הפרש סימטרי

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של A ו-B. הפרש סימטרי הוא האיחוד ללא החיתוך:
$ ~\setminus ~ $ $ ~=~ $

הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות. שעבור שתי קבוצות $ \ A $ ו-$ \ B $ היא מחזירה קבוצה $ \ C $ המורכבת מכל איברי $ \ A $ שלא שייכים ל-$ \ B $ וכל איברי $ \ B $ שלא שייכים ל-$ \ A $ - כלומר, היא כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

הגדרה

ההפרש הסימטרי, המסומן $ \ \Delta $ מוגדר כדלהלן:

$ \ A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B) $

תכונות

• הפעולה היא פעולה קומוטטיבית: $ \ A\Delta B=B\Delta A $
• זוהי פעולה אסוציאטיבית: $ \ (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C) $

פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.

אם X קבוצה, אז קבוצת החזקה $ \ P(X) $, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה $ \ x^{2}=x $ לכל x.

ראו גם

• הפרש של קבוצות
• איחוד (מתמטיקה)
• חיתוך (מתמטיקה)
• מונחים בתורת הקבוצות
• xor

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הפרש סימטרי בוויקישיתוף

• הפרש סימטרי, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.