‏e (קבוע מתמטי)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

באיור מוצגות שלוש פונקציות מעריכיות בבסיסים שונים. פונקציית האקספוננט, המסומנת בכחול, היא הפונקציה המעריכית היחידה ששיפוע הישר המשיק לה (המסומן באדום) בנקודה x=0 הוא 1.

e (נקרא גם קבוע אוילר על שם לאונרד אוילר, או קבוע נפייר על שם ג'ון נפייר) הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי חשוב שערכו בקירוב 2.71828182845904, המשמש כבסיס הלוגריתם הטבעי.

ניתן להגדיר את הקבוע e בדרכים אחדות, השקולות זו לזו. הקבוע e מתאר את הגידול בסוף השנה בהפקדת סכום כסף בריבית של 100% לשנה, לו היה הבנק מחשב את סכומי הריבית המגיעים למפקיד בכל רגע ומפקיד אותם מיד באותם תנאים. באופן זה e מוגדר כגבול הערך $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ כאשר $n$ שואף לאינסוף. מכיוון שתהליכים בטבע מצייתים לחוקי התנהגות רגעיים, הקבוע מופיע כמו מעצמו בתיאור של תופעות רבות בהן קיים שינוי רציף, כמו גם בחישובי ריבית.

הסימון באות מיוחדת עבור e הוכנס לשימוש על ידי לאונרד אוילר ב-1727.

היסטוריה

האזכור הראשון לקבוע זה פורסם ב-1618 בטבלה בסוף עבודה על לוגריתמים מאת ג'ון נפייר. אולם, הטבלה לא כללה את המספר עצמו אלא רק רשימת לוגריתמים שחושבו על פי הקבוע. ההנחה הרווחת היא שהטבלה נכתבה על ידי ויליאם אוטרד. ההתייחסות הראשונה למספר בתור קבוע הייתה של יאקוב ברנולי, כשניסה למצוא את הערך של הביטוי:

$$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$$

השימוש הראשון לקבוע, שסומן אז בתור b, הוא במכתב ששלח גוטפריד לייבניץ אל כריסטיאן הויגנס ב-1690. לאונרד אוילר סימן לראשונה את הקבוע כ-e ב-1727, והפרסום הראשון שעשה שימוש בסימון זה היה ספרו של אוילר "מכניקה" מ-1736. אף על פי שבשנים הראשונות חלק מן החוקרים השתמשו באות c, האות e הייתה נפוצה יותר ולבסוף הפכה לסטנדרט המדעי.

הסיבה לשימוש דווקא באות זו אינה ידועה, אבל סביר שזה בגלל היותה האות הראשונה במילה הלטינית אקספוננט. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר אות זו היא, כי זוהי התנועה הראשונה אחרי האות a, שכבר הייתה בשימוש. לא ברור, על פי אפשרות זו, למה אוילר בחר דווקא תנועות ולא עיצורים. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר באות זאת כי זאת האות הראשונה בשם משפחתו (euler).

הגדרה

קובץ:Hyperbola E.svg

$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}$
e מוגדר כך שהשטח הצבוע בתכלת שווה ל-1

מקובלות ארבע דרכים להגדרתו המתמטית של המספר e, כולן שקולות:

1. הגבול של הסדרה הבאה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n} \right) ^n}

הגדרה זו למעשה מתארת 'גידול המשכי', המופיע הן בחישובי ריבית דריבית והן בגדילה וצמיחה בעולם החי, בו התאים משכפלים את עצמם והצמיחה היא בקצב אחיד לאורך תקופות. על כך בהרחבה בהמשך.

2. מהגדרה זו נובע שעד כדי כפל בקבוע, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x} היא היחידה השווה לנגזרת של עצמה ולכן e הוא היחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(1)/y(0)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x)} היא פונקציה המקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'(x) = y(x)} ואיננה זהותית 0.

3. פיתוח עובדה זו לטור טיילור (או חישוב הגבול באינסוף של הסדרה הנ"ל בעזרת הבינום של ניוטון) מספק טור אינסופי המסתכם ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}= \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots=e} .

4. המספר $\,x$ המקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t = {1}}

כלומר, e הוא המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x} שעבורו השטח שמתחת להיפרבולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \, f(t)=1/t } מ-1 ועד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x} שווה ל-1.

