פונקציה מרומורפית

פונקציה מֵרוֹמורפית היא פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב מלבד בקבוצה של קטבים מבודדים. כל פונקציה כזו יכולה להירשם כמנה של שתי פונקציות הולומורפיות כאשר הפונקציה שבמכנה היא לא הקבוע אפס. בצורת הצגה זו של פונקציה מרומורפית הקטבים הם חלק מקבוצת הנקודות שבהן מתאפסת הפונקציה ההולומורפית שבמכנה.

הגדרה מתמטית

עבור תת-תחום $D$ של המספרים המרוכבים (משמע $D \subset ℂ$ ) הפונקציה $f (z)$ תיקרא מרומורפית ב- $D$ אם יש קבוצה בדידה של נקודות $S \subset D$ כך ש- $f (z)$ אנליטית בקבוצה $D ∖ S$ וכל הנקודות בקבוצה $S$ הן או נקודות סינגולריות סליקות או קטבים של הפונקציה.

בניסוח שונה, פונקציה מרומורפית בקבוצה $D$ היא פונקציה מ- $D$ לתוך הספירה של רימן שהיא הולומורפית בכל נקודה - גם בנקודות שתמונתן היא $\infty$ ושהיא אינה הפונקציה הקבועה המקבלת את הערך $\infty$ .

דוגמאות

פונקציות רציונליות הן מרומורפיות במישור המרוכב.

הפונקציה $\frac{z}{\sin z}$ היא מרומורפית בכל המישור המרוכב. לפונקציה זו יש אינסוף קטבים.

פונקציית זטא של רימן ופונקציית גמא הן מרומורפיות בכל המישור המרוכב.

הפונקציה $e^{\frac{1}{z}}$ איננה מרומורפית בכל המישור המרוכב משום שיש לה סינגולריות עיקרית ב-0.

תכונות

אוסף הפונקציות המרומורפיות בתחום $D$ מהווה שדה, כלומר הוא סגור לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. זהו שדה השברים של חוג הפונקציות ההולומורפיות. שדה זה הוא הרחבה של שדה המספרים המרוכבים (שמוכל בשדה הפונקציות המרומורפיות כפונקציות הקבועות).

את ההגדרה של פונקציה מרומורפית ניתן להרחיב לפונקציות מרוכבות המוגדרות על משטח רימן (לדוגמה, הספירה של רימן או עקום אליפטי). אם העקום הוא קומפקטי, שדה הפונקציות המרומורפיות עליו הוא הרחבת שדות מדרגת טרנסצנדנטיות 1 של המרוכבים.

ממדים גבוהים

עבור יריעות מרוכבות בממד גבוה, מגדירים פונקציה מרומורפית בתור מנה של שתי פונקציות הולומורפיות.

קישורים חיצוניים

פונקציה מרומורפית, באתר MathWorld (באנגלית)
פונקציות מרומורפיות, דף שער בספרייה הלאומית

מרחבי פונקציות והכללותיהן

היפר-פונקציות

C^{- \infty}

פונקציות מוכללות מתונות

C_{c}^{- \infty}

L_{l o c}^{1, - s}

L^{1, - s}

L_{c}^{1, - s}

L_{l o c}^{p, - s}

L^{p, - s}

L_{c}^{p, - s}

מידות^[1]

מידות^[1] נתמכות קומפקטית

L_{l o c}^{1}

L^{1}

L_{c}^{1}

L_{l o c}^{p}

L_{}^{p}

L_{c}^{p}

L_{l o c}^{1, s}

L^{1, s}

L_{c}^{1, s}

L_{l o c}^{p, s}

L^{p, s}

L_{c}^{p, s}

L_{l o c}^{2, s}

L_{l o c}^{2}

L_{l o c}^{2, - s}

L^{2, s}

L^{2, - s}

L^{2}

L_{c}^{2, s}

L_{c}^{1}

L_{c}^{1, - s}

C_{c}^{- s}

C^{- s}

L_{c}^{\infty, - s}

L^{\infty, - s}

L_{l o c}^{\infty, - s}

L_{c}^{q, - s}

L^{q, - s}

L_{l o c}^{q, - s}

C_{c}

C

L_{c}^{\infty}

L_{}^{\infty}

L_{l o c}^{\infty}

L_{c}^{q}

L_{}^{q}

L_{l o c}^{q}

C_{c}^{s}

C^{s}

L_{c}^{\infty, s}

L^{\infty, s}

L_{l o c}^{\infty, s}

L_{c}^{q, s}

L^{q, s}

s > 0

L_{l o c}^{q, s}

C_{c}^{\infty}

פונקציות שוורץ

פונקציות מתונות

C^{\infty}

פונקציות נאש

פונקציות אנליטיות ממשיות

מקרא

	מרחב פונקציות על אובייקט גאומטרי (למשל מרחב אוקלידי).^[2]
	מרחב הנתון על ידי תכונה מקומית של פונקציה.^[3]

	מרחב הילברט
	מרחב בנך (שאינו מרחב הילברט)
	מרחב פרשה (שאינו מרחב בנך)
	מרחב דואלי לפרשה (שאינו מרחב בנך)
	מרחב גרעיני

שיכון טבעי. מרחב המקור הוא תת מרחב של מרחב היעד.^[4] כל החצים השחורים מהווים יחד דיאגרמה קומוטטיבית.

