מרחב מכפלה פנימית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף מכפלה פנימית)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המקיימת תכונות מסוימות ומכונה מכפלה פנימית.

מכפלה פנימית היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב נתון, ומחזירה סקלר מעל השדה הנתון. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך וזווית. האורך והזווית המוכללים אינם בהכרח בעלי משמעות גאומטרית. העקרונות שמגדירים את פעולת המכפלה הפנימית, נלמדים ומוכללים ממושג המכפלה הסקלרית שמוגדרת מעל המרחב התלת-ממדי שאינטואיטיבי לחשיבה האנושית.

מרחב וקטורי V מעל השדה 𝔽, עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית. עבור מרחבים מממד סופי, כאשר 𝔽= המרחב V נקרא מרחב אוקלידי, וכאשר 𝔽= הוא נקרא מרחב אוניטרי.

הגדרה פורמלית

יהי V מרחב וקטורי מעל השדה 𝔽, כאשר 𝔽 הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים . פונקציה ,:V×V𝔽 תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

  • אדיטיביות ברכיב הראשון:
    a,b,cV:a+b,c=a,c+b,c
  • הומוגניות ברכיב הראשון:
    a,bV,λ𝔽:λa,b=λa,b
  • הרמיטיות (מעל הממשיים – סימטריות):
    x,yV, x,y=y,x
  • חיוביות לחלוטין (אי-שליליות וממשיות):
    xV, x,x0 והשוויון מתקבל אם ורק אם  x=0

השלכות מההגדרה

  • תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
    x,x=x,x פירושו כי x,x הוא מספר ממשי (משום שהצמוד למספר ממשי הוא המספר עצמו).
  • באמצעות ההרמיטיות ניתן להכליל את האדיטיביות גם עבור הרכיב השני כלומר:a,b,cV:a,b+c=a,b+a,c. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב – כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
x,λy=λx,y
  • מההומוגניות נובע כי תמיד מתקיים: 0,x=0x,x=0x,x=0

שימושים

בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להכליל את המושגים אורך, מרחק בין שני וקטורים, זווית בין שני וקטורים וניצבות, המוכרים מהמרחב האוקלידי:

נורמה (הכללת האורך)

x=x,x
בזכות תכונת האי-שליליות (חיוביות לחלוטין) גודל זה הוא תמיד אי-שלילי.

מטריקה (הכללת המרחק)

d(x,y)=xy,xy

זווית בין שני וקטורים

ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: θ(x,y)=arccosx,yxy. ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.

אורתוגונליות (הכללת הניצבות)

שני וקטורים x ו-y הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה 0, כלומר x,y=0 ומסמנים xy.

מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה לעיל המושרית מהמכפלה הפנימית.

דוגמאות למכפלות פנימיות

ראו גם

קישורים חיצוניים


תבנית:עץ מיון של מרחבים וקטוריים טופולוגיים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב מכפלה פנימית41417851Q214159