דרכים נוספות לחישוב e

סכום טור אינסופי
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}}
	$e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}$
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+1}{(3k)!}}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \cfrac{-12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{k^2} \ \cos \left ( \cfrac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3} }
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}}
שבר משולב אינסופי	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+{\cfrac{4}{5+_\ddots}}}}}}}
גבול	$e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}$
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\lim_{x \to \infty}\biggl(1+\frac{1}{x}\biggr)^x}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\lim_{x \to -\infty}\biggl(1+\frac{1}{x}\biggr)^x}
	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\lim_{x \to 0}\sqrt[x]{1+x}}
מקסימום	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\max \sqrt[x]{x}}

תכונות

ערך מורחב – טרנסצנדנטיות של e

e הוא מספר אי-רציונלי. יתרה מכך, הוא גם מספר טרנסצנדנטי, כלומר – e אינו שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים.

לפונקציה המעריכית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, e^x} (אקספוננט) יש תכונה מיוחדת: הנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה. כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, (e^x)'=e^x } . תכונה זו ייחודית לפונקציית האקספוננט (ולכפולות שלה בקבועים). את פונקציית האקספוננט נהוג לרשום גם כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp(x)} ואז $\,\exp(1)=e$. רישום זה נפוץ בספרים ישנים, שבהם היה קושי להציג נוסחאות מורכבות בגלל מגבלות ההדפסה.

הפונקציה ההפוכה לפונקציית האקספוננט היא פונקציית הלוגריתם הטבעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \log_e x} , המסומנת בקיצור כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \ln x} .

הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x} גם משמשת להגדרת הפונקציות הטריגונומטריות (סינוס וקוסינוס) כאשר הארגומנט הוא מספר מדומה, באמצעות נוסחת אוילר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i \theta} = \cos\theta + i \sin\theta = cis\theta}

כאשר נציב בנוסחה זו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta = \pi} נקבל את הקשר בין חמשת הקבועים הבסיסיים של המתמטיקה, הידוע בשם זהות אוילר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i\pi}+1=0}

הוכחת אי-רציונליות

בשנת 1737 הוכיח אוילר ש-e הוא מספר אי-רציונלי. הוכחתו התבססה על הצגתו של e כשבר משולב. להלן הוכחתו המאוחרת יותר של ז'וזף פורייה לטענה זו. נניח בשלילה כי e הוא רציונלי. e הוא בבירור מספר חיובי, ולפיכך קיימים מספרים טבעיים a ו-b כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\frac{a}{b}} . נסמן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x = b!\left(e - \sum_{n=0}^b\frac{1}{n!}\right)}

• כעת נראה כי x הוא מספר שלם:

$x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}$

והביטוי האחרון הוא מספר שלם משום ש-n קטן או שווה ל-b.

• כפי שהוגדר לעיל, x הוא בבירור מספר חיובי. להלן נראה כי x קטן מ-1, ומכיוון שאין מספרים שלמים בין 0 ל-1 הרי שבכך נקבל סתירה ונסיק ש e הוא אי-רציונלי:

כזכור, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}} , ולפיכך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = b!\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{1}{n!}}

לכן נוכל לכתוב:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x = \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!} & = \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \dots = \\ & = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \dots < \\ & <\frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \dots \end{align}}

הביטוי האחרון הוא טור הנדסי שאיברו הראשון הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{b+1}} ומנתו היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{b+1} < 1} , ולפיכך, על פי נוסחת הסכום של טור הנדסי, סכומו הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\frac{1}{b+1}}{1-\frac{1}{b+1}}=\frac{1}{b}} לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x < \frac{1}{b} \le 1} , כלומר x הוא מספר חיובי שלם הקטן מ-1. זוהי סתירה ולפיכך e הוא מספר אי-רציונלי.

הוכחת טרנסצנדנטיות

העובדה שהקבוע e הוא מספר טרנסצנדנטי, מספר שאין אפשרות להגדיר אותו באמצעות פעולות אלגבריות של חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה בחזקה, נתגלתה בידי שארל הרמיט בשנת 1873. בהמשך המתמטיקאי פרדיננד לינדמן השתמש בעובדת היותו של e מספר טרנסצנדנטי ובאמצעות נוסחת אוילר הקושרת את הקבוע e עם הקבוע פאי, הוכיח שגם פאי הוא מספר טרנסצנדנטי.

שימושים

הקבוע e מופיע בניתוחים ומשמש בחישובים של בעיות מתחומים שונים, בעיקר מתחום הניתוח ההסתברותי, הכלכלה ומדעי החיים והטבע, הקשורים בגידול המשכי.