דואליות דו צדדית. שני המרחבים דואליים זה לזה.

דואליות. מרחב היעד דואלי למרחב המקור. בכל המיקרים הדואליות נתונה על ידי אינטגרציה ובהתאם קומפטבילית עם השיכונים.

התמרת פוריה דו צדדית. ההתמרה מעבירה את כל אחד מהמרחבים לשני.^[5]

התמרת פוריה. ההתמרה מעבירה את מרחב המקור למרחב היעד.^[5]

$C$	מרחב הפונקציות הרציפות. מוגדר עבור כל מרחב טופולוגי.
$C^{t}$	מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות $t$ פעמים.^[6] מוגדר עבור יריעות חלקות.
$L^{r}$	מרחב L^r. פונקציות שחזקתם ה - $r$ אינטגרבילית. האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב מידה.
$L^{r, t}$	מרחב סובולב. פונקציות שנגזרתם ה - $t$ נמצאת במרחב L^r. ^[6] האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב אוקלידי או אובייקט דומה.
$𝔛_{c}$	פונקציות נתמכות קומפקטית. עבור מרחב פונקציות $𝔛$ הסימון $𝔛_{c}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות ב - $𝔛$ שהתומך שלהם קומפקטי.^[7]
$𝔛_{l o c}$	תכונה מקומית. עבור מרחב פונקציות $𝔛$ הסימון $𝔛_{c}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות שבאופן מקומי מקיימות את התכונה המגדירה של $𝔛$ .^[7]

$s$	מספר ממשי חיובי
$p, q$	מספרים ממשיים המקיימים: $1 < p < 2 < q < \infty$ ו - $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$

פונקציות אנליטיות רב ערכיות

^ ^1.0 ^1.1 על מנת לראות במרחב המדות במידות כמרחב פונצקציות יש לבחור מידה על האוביקט הגאומטרי.
↑ ובאופן כללי יותר האובייקט הגיאמטרי יכול להיות: מרחב טופולוגי, יריעה חלקה, יריעה אנליטית (ממשית או מרוכבת), יריעה אלגברית, מרחב אוקלידי, מרחב l, מרחב מידה ועוד. חלק מהמרחבים מוגדרים רק עבור חלק מהאובייקטים הגאומטריים. רוב המרחבים דורשים לפחות מבנה של יריעה חלקה על האובייקט הגאומטרי.
↑ המקומיות היא על פי הטופולוגיה על האובייקט הגאומטרי המתאים. לדוגמה, פונקציות שוורץ מוגדרות על יריעות אלגבריות ממשיות (או באופן כללי יותר יריעות נאש), לכן המקומיות היא על פי הטופולוגיה של זריצקי (או הטופולוגה המוגבלת על יריעות נאש).
↑ השיכון מוגדר רק כאשר שני המרחבים מוגדרים. לדוגמה מרחב הפולינומים מוגדר עבור יריעה אלגברית ומרחב הפונקציות החלקות מוגדר עבור יריעה חלקה. מרחב הפולינומים מהווה תת-מרחב במרחב הפונקציות החלקות אם עבור יריעה אלגברית ממשית חלקה.
^ ^5.0 ^5.1 רלוונטי רק כאשר האובייקט הגאומטרי הוא חבורה אבלית (בדרך כלל כאשר הוא מרחב אוקלידי)
^ ^6.0 ^6.1 ניתן להגדיר מרחב זה עבור $t$ ממשי כלשהו, אולם אם $t$ אינו מספר טבעי אז ההגדרה מורכבת מעט יותר.
^ ^7.0 ^7.1 המרחבים $𝔛_{l o c}$ ו - $𝔛_{c}$ יכולים להית מוגדרים גם על אובייקטים שעליהם $𝔛$ לא מוגדר. די בכך שהאובייקטים יראו באופן מקומי כמו אלה שעליהם $𝔛$ מוגדר. לדוגמה $L_{c}^{r, t}$ מוגדר עבור כל יריעה חלקה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה מרומורפית40943382Q217616