משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה $f(\lambda )=|\lambda I-A|$, כלומר, מתקיים $f(A)=0$. בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל $2\times 2$, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל $3\times 3$; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות ${\mathrm{M}}_n(C)$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחת המשפט

נסמן $f(x)={\mathrm{\Sigma }}_{k=0}^n{C}_k{x}^k$. ראשית ידוע כי לכל מטריצה $A$ מתקיים כי $A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)A=\det (A)I$, ולכן עבור $C=xI-A$ מתקיים כי $f(x)I=|xI-A|I=|C|I=C\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)=(xI-A)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)=xI\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)-A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$ ומכיוון שאיברי המטריצה $C$ הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)$ פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-$n-1$. לכן ניתן לכתוב את $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)$ כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)={\mathrm{\Sigma }}_{k=0}^n{B}_k{x}^k$. מכיוון ש-$f(x)I=xI\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)-A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$ אז מתקיים כי $f(x)I={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{C}_{k}I{x}^k$ ו- $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)-A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{B}_{k-1}-A{B}_k$ ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי $C_{k}I=B_{k-1}-A{B}_k$ אז אם נכפול ב-A נקבל כי $C_k{A}^k=A^k{B}_{k-1}-A^{k-1}{B}_k$ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

הוכחה עבור מטריצות לכסינות

אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:

• הפעלת המטריצה הריבועית $f(A)$ (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי $v_i$ כפול סקלר מסוים ${\alpha }_i$ (זה נובע מהגדרה של וקטור עצמי).
• הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי $\lambda$ אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:

$f(A)\cdot v_i=A^n\cdot v_i+c_{n-1}{A}^{n-1}\cdot v_i+\cdots +c_{1}A\cdot v_i+c_0{I}_n\cdot v_i={\lambda }^n{v}_i+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}{v}_i+\cdots +c_1\lambda v_i+c_0{v}_i=f(\lambda )v_i$

• מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה $f(A)$ שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס (${\alpha }_i=0$ לכל i).
• מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה, $v_1,v_2,\dots ,v_n$, הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש-$f(A)$ שווה זהותית למטריצת האפס.

מקורות

• אלגברה א', חלק שלישי, 259-262, ש. עמיצור
• אלגברה א', חלק ראשון, 167, ש. עמיצור
• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט קיילי-המילטון30769553Q656772