שחלוף (מתמטיקה)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף מטריצה משוחלפת)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף AT של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית

תהא A מטריצה מסדר n×m. המטריצה המשוחלפת שלה, A (מקובלים גם הסימונים  AT,At,tA,Atr,A) היא מטריצה מסדר m×n שמוגדרת כך: (A)ij=(A)ji, עבור כל 1im,1jn.

דוגמאות:

[1234]=[1324]

[123456]=[135246]

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

  • (A+B)=A+B.
  • (λA)=λ(A).
  • (AB)=BA
  • (A)=A

מן התכונות האלה נובע גם שאם A הפיכה אז גם  A הפיכה ו-(A)1=(A1).

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של  A שווה לזה של  A, ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית  A נקראת סימטרית אם A=A, כלומר  A שווה למטריצה המשוחלפת שלה.  A נקראת אנטי-סימטרית אם A=A.

אם  A היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים  A1=A, אז  A נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית  A היא אורתוגונלית אם ורק אם  AA=AA=I, כאשר  I היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה  A מסומן  A* וכאמור מוגדר לפי  (A*)ij=Aji. אם  A מקיימת  A*=A, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה ליניארית

ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית

אם  V ו- W הם מרחבים וקטוריים מעל שדה 𝔽 ו-T:VW היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה T:W*V* בין המרחבים הדואליים של  W ו- V המוגדרת באופן הבא:

(Tg)(v)=g(T(v)) לכל vV ולכל gW*.

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת  T. הפונקציונל  Tg מכונה לעיתים המשיכה לאחור של  g במקביל ל- T.

אם  V ו- W הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, 𝔅 הוא בסיס סדור ל- V עם בסיס דואלי 𝔅*, 𝔅 הוא בסיס סדור ל- W עם בסיס דואלי 𝔅'* ו- A היא המטריצה המייצגת של  T ביחס לבסיסים 𝔅,𝔅, אז המטריצה המייצגת של  T ביחס לבסיסים 𝔅'*,𝔅* היא בדיוק  A.


קישורים חיצוניים

  • שחלוף, באתר MathWorld (באנגלית)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שחלוף (מתמטיקה)40461688Q223683