גידול המשכי

תהליכי גידול המשכי (נקראים גם גידול מעריכי או גידול אקספוננציאלי) הם תהליכי צמיחה בהם כמות הצמיחה הנוכחית תלויה באופן קבוע בכמות הצמיחה הקודמת. גידול המשכי מתואר כך: יחידה מקורית צומחת בקצב מסוים, וכל חלק חדש הנובע מהצמיחה, עם היווצרו צומח אף הוא באותו הקצב. בתחום הכלכלה ובחישובי ריבית דריבית היחידה המקורית נקראת הקרן. הקבוע e מתאר את כמות הצמיחה כאשר קצב הגידול הוא של הכפלה עצמית בתקופה הנמדדת.

דוגמה: יחידה מקורית צומחת ומכפילה את עצמה במהלך תקופה של אלף ימים. היחידה בנויה מאלף תתי יחידות, אשר לאחר אלף ימים ישוכפלו כולן. בכל יום משוכפלת תת-יחידה אחת, אך מיד עם שכפולה, ברגע שנוצרת תת-היחידה החדשה, גם זו תתחיל בשכפול עצמה בקצב של היחידה המקורית, כלומר ביום הבא, בנוסף לשכפול תת-יחידה, יחל שכפול של אלפית מתת היחידה הקודמת שנוצרה לפני יום.

וכך:

1. ביום הראשון תשוכפל תת-יחידה אחת.
   בסיכומו של היום הראשון נקבל 1.001
2. ביום השני תשוכפל תת-יחידה אחת, אך בנוסף תצמח גם אלפית נוספת מתת היחידה של היום הראשון.
   בסיכומו של היום השני נקבל 1.002001
3. ביום השלישי תשוכפל תת-יחידה אחת, אלפית מכל אחת משתי תתי היחידה שהצטברו ביום השני, ובנוסף גם אלפית מן האלפית (כלומר אחד חלקי מיליון) שצמחה ביום השני.
   בסיכומו של היום השלישי נקבל 1.003003001
4. ביום הרביעי תשוכפל תת-יחידה אחת, אלפית מכל שלש תתי היחידה שהצטברו ביום השלישי, אחד ממיליון מכל אחד משלש האלפיות שהצטברו, ועוד חלק אלפית המיליון מחלק המיליון שנוסף ביום השלישי.
   בסיכומו של היום הרביעי נקבל: 1.004006004001

וכן הלאה.

לאחר אלף ימים, בנוסף ליחידה המשוכפלת יהיו גם תתי היחידות הנוספות שצמחו. סך כל הצמיחה שנוצרה יהיה e, מעט יותר מפעמיים וחצי מספר תתי היחידות המקורי, ובקירוב: 2718 תתי יחידות, חישוב מקורב של e כפול אלף.

הגידול ההמשכי יכול לתאר תהליכי צמיחה, כאשר כל העת מתווספות יחידות חדשות, או דעיכה, כאשר יחידות הולכות ונחסרות.

גידול המשכי קיים בתחומים רבים, בהם בטבע ובעולם החי, בנוסחאות מתמטיות וחישוביות, וכן בתופעות אקראיות החוזרות על עצמן ומצטברות. משום כך הקבוע e מופיע בחישובי הסתברות, בניתוחי צמיחה בכלכלה ובמדעי הטבע החיים והסביבה, ותופס מקום חשוב בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

ריבית דריבית

בחישובי ריבית דריבית e מהווה קבוע לחישוב החוב כעבור זמן מסוים או כעבור מספר מחזורים מסוים. הקבוע e נתגלה בידי יאקוב ברנולי בעת ניתוח חישובי ריבית דריבית.

לדוגמה, אם אדם מפקיד בבנק סכום של שקל אחד (הקרן היא שקל אחד) ומקבל ריבית של 100% המחושבת אחת לשנה, הוא יצבור סכום של שני שקלים בסוף השנה. אם הבנק יחשב את הריבית מדי חצי שנה בריבית דריבית, כלומר ריבית של 50% בחצי הראשון של השנה שלאחריו יהיה בבנק שקל וחצי, וחישוב ריבית של 50% בחצי השני של השנה, הפעם 50% על שקל וחצי, שהם 50% על הקרן – השקל, ועוד 50% על הריבית שנצברה – חצי השקל שהתקבל בחלק הראשון של השנה. בתום החצי השני של השנה יהיו ברשותו 2.25 שקלים. אם חישוב הריבית יבוצע מדי רבע שנה, יסיים עם 2.44 שקלים. אם חישובי הריבית יבוצעו במרווחי הזמן הקטנים ביותר הסכום שיתקבל יתקרב ל-e כפול הקרן. בדוגמה שלנו הקרן הוא שקל אחד, ולכן בסוף השנה המפקיד יקבל מהבנק e שקלים לפי הנוסחה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n} \right) ^n} שהם בקירוב 2 שקלים ו-72 אגורות.

