה לפתור את המשוואה $y'+{\frac {1}{x}}y={\frac {\sin(x)}{x}}$

נכפיל את 2 האגפים ב- $x$ ונקבל: $xy'+y=\sin(x)$

אך אגף שמאל הוא בדיוק שווה $(xy)'$ ולכן נקבל:

{\begin{aligned}(xy)'=\sin(x)\\xy=\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C\\y={\frac {-\cos(x)}{x}}+{\frac {C}{x}}\end{aligned}}

ואכן, לכל $C\in \mathbb {R}$ שנבחר, הפונקציה שתתקבל פותרת את המשוואה

כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הלינאריות מסדר ראשון.

שיטה אחת היא, בדומה לדוגמה, למצוא פונקציה $\mu (x)$ כך שכשנכפיל את כל המשוואה בה, נקבל באגף שמאל את הנגזרת של $\mu (x)y$ ואז רק נשאר לבצע אינטגרציה על 2 האגפים ולקבל $\mu (x)y=\int q(x)\mu (x)dx$ ומשם לחלק ב- $\mu (x)$ ולהגיע לפתרון. השאלה היא מהי אותה $\mu (x)$ .

נראה כי אנחנו בעצם דורשים: ${\bigl (}\mu (x)y{\bigr )}'=\mu (x)y'+\mu (x)p(x)y$ (חיפשנו פונקציה שע"י כפל שלה במשוואה, נקבל את הנגזרת של (הפונקציה כפול y))

נראה כי ${\bigl (}\mu (x)y{\bigr )}'=\mu (x)y'+\mu '(x)y$ ולכן בהכרח מתקיים $\mu '(x)=\mu (x)p(x)$ ולכן ${\frac {\mu '(x)}{\mu (x)}}=p(x)$ . מכאן נגיע לתוצאות הבאות: