למת שוורץ

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מרוכבת, למת שוורץ (Schwarz lemma) היא טענה הקובעת כי פונקציה מרוכבת אנליטית מעיגול היחידה לעצמו המתאפסת באפס נשלטת על ידי פונקציית הזהות. הלמה נובעת כמעט ישירות מעקרון המקסימום של פונקציות אנליטיות.

את הלמה ניסח והוכיח הרמן שוורץ. הלמה, פשוטה ככל שתהיה, היא הבסיס לטענות רבות אחרות, חלקן מורכבות במיוחד, כמו משפט ההעתקה של רימן.

ניסוח

יהי D={z:|z|<1} עיגול היחידה ללא השפה.

תהי f:DD פונקציה אנליטית, כך ש-f(0)=0. מתקיים:

  • zD:|f(z)||z|.
  • |f(0)|1.

אם בסעיף הראשון מתקיים שוויון עבור z0, או שמתקיים שוויון בסעיף השני, אזי קיים c,|c|=1 כך ש-zD:f(z)=cz.

הוכחה

נגדיר פונקציית עזר:

g(z)={f(z)zz0f(0)z=0

אז g אנליטית על D. לכל ε>0 ולכל |z|1ε מתקיים לפי עקרון המקסימום:

|g(z)|max|z|=1ε|g(z)|=max|z|=1ε|f(z)z|11ε

אם משאיפים ε0, שוב לפי עקרון המקסימום מקבלים zD:|g(z)|1, כלומר zD:|f(z)||z| (הגרירה היא לכל z0, אך ל-z=0 זה ברור). בפרט, עבור אי השוויון ל-g ב-z=0 מקבלים |f(0)|1.

כעת, אם מתקיים שוויון כנ"ל באחד הסעיפים, הרי ש-g(z)=1 עבור נקודה פנימית של D, ולכן לפי עקרון המקסימום g קבועה ושווה לקבוע עם ערך מוחלט 1, ולכן מקבלים f(z)=cz,|c|=1.

למת שוורץ-פיק

גרסה נוספת (ולמעשה שקולה) ללמת שוורץ היא למת שוורץ-פיק (על שם גאורג פיק):

תהי f:DD אנליטית. אז לכל z1,z2D מתקיים:

|f(z1)f(z2)1f(z1)f(z2)||z1z21z1z2|

ומתקיים אי שוויון שוורץ-פיק:

|f(z)|1|f(z)|211|z|2.

הוכחה

לכל aD נגדיר ϕa(z)=za1az. קל לבדוק כי ϕ:DD אנליטית והפיכה, עם הפכית ϕa.

אם כן הטענה שצריך להוכיח היא |ϕf(z2)(f(z1))||ϕz2(z1)|. היות שהפונקציה הפיכה, אפשר להחליף z1ϕz2(z1), ונקבל ששקול להוכיח |ϕf(z2)(f(ϕz2(z1)))||z1|.

כעת נשתמש בלמת שוורץ - נגדיר G(z1)=ϕf(z2)(f(ϕz2(z1))). אז G:DD, ומתקיים G(0)=ϕf(z2)(f(ϕz2(0)))=ϕf(z2)(f(z2)))=0, ולכן מקבלים הדרוש.

כדי להסיק את אי שוויון שוורץ-פיק, נשים לב שמהחלק הראשון נובע |f(z1)f(z2)z1z2||11f(z1)f(z2)||11z1z2|; אי השוויון נובע כאשר משאיפים z1z2.

תוצאות נוספות

להלן תוצאות נוספות מלמת שוורץ.

  • כל פונקציה אנליטית f:DD בעלת שתי נקודות שבת היא הזהות.
  • יהי H={z:Imz>0} חצי המישור המרוכב העליון. כל פונקציה f:HH מקיימת את אי השוויון:

z1,z2H:|f(z1)f(z2)f(z1)f(z2)||z1z2||z1z2|.

לקריאה נוספת

  • S. Dineen (1989), The Schwarz Lemma, Oxford

למת_שוורץ20467896Q1341771