באנליזה מרוכבת , משפט האינטגרל של קושי-גורסה (ע"ש אוגוסטין קושי ואדוארד גורסה ) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות . בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של תחום פשוט קשר ), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.
למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי , משפט ליוביל , המשפט היסודי של האלגברה , משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור .
ניסוח פורמלי יהא
U
⊂
C
{\displaystyle U\subset \mathbb {C} }
תחום קושי כך שהשפה
∂
U
{\displaystyle \partial U}
f
(
z
)
:
U
¯
→
C
{\displaystyle f(z):{\bar {U}}\rightarrow \mathbb {C} }
∂
U
{\displaystyle \partial U}
U
{\displaystyle U}
∮
∂
U
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{\partial U}f(z)\,dz=0}
המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי
f
{\displaystyle f}
D
{\displaystyle D}
Δ
{\displaystyle \Delta }
D
{\displaystyle D}
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=0}
הוכחה תחילה, נניח
|
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
|
=
S
>
0
{\displaystyle \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|=S>0}
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
=
∑
k
=
1
4
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{4}\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz}
|
∮
∂
Δ
f
(
z
)
d
z
|
≤
∑
k
=
1
4
|
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
|
{\displaystyle \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|}
לכן
S
≤
∑
k
=
1
4
|
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
|
{\displaystyle S\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|}
עקרון דיריכלה נובע שקיים
1
≤
k
0
≤
4
{\displaystyle 1\leq k_{0}\leq 4}
|
∮
∂
Δ
k
(
1
)
f
(
z
)
d
z
|
≥
S
4
{\displaystyle \left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4}}}
נסמן
Δ
k
0
(
1
)
=
Δ
1
{\displaystyle \Delta _{k_{0}}^{(1)}=\Delta _{1}}
Δ
0
⊃
Δ
1
⊃
Δ
2
⊃
.
.
.
⊃
Δ
n
{\displaystyle \Delta _{0}\supset \Delta _{1}\supset \Delta _{2}\supset ...\supset \Delta _{n}}
|
∮
∂
Δ
n
f
(
z
)
d
z
|
≥
S
4
n
{\displaystyle \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4^{n}}}}
לפי הלמה של קנטור , קיים
z
0
{\displaystyle z_{0}}
⋂
n
=
0
∞
Δ
n
=
{
z
0
}
{\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }\Delta _{n}=\left\{z_{0}\right\}}
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
+
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
+
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
{\displaystyle f(z)=f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0})}
lim
z
→
z
0
ε
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}\varepsilon (z)=0}
מכאן ש-
S
4
n
≤
|
∮
∂
Δ
n
f
(
z
)
d
z
|
=
|
∮
∂
Δ
n
[
f
(
z
0
)
+
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
+
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
]
d
z
|
=
(
∗
)
{\displaystyle {\frac {S}{4^{n}}}\leq \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}{\big [}f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0}){\big ]}\,dz\right|=(*)}
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים:
(
z
f
(
z
0
)
)
′
=
f
(
z
0
)
,
(
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
2
2
)
′
=
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
{\displaystyle (zf(z_{0}))'=f(z_{0})\ ,\ \left({\frac {f'(z_{0})(z-z_{0})^{2}}{2}}\right)'=f'(z_{0})(z-z_{0})}
ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה , שהיא אנליטית בכל
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
D
{\displaystyle D}
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי . ולכן מתקיים
(
∗
)
=
|
∮
∂
Δ
n
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
d
z
|
{\displaystyle (*)=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|}
נביט באורכי המסילות:
l
(
Δ
0
)
=
l
,
l
(
Δ
1
)
=
l
2
,
.
.
.
l
(
Δ
n
)
=
l
2
n
{\displaystyle l(\Delta _{0})=l\ ,\ l(\Delta _{1})={\frac {l}{2}}\ ,\ ...\ l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}}
z
∈
∂
Δ
n
{\displaystyle z\in \partial \Delta _{n}}
|
z
−
z
0
|
<
l
(
Δ
n
)
=
l
2
n
{\displaystyle \left|z-z_{0}\right|<l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}}
לפי הגדרת האינטגרל, אם
γ
{\displaystyle \gamma }
f
{\displaystyle f}
γ
{\displaystyle \gamma }
|
∮
γ
f
(
z
)
d
z
|
≤
M
⋅
l
(
γ
)
{\displaystyle \left|\oint _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\cdot l(\gamma )}
M
=
m
a
x
|
f
(
z
)
|
{\displaystyle M=max\left|f(z)\right|}
γ
{\displaystyle \ \gamma }
l
(
γ
)
{\displaystyle l(\gamma )}
γ
{\displaystyle \gamma }
|
∮
∂
Δ
n
ε
(
z
)
(
z
−
z
0
)
d
z
|
≤
m
a
x
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
n
⋅
l
(
Δ
n
)
=
m
a
x
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
4
n
{\displaystyle \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|\leq max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l}{2^{n}}}\cdot l(\Delta _{n})=max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}}
מכאן נובע:
S
4
n
≤
m
a
x
∂
Δ
n
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
4
n
{\displaystyle {\frac {S}{4^{n}}}\leq max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}}
4
n
{\displaystyle 4^{n}}
S
≤
m
a
x
∂
Δ
n
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
{\displaystyle S\leq \ max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}}
אבל
lim
n
→
∞
(
m
a
x
∂
Δ
n
|
ε
(
z
)
|
⋅
l
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}\right)=0}
ε
(
z
)
{\displaystyle \varepsilon (z)}
lim
z
→
z
0
ε
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}\varepsilon (z)=0}
l
2
{\displaystyle l^{2}}
S
=
0
{\displaystyle S=0}
ולכן נקבל
S
=
0
{\displaystyle S=0}
∮
T
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{T}f(z)\,dz=0}
קישורים חיצוניים משפט האינטגרל של קושי 33508198 Q834025
![{\displaystyle {\frac {S}{4^{n}}}\leq \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}{\big [}f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0}){\big ]}\,dz\right|=(*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe482b054ab17207f78e65385ceb6977b0d143f)
