אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי-שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי-שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

אם $f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ אזי מתקיים $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ .

הערה: ניתן להוכיח כי אם $f$ אינטגרבילית בקטע, אזי גם $|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

לכל $x\in [a,b]$ מתקיים: $-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק כי

$\begin{array}{rl}\underset{a}{\overset{b}{\int }}-|f(x)|dx& \le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\\ -\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx& \le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\end{array}$

נקבל כי $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

$◼$ אי-שוויון_המשולש_האינטגרלי20111753Q6563131