קבוצה פתוחה

בטופולוגיה ובענפים אחרים הקרובים לה במתמטיקה, קבוצה $U$ נקראת קבוצה פתוחה אם, באופן אינטואיטיבי, עבור כל נקודה $x\in U$ ניתן לזוז מעט בכל כיוון ועדיין להימצא בקבוצה $U$ .

למשל, ניתן להתבונן בקטע הפתוח $(0,1)$ המכיל את כל המספרים הממשיים $x$ כאשר $0<x<1$ . מכיוון שבקטע זה כל נקודה $x\neq 0,1$ , המרחק מכל נקודה לקצה שונה מאפס.

באופן שקול, לכל נקודה בקטע ניתן לזוז מעט בכל כיוון על הישר מבלי להגיע לשפתו. לכן הקטע הפתוח $(0,1)$ מהווה קבוצה פתוחה. לעומת זאת הקטע $(0,1]$ אינו פתוח. אם ניקח את $x=1$ ונזוז אפילו מעט בכיוון החיובי נמצא מחוץ לקטע הנתון.

הגדרות

המושג 'קבוצה פתוחה' ניתן להבעה פורמלית ברמות שונות של הכללה.

באנליזה מתמטית, במרחב האוקלידי ה־$n$־ממדי, קבוצה $U$ היא פתוחה אם לכל נקודה $x\in U$ קיימת סביבה $r>0$ המוכלת במלואה ב־$U$ , כלומר כל נקודה $a$ שמרחקה $d(a,x)<r$ מקיימת $a\in U$ .

כאשר עוסקים במרחבים מטריים ניתן להכליל את ההגדרה כך: קבוצה $U$ היא פתוחה אם לכל $x\in U$ קיים כדור פתוח $B$ שמרכזו $x$ ורדיוסו $r$ כך שעבורו $B(x,r)\subseteq U$ .

ניתן גם להגדיר קבוצה פתוחה בעזרת שימוש במושג הפנים: קבוצה פתוחה היא קבוצה השווה לפנים שלה.

במרחב טופולוגי כללי לא קיים מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות פתוחות באמצעותו. הקבוצה הפתוחה מהווה מושג יסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב. מתוך כל הקבוצות החלקיות במרחב, בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות, שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות פתוחות במובן המטרי). הקבוצות במשפחה זו נקראות קבוצות פתוחות ולמשפחה קוראים טופולוגיה. בכך מהווה השימוש בקבוצות פתוחות בטופולוגיה הכללה של השימוש בקבוצות הפתוחות במרחבים מטריים.

תכונות

• הקבוצה הריקה היא קבוצה פתוחה (נשים לב כי היא גם קבוצה סגורה).
• האיחוד הסופי והאינסופי של קבוצות פתוחות מהווה קבוצה פתוחה.
• החיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח אבל זה לא תמיד נכון עבור חיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות (ראה דוגמה בהערות).
• המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה.

הערות

החיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות לא בהכרח קבוצה פתוחה.

למשל, החיתוך האינסופי של הקטעים הפתוחים $\left(1-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right)$ בממשיים הוא $\{1\}$ , וזוהי קבוצה לא פתוחה עם המטריקה הרגילה.

נשים לב ש'פתיחות' קבוצה מסוימת תלויה במרחב בו היא מוגדרת. למשל, אם $U$ מוגדרת כקבוצת המספרים הרציונליים בקטע $(0,1)$ אזי $U$ פתוחה בקבוצת המספרים הרציונליים. זאת מכיוון שבמקרה זה אין מספרים אי-רציונליים אליהם אנו יכולים לזוז ולכן התזוזה הקטנה ביותר האפשרית היא ממספר רציונלי אחד למשנהו (שכידוע יכולה להיות קטנה כרצוננו).

בנוסף, לא משנה עד כמה $x\in U$ קרוב ל-0 או ל-1, תמיד קיים מספר רציונלי בין $x$ ל-0 או ל-1 אליו ניתן לזוז מבלי לצאת מ-$U$ .

כאשר מתייחסים לקבוצה כתת-קבוצה של המספרים הממשיים הקבוצה אינה פתוחה. זאת מכיוון שבין כל שני מספרים רציונליים נמצאים אינסוף מספרים אי-רציונליים לא ניתן לזוז מאיבר ב-$U$ אפילו מעט לאחד הכיוונים מבלי לעבור במספרים אי-רציונליים (שאינם שייכים ל-$U$).

בנוסף נשים לב כי ישנן קבוצות שהינן גם פתוחות וגם סגורות: דהיינו פתיחות וסגירות של קבוצה הן לא דבר והיפוכו. ב-$\mathbb {R}$ ובמרחבים קשירים אחרים רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הם גם סגורים וגם פתוחים. ברציונליים למשל, קבוצת כל המספרים הרציונליים הקטנים מ-${\sqrt {2}}$ היא גם פתוחה וגם סגורה.

כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא פתוחה ולא סגורה, למשל $(0,1]$ בישר הממשי.

ראו גם

• קבוצה סגורה
• סביבה