פונקציה חד-חד-ערכית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

פונקציה חד-חד-ערכית (חח"ע) היא פונקציה המקבלת כל ערך פעם אחת לכל היותר. כלומר, אין שני איברים שונים בתחום של הפונקציה שלשניהם מתאימה הפונקציה אותו ערך בטווח.

הגדרה

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X\rarr Y} היא חד-חד-ערכית, אם השוויון $f(a)=f(b)$ עבור $a,b$ ב-$X$, מחייב $a=b$. (או בניסוח מקביל $a\neq b$ גורר $f(a)\neq f(b)$)

המונח "פונקציה חד-ערכית" אינו בשימוש, משום שכל פונקציה היא, מעצם הגדרתה, חד-ערכית: פונקציה מתאימה ערך יחיד $f(x)$ לכל איבר $x$ בתחום שעליו היא מוגדרת. בפונקציה חד-חד-ערכית גם הכיוון ההפוך נכון: היא מתאימה מקור יחיד, $x$, לכל ערך $f(x)$ בתמונה שלה.

פונקציות חד-חד-ערכיות ממלאות תפקיד דומה גם כאשר הן מוגדרות בין קבוצות שיש עליהן מבנה נוסף (כגון יחס סדר, פעולות של מבנה אלגברי, טופולוגיה, ועוד). במקרה כזה (ולפעמים, כאשר מתקיימים תנאים נוספים), הפונקציה נקראת גם שיכון, משום שהיא משכנת את המבנה $X$ כתת-מבנה בתוך המבנה $Y$, ובכך מאפשרת ללמוד מזה על זה, ולהשוות ביניהם.

תכונות

1. החד-חד-ערכיות של פונקציה $f:X\rightarrow Y$ מאפשרת להגדיר לה פונקציה הפוכה מן התמונה $f(X)=\{f(x):x\in X\}$ אל המקור $X$: לכל $y\in f(X)$, הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(y)$ מקבלת את הערך היחיד $x\in X$ המקיים $f(x)=y$ (היחידות שקולה כמובן לכך ש-$f$ חד-חד-ערכית). יש להבחין שהפונקציה אינה מוגדרת על כל $Y$, אלא רק על התמונה של $X$, ואכן ההרכבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}\circ f} היא פונקציית הזהות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , ואילו ההרכבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \circ f^{-1}} היא פונקציית הזהות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)} , אבל אינה מוגדרת על כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} .
2. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X \rightarrow Y} פונקציה ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B} תת-קבוצות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)} , אבל בדרך כלל אין שוויון בין הקבוצות; אם $f$ חד-חד-ערכית מתקבל שוויון.
3. נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : X \rightarrow Y} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g : Y \rightarrow Z} הן שתי פונקציות. אם ההרכבה שלהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g \circ f : X \rightarrow Z} חד-חד-ערכית, אז גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בהכרח כזו (אולם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} לא בהכרח חד-חד-ערכית). מצד שני, אם גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} חד-חד-ערכיות, גם ההרכבה מקיימת תכונה זו.
4. תכונת החד-חד-ערכיות שקולה לתכונת ה"צמצום משמאל", במובן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X \rightarrow Y} חד-חד-ערכית, אם ורק אם לכל שתי פונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g,h:W \rightarrow X} כך ש-$f\circ g=f\circ h$, מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g=h} . עובדה זו מאפשרת להגדיר בתורת הקטגוריות את המושג "פונקציה אינג'קטיבית", שהוא הכללה של "פונקציה חד-חד-ערכית" מן הקטגוריה של הקבוצות לקטגוריה כללית.

מעצם קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: X \rightarrow Y} אפשר להסיק שבקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} יש לפחות אותו מספר איברים כמו ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} (אחרת לא ניתן היה להתאים לכל איבר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ערך נפרד). הבחנה זו עומדת בבסיס התורה של עוצמות: אומרים שהעוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} קטנה-או-שווה לעוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} (היינו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |X|\leq |Y|} ) אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} .

דוגמאות

• 
  דוגמה לפונקציה חד-חד-ערכית: לכל איבר בתחום (הקבוצה X) מתאים איבר אחר בטווח (הקבוצה Y).
• 
  דוגמה לפונקציה שאינה חד-חד-ערכית: לאיברים 3 ו-4 בתחום מתאים אותו איבר בטווח.

• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = x} היא פונקציה חד-חד-ערכית בכל הישר הממשי.
• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = x^2} היא פונקציה חד-חד-ערכית בתחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, \infty) } אך אינה חד-חד-ערכית בכל הישר הממשי, מפני שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 = (-x)^2}

הפונקציה הממשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} המוגדרת לפי השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=2x+1} היא חד-חד-ערכית, משום שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2x+1=2y+1} אז בהכרח $x=y$. לעומת זאת, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=x^2} , המוגדרת על כל המספרים הממשיים, אינה חד-חד-ערכית, משום ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(1)=g(-1)=1} . הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} מקבלת כל ערך (לכל היותר) פעמיים, ואם מצמצמים את תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה אל המספרים החיוביים בלבד, הפונקציה המתקבלת היא חד-חד-ערכית.

ראו גם

• פונקציה על
• פונקציה הפיכה: פונקציה חד-חד-ערכית ועל
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה חד-חד-ערכית בוויקישיתוף

• פונקציה חד-חד-ערכית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - פונקציות חד-חד-ערכיות, על והפיכות, באתר "לא מדויק", 15 במאי 2020

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה חד-חד-ערכית34176390Q182003