חישובי הסתברות

התפלגות נורמלית

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית נתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} } פונקציה זו נקראת "פעמון גאוס" או "גאוסיאן" על שם המתמטיקאי הנודע קרל פרידריך גאוס. פונקציה זו שימושית ביותר – הן לצורכי תאוריה והן לצרכים ניסיוניים, שכן לפי משפט הגבול המרכזי הממוצע של מספר גורמים אקראיים, בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, שואף לאחר נירמול מתאים להתפלגות נורמלית.

הקבוע e משמש גם כאן, כתוצאה מ'גידול המשכי' בהגדרת פעמון גאוס, כאשר הצמיחה הולכת וקטנה בתלות בצמיחה הקודמת, ובכך מגדירה את צורת העקומה.

הסתברות לזכייה של אדם המשתתף במספר רב של הגרלות

נניח שאדם מסוים משתתף באופן עקבי בהגרלות כך שבסופו של דבר הוא צפוי להשתתף ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} הגרלות. נניח שההסתברות של אותו אדם לזכות בהגרלה בודדת היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p={k\over n}} . לצורך הפשטות, נניח הנחה ריאלית ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,{0<k<1}} . הקבוע e משמש לחישוב הסתברות שאותו אדם יזכה מתוך כל ההגרלות שבהן ישתתף לפחות בהגרלה אחת. אם נניח שאין תלות בין התוצאות של ההגרלות וש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} הוא מספר מספיק גדול, אז ההסתברות שמשתתף מסוים לא יזכה באף אחת מההגרלות, קרובה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\frac{1}{e^k}} וההסתברות שאותו המשתתף יזכה לפחות באחת מההגרלות היא בקירוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\frac{1}{e^k}} .

החישוב:
אם משתתף מסוים משתתף ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} הגרלות, ההסתברות שהמשתתף לא יזכה באף אחת מן ההגרלות מחושבת כך:

• ההסתברות של האדם לזכות בִהגרלה מסוימת היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p={k\over n}} .
• ההסתברות שהאדם לא יזכה בהגרלה מסוימת היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-p=1 - {k\over n}} .
• כאמור בהנחה שאין תלות בתוצאות של כל ההגרלות, ההסתברות שהאדם לא יזכה באף אחת מ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} הגרלות שבהן השתתף היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(1 - {k \over n} \right) ^n } .
• כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} שואף לאינסוף ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k} נשאר קבוע, גבול ההסתברות שמשתתף מסוים לא יזכה באף אחת מההגרלות, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} שואף לאינסוף, הוא:

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{k \over n}\right)^{n}={\frac {1}{e^{k}}}$.

דוגמה:
נניח שאדם משתתף ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n=2,500} הגרלות, כשהסתברות הזכייה שלו בהגרלה בודדת היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p=10^{-4}} . בתנאים אלו, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k=np=0.25} . ההסתברות שלא יזכה באף אחת מההגרלות היא בקירוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\frac{1}{e^k}\cong 0.779} . ההסתברות שהאדם יזכה בהגרלה אחת לפחות היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,1-\frac{1}{e^k}\cong 0.221} .

בעיית הדוור

ערך מורחב – בלבול (קומבינטוריקה)

בעיה דומה לבעיה הקודמת, נתגלתה בידי פייר ריימונד דה מונטמורט יחד עם ברנולי, ונקראת בעיית הדוור, או בעיית 'בדיקת הכובעים':

דוור מבולבל מחלק באקראי n מכתבים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} תיבות. הקבוע e משמש לחישוב ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו.

את חישוב ההסתברות ניתן למצוא באמצעות עקרון ההכלה וההפרדה. מקבלים כי ההסתברות שווה לסכום הטור:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over 0!} - {1 \over 1!} + {1 \over 2!} - {1 \over 3!} + \cdots + {1 \over (n-1)!} - {1 \over n!}} .

טור זה הוא טור טיילור של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{-x}} בנקודה 1 (או טור טיילור של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{x}} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,-1} ). על כן, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n} שואף לאינסוף, שואף סכום הטור ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{e}} .

