גרעין פואסון

גרעין פואסון הדו-ממדי מוגדר על ידי $P_{r}(\theta )={\frac {1-r^{2}}{1-2rcos(\theta )+r^{2}}}$, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le r <1 , 0\le \theta <2 \pi} . זוהי העתקה חשובה באנליזה מרוכבת ובתורת הפונקציות ההרמוניות, העומדת בבסיס נוסחת פאוסון, בעזרתה מוכיחים טענות שימושיות רבות באנליזה הרמונית, כמו למשל את השקילות שבין פונקציה הרמונית לפונקציה המקיימת את תכונת הערך הממוצע.

הפונקציה נקראת על שמו של סימאון דני פואסון. בעזרת גרעין פואסון ניתן לפתור את משוואת לפלס הדו-ממדית על עיגול היחידה עם תנאי דיריכלה. לגרעין פואסון יש גם שימושים בפיזיקה, כמו בתורת הבקרה ובאלקטרוסטטיקה.

גרעין פואסון במישור

בעיגול היחידה

גרעין פואסון הדו-ממדי על עיגול היחידה $D=\{z:|z|<1\}$ נתון על ידי מספר הגדרות שקולות:

$P_{r}(\theta )={\frac {1-r^{2}}{1-2rcos(\theta )+r^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{r^{|n|}\cdot e^{in\theta }}=Re({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}})={\frac {1-r^{2}}{|1-re^{i\theta }|^{2}}}$

כאשר $0\leq r<1,0\leq \theta <2\pi$.

לפונקציה מספר תכונות בסיסיות:

• הפונקציה חיובית - $P_{r}(\theta )>0$
• גרעין פואסון מונוטוני יורד בקטע $[o,\pi ]$.
• לכל $0\leq r<1$ מתקיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{P_{r}(\theta )d\theta =1}} .
• מתקיים $\lim _{r\to 1}{P_{r}(\theta )}=0$ במידה שווה על כל קטע $[a,\pi ]$ לכל $0<a<\pi$.

המשוואה הבסיסית והחשובה עבור גרעין פואסון בפונקציות מרוכבות היא:

משפט- כל פונקציה אנליטית $f:D\to \mathbb {C}$ ורציפה ב-$\partial {D}=\{z:|z|=1\}$ מקיימת

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall r<1, 0 \le t <2 \pi: f(re^{it})=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} {f(e^{i \theta})P_r(t-\theta)d \theta}}

כלומר, ערך הפונקציה בנקודה בתוך הדיסק נקבע על ידי ערכים על השפה, לפי קונבולוציה ביחס לגרעין פואסון.

כמסקנה ממשפט זה, מקבלים גרסה לפונקציות הרמוניות - אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} פונקציה הרמונית ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} ורציפה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial{D}} , מקיימת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(re^{it})=\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{2 \pi} {u(e^{i \theta})P_r(t-\theta)d \theta}}

(כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(z)=u(Rez,Imz)} ) נוסחה זו נקראת לרוב נוסחת פואסון.

בכיוון ההפוך, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציה ממשית רציפה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial D} אז הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} כנ"ל הרמונית. יותר מכך, מקבלים את המשפט החזק הבא:

משפט- אם $f$ פונקציה ממשית רציפה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial D} , אז ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} (בעזרת נוסחה כנ"ל).

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} המוגדרת לעיל נקראת אינטגרל פואסון של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} .

עיגול כללי

באופן דומה לעיל, ניתן להגדיר את גרעין פואסון על כל כדור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(a,R)=\{z:|z-a|=R\}} ע"י

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall 0 \le \theta <2 \pi, 0 \le r <1 : P_r(\theta)=\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rrcos(\theta)+r^2}}

ואינטגרל פואסון של הפונקציה הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(a+re^{it})=\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{2 \pi} {f(a+Re^{i \theta})P_r(t-\theta)d \theta}}

תכונת הערך הממוצע

נזכר שפונקציה $u$ המוגדרת בקבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} מקיימת את תכונת הערך הממוצע, אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0 \in \Omega} קיימת סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_n>0 , r_n \to 0} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(z_0)=\frac{1}{2 \pi} \int _{0}^{2 \pi}{u(z_0+r_ne^{i \theta}) d \theta}} .

משפט- אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} מוגדרת בתחום פתוח, אז היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע אם ורק אם היא הרמונית בו.

בחצי המישור העליון

היות שחצי המישור העליון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\{z:Imz>0\}} הוא מרחב פשוט קשר, אפשר, לפי משפט ההעתקה של רימן, למפות אותו קונפורמית לעיגול היחידה. דוגמה לפונקציה מפורשות כזו היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{z-i}{z+i}} . בפרט, גרעין פואסון עובר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} ל-$H$. הנוסחה המפורשות לגרעין היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_y(x)=\frac{x}{x^2+y^2}}

ואינטגרל פואסון שלה הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x+yi)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{P_y(x-t)f(t)dt}}

היות שההעתקה הקונפרומית מעבירה גם שפת הדיסק לשפת חצי המישור (שהיא הישר הממשי), גם כאן מקבלים קונבולוציה בין ערכי הפונקציה על השפה לבין גרעין פואסון.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in L^p} (מרחב Lp) פונקציה ממשית, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} לעיל היא הרחבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} כפונקציה המוגדרת רק על השפה (כלומר, פונקציה ממשית) לפונקציה הרמונית על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} , כמו במקרה של עיגול היחידה.

גרעין פואסון במרחב אוקלידי כללי

כהכללה של המקרה הדו-ממדי, מגדירים את גרעין פואסון על כדור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(0,r)=\{x \in \mathbb{R}^n : ||x||<r\}} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_r(x,\zeta )=\frac{r^2-||x||^2}{r \omega_{n-1}||x-\zeta||^n}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta \in S^{n-1}=\{x \in \mathbb{R}^n: ||x||=r\}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{n-1}} שטח המשטח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1}} , הנתון מפורשות על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{2 \pi ^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}} .

בדומה למקרה הדו-ממדי, בהינתן פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} רציפה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1}} , ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית לתוך הכדור בעזרת אינטגרל פואסון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P[u](x)=\int_{S^{n-1}}{u(\zeta)P(x,\zeta)}d \zeta}

ניתן גם להרחיב פונקציות מוגדרות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{n-1} \cong \{x \in \mathbb{R}^n: x_1=0\} \subseteq \mathbb{R}^n} אל חצי המרחב העליון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\{x \in \mathbb{R}^n:x_1>0\}} , על ידי גרעין פואסון הכללי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t,x) = c_n\frac{t}{(t^2+|x|^2)^{(n+1)/2}}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_n = \frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\pi^{(n+1)/2}}.}

ואינטגרל פואסון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t,x) = \int_{\mathbf{R}^n} e^{-2\pi t|\xi|} e^{-2\pi i \xi\cdot x}\,d\xi.}

הקונבולוציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P[u](t,x) = [P(t,\cdot)*u](x)} היא פתרון למשוואת לפלס בחצי המישור העליון.

ראו גם

• פונקציה הרמונית
• משוואת פואסון
• קונבולוציה
• גרעין דיריכלה

קישורים חיצוניים

• גרעין פואסון, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36231501גרעין פואסון