קוטב (אנליזה מרוכבת)
![]() |
ערך מחפש מקורות
| |
ערך מחפש מקורות | |
באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא סוג מסוים של נקודת סינגולריות של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). קוטב היא נקודה בה הפונקציה שואפת לאינסוף בערכה המוחלט.
הגדרה פורמלית
נקודה נקראת קוטב של פונקציה מרוכבת , אם הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, ומתקיים .
המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול קיים, נקרא הסדר של הקוטב. מספר זה תמיד קיים, והגבול עבורו שונה מאפס. קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול .
באופן שקול, ניתן לומר שה־n עבורו הגבול קיים, סופי ושונה מאפס הוא סדר הקוטב.
תכונות
הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית . כלומר, . באופן שקול, יש כך שלפונקציה יש נקודה סינגולרית סליקה ב- [1].
הגבול , עבור מקבל את הערכים הבאים:
- אם .
- אם .
- אם .
דוגמאות
- לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה .
- לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה . כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של הוא: , ולכן .
- לפונקציה אין קוטב בנקודה אלא סינגולריות עיקרית.
כשמרחיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, מוסיפים להגדרה את נקודת האינסוף, כמו בספירת רימן), הנקודה נחשבת לקוטב של מאותו סוג וסדר של הקוטב בפונקציה .
מונחים קשורים
פונקציה מרוכבת שכל נקודות הסינגולריות שלה הן קטבים נקראת פונקציה מרומורפית.
לקריאה נוספת
- ד"ר ודים גרינשטיין ופרופ' אלי לוין, פונקציות מרוכבות, האוניברסיטה הפתוחה, 2009 (הספר במיזם פא"ר)
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ↑ ד"ר ודים גרינשטיין ופרופ' אלי לוין, כרך ד, פונקציות מרוכבות, האוניברסיטה הפתוחה, 2009, עמ' 35-40
אנליזה מרוכבת | ||
---|---|---|
בסיס | מספר מרוכב • שדה המספרים המרוכבים • המשפט היסודי של האלגברה • הספירה של רימן • נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) | |
פונקציות | פונקציה מרוכבת • פונקציה שלמה • פונקציה אנליטית • פונקציה הולומורפית • פונקציה אוניוולנטית • נוסחת אוילר • העתקת מביוס • משפט ההעתקה של רימן | |
נגזרות | משוואות קושי-רימן • העתקה קונפורמית • טור לורן | |
אינטגרל | משפט ההערכה • משפט האינטגרל של קושי • נוסחת האינטגרל של קושי • משפט מוררה • משפט ליוביל | |
סינגולריות | סינגולריות • סינגולריות סליקה • קוטב • סינגולריות עיקרית • משפט קזוראטי-ויירשטראס • נקודת הסתעפות | |
משפט השאריות | משפט השאריות • עקרון הארגומנט • משפט רושה | |
עקרון המקסימום | עקרון המקסימום • למת שוורץ • משפט הערך הממוצע של גאוס | |
אנליזה מתמטית • חשבון אינפיניטסימלי • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |
עץ מיון של נקודות סינגולריות |
---|
קוטב (אנליזה מרוכבת)41423206Q899731