משפט הערך הממוצע של גאוס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט הערך הממוצע של גאוס הוא שמם של שני משפטים דומים:

הדמיון בין המשפטים אינו מקרי. החלק הממשי והמרוכב של פונקציה הולומורפית הן פונקציות הרמוניות.

משפט הערך הממוצע של גאוס באנליזה מרוכבת משמש ככלי מרכזי להוכחת תכונות חשובות של פונקציות הולומורפיות, כגון משפט היחידות ומשפט השאריות. בנוסף, משפט הערך הממוצע של גאוס לפונקציות הרמוניות משמש בהוכחת תכונות חשובות של פונקציות הרמוניות כמו עקרון המקסימום ההרמוני. השימוש במשפטים אלו רחב גם בתחומים אחרים של המתמטיקה והפיזיקה, במיוחד בבעיות פוטנציאל ובתורת השדות.

פונקציות הולומורפיות

תהי f פונקציה הולומורפית, ויהי 0r כך שהעיגול ברדיוס r סביב נקודה z0 מוכל בתחום של f. אזי:

f(z0)=12π02πf(z0+reiθ)dθ

הוכחה

יהי C={z:|zz0|=r}. לפי נוסחת האינטגרל של קושי:

f(z0)=12πiCf(z)zz0dz

z0+reiθ,θ[0,2π) היא פרמטריזציה של המעגל C. לכן:

f(z0)=12πi02πf(z0+reiθ)reiθireiθdθ=12π02πf(z0+reiθ)dθ

פונקציות הרמוניות

מהשוויון הנ"ל ניתן להסיק שוויון אנלוגי לפונקציות הרמוניות.

נניח ש-u פונקציה הרמונית בתחום פשוט קשר פתוח. לפי משפט מאנליזה מרוכבת, היא מהווה חלק ממשי של פונקציה אנליטית f על התחום. עבור f מתקיים השוויון לעיל, ולכן אם נוציא חלק ממשי נקבל (בגלל שאינטגרל על פונקציה מרוכבת בגבולות ממשיים מוגדר להיות האינטגרל על החלק הממשי שלה ואנטגרל על החלק המדומה שלה כפול i) :

u(z0)=12π02πu(z0+reiθ)dθ

תכונה זו נקראת תכונת הערך הממוצע לפונקציות הרמוניות. לפי משפט, פונקציה היא הרמונית אם ורק אם היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע.

(כאשר u(z)=u(Rez,Imz)). להכללה של העקרונות הללו ראו גרעין פואסון.

ראו גם

קישורים חיצוניים


משפטי יסוד באנליזה מרוכבת


 
מקרא
משפט באנליזה מרוכבת
משפט בחדו"א המשמש את האנליזה המרוכבת.[1]
שימוש באנליזה מרוכבת מחוצה לה.
 
גרירה: ההוכחה למשפט הנגרר מתבססת על המשפטים הגוררים.[2] כאשר מספר חצים מתמזגים הדבר מסמן התבססות על מספר טענות יחד. לעומת זאת, כאשר מספר חצים שונים נכנסים לאותה תיבה, הדבר מסמן שיש מספר הוכחות שונות וכל אחת מהן מתבססת על קבוצה שונה של טענות.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
משפט האינטגרל של קושי לפונקציה בעלת קדומה מקומית.
משפט האינטגרל של קושי לפונקציה בעלת קדומה מקומית.


 
 
 
 
 
השארית של פונקציה הולומורפית סביב נקודה מוגדרות היטב
השארית של פונקציה הולומורפית סביב נקודה מוגדרות היטב


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
סכימה של טור הנדסי
סכימה של טור הנדסי


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
נגזרות חלקיות, כאשר הן מופעלות על פונקציה גזירה ברציפות פעמיים, מתחלפות
נגזרות חלקיות, כאשר הן מופעלות על פונקציה גזירה ברציפות פעמיים, מתחלפות


 
 
 
 
 
 
 
ניתן להביע פונקציה הולומורפית f כמכפלה zng כאשר n טבעי, g הולומורפית ו - g(0)0.
ניתן להביע פונקציה הולומורפית f כמכפלה zng כאשר n טבעי, g הולומורפית ו - g(0)0.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ניתן להביע פונקציה מרומורפית f כמכפלה zng כאשר n שלם, g הולומורפית ו - g(0)0.
ניתן להביע פונקציה מרומורפית f כמכפלה zng כאשר n שלם, g הולומורפית ו - g(0)0.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
פונקציה שנגזרתה 0 קבועה
פונקציה שנגזרתה 0 קבועה


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. לעיתים יש צורך בגירסה מרוכבת של המשפט, אך הוכחתה אינה נבדלת באופן מהותי מההוכחה של הגרסה הממשית (הריגילה).
  2. כמובן אפשריות הוכחות אחרות שמתבססות על טענות שונות.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הערך הממוצע של גאוס41594053Q16129814