חישוב עצרת לערכים גדולים (נוסחת סטירלינג)

נוסחת סטירלינג נותנת קירוב לפונקציית העצרת. במשפט אודות העצרת נקבע כי עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} גדול, מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} . את המשפט מוכיחים בעזרת פונקציית גמא (המאפשרת ליצור הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם שלמים): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma (n+1) = \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} \,\mathrm{d}t} אשר עבור n טבעי מקיימת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma (n+1) = n!} .

כל מספר עצרת, מכפיל את כל המספרים הקודמים לו,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = n = (n-1) + 1 = a_{n-1} + 1}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x! = a_1 (a_1 + 1)((a_1 + 1)+1)...(((...a_1 + 1)+1)+...)}

וכך עצרת למעשה מהווה פונקציה הקשורה בגידול המשכי, ומכאן הקשר לקבוע e.

חישובים במדעי הטבע והחיים

בפיזיקה

הקבוע e משמש לחישוב דעיכת מהירות חלקיק בזמן, בעקבות חיכוך המשכי, על פי חוקי ניוטון.

לפי החוק השני של ניוטון, התאוטה (כלומר השינוי במהירות) של חלקיק הנע בהשפעת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו (כלומר כאשר כוח החיכוך תלוי במהירות הנוכחית), נקבע לפי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\mu v}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v} מהירות החלקיק, $\ m$ המסה שלו ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mu} מקדם החיכוך. המהירות החדשה, בהנחה שהמהירות ההתחלתית של החלקיק היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v_0} הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v(t)= v_0 e^{-\frac{\mu}{m} t}} .

כלומר, המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e} משמש לתיאור דעיכת מהירות החלקיק בזמן.

כמו כן, הקבוע משמש למדידת הדעיכה של זרם כפונקציה של זמן במעגל חשמלי במהלך טעינה או פריקה של קבל לפי נוסחה דומה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I(t)= I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_0} הוא הזרם ההתחלתי ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} הוא קבוע הזמן ששווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle RC} – הנגד השקול במעגל כפול הקיבול של הקבל השקול.

במדעי החיים והסביבה

הקבוע e משמש לחישוב הצמיחה והדעיכה של אוכלוסיות, צמחים, איברים ובעלי חיים, כאשר מדובר בתהליכי גידול המשכי. אלו קיימים במקרים רבים בעולם החי, כאשר תאים משכפלים את עצמם ומכפילים את כמותם בקצב קבוע, וגם כאשר התופעות הנמדדות אינן של הכפלה עצמית, אך קצב הצמיחה או הדעיכה שלהן תלוי באוכלוסייה הקודמת. בחישובים אלו, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g = ce^{f(x)}} מגדיר את הגדילה, כאשר

g הוא התוצר (growth),

c הוא קבוע כלשהו הקשור לקצב הגדילה, ובנוסף,

(f(x היא פונקציה המגדירה את מספר המחזורים וקצב הגדילה.

במדעי הסביבה, וכן בחישובי התפשטות מחלות במדעי הרפואה, במצבים של משאב מתכלה גידול האוכלוסייה בזמן נתון לפי עקומת גאוס, שנוסחתה תלויה בקבוע e, כאשר בתקופת הצמיחה האוכלוסייה צומחת בגידול המשכי, ואילו לאחר הרוויה היא דועכת באופן דומה.

במתמטיקה

כאמור, הקבוע e הוא המספר היחיד שאם מציבים אותו במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=a^x} וגוזרים את הפונקציה לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , תתקבל אותה פונקציה עצמה. במילים אחרות, השיפוע של הגרף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=e^x} בכל נקודה נתונה שווה בערכו לגובה הגרף באותה נקודה. בשל כך, הוגדר הלוגריתם הטבעי להיות לוגריתם בבסיס e, והוא בעל חשיבות גדולה בענפי מתמטיקה רבים, בהם חשבון אינפיניטסימלי, ובמיוחד לגבי מספרים מרוכבים – הצגת המספרים המרוכבים באופן גאומטרי, וחישובי פונקציות עם מספרים מרוכבים.

נוסחת אוילר וזהות אוילר

באמצעות הגדרתו במשפט טיילור של הקבוע e, ניתן להסיק את משפט אוילר הקובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{ix} = \cos x + i\sin x} לכל x שהוא.

המקרה הפרטי בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \pi} נקרא זהות אוילר, הקובעת כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i\pi} + 1 = 0} , וקושרת חמישה קבועים חשובים במתמטיקה: היחידה (המספר אחד), אפס, קבוע אוילר, פאי (היחס בין הקוטר להיקף המעגל) והיחידה המדומה (המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} ).

ייצוג גאומטרי של מספרים מרוכבים באמצעות הקבוע e

ערך מורחב – מספר מרוכב

בייצוג גאומטרי של מספרים מרוכבים במישור המרוכב, חיבור שקול לתזוזה במישור המרוכב בשיעור אחד המספרים, ותזוזה נוספת בשיעור המספר האחר. תוצאת פעולת הכפל היא מספר שגודלו הוא מכפלת הערכים המוחלטים של שני המספרים, והזווית שלו מחלקו החיובי של הציר האופקי ("ציר ה-x") היא סכום זוויות אלו של שני המספרים.

בנוסף, ניתן להגדיר כל מספר מדומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} באמצעות הגאומטריה במישור המרוכב:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \,} כאשר,

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} הוא הגודל המוחלט (ובשמות אחרים: המרחק, המקדם או המודולוס) של המספר המרוכב, והוא מסומן גם כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z|} .
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} הוא הפאזה (או הזווית או הארגומנט) שלו, ומסומן גם כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{arg}(z)} .

מכאן, לפי משפט אוילר, ניתן לייצג את אותו המשתנה z באמצעות הנוסחה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = r e^{i \varphi} \,}

בכיוון ההפוך, ניתן לעבור ליצוג המספרים המרוכבים דרך המתמטיקה של חזקות הקבוע e. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w = a +ib} הוא מספר מרוכב כלשהו, כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הם ממשיים, אז מגדירים, כמו במספרים הממשיים,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = e^w = e^{a+ib} = e^a e^{ib}}

ולכן מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = \ln |z|}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = \mathrm{arg}(z)}

בעקבות הזהות הזו, וכללי החזקה המתקיימים גם במספרים מרוכבים, ניתן להבין את הסיבה לפעולת החיבור בין הזוויות הנדרשת כדי לפתור פעולת כפל בין שני מספרים מרוכבים, כפי שמחברים את המעריכים כאשר שני מספרים בעלי אותו הבסיס (במקרה זה הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} ) מוכפלים זה בזה. באותו הזמן פעולת הכפל הרגילה נדרשת על מנת לבצע את מכפלת הערכים (המרחקים). באופן זה בייצוג הגאומטרי על המישור המרוכב, פעולות מכפלה של מספרים מרוכבים הופכות לפעולות סיבוב (רוטציה) ומתיחה (סקאליזציה).

קוריוזים מתמטיים

לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x \geqslant x^e} . זהו המספר היחיד המקיים תכונה זו.

בדומה לקירוב הידוע של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} ‏ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{355}{113}} , הנותן את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} בדיוק של 6 ספרות מימין לנקודה העשרונית, קיים הקירוב ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} :‏ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{878}{323} = 2.718266...} , הנותן את e בדיוק של 4 ספרות מימין לנקודה העשרונית.

המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^\pi} (או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^i} לפי זהות אוילר) ידוע כקבוע גלפונד, והטרנסצנדנטיות שלו נובעת ממשפט גלפונד-שניידר. על המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi^e} לא ידוע האם הוא אלגברי או טרנסצנדנטי.

e בפולקלור

למרות חשיבותו של הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} הוא פחות ידוע יחסית לקבוע π (פַּאי), המופיע רבות בפולקלור המתמטי. זריקת עידוד לפרסומו ניתנה על ידי חברת גוגל, שבהנפקת ניירות ערך הראשונה שלה, ציינה את סכום ההנפקה כ-$2,718,281,828, קירוב של e מיליארד דולר. שימוש נוסף שגוגל עשו במספר הוא פרסום מודעה גדולה בלב עמק הסיליקון הקוראת לגלוש לאתר שכתובתו "עשר הספרות הרצופות הראשונות במספר e היוצרות יחדיו מספר ראשוני" (התשובה מגיעה רק בספרה ה-101: 7427466391). מי שפתר את החידה נשלח לפתור חידה קשה יותר, ורק אז הגיע לאתר של Google Labs שם הוזמן לשלוח קורות חיים כדי להתקבל לעבודה אצלם.

מדען המחשב דונלד קנות' ממספר את הגרסאות של תוכנת Metafont כך שילכו ויתקרבו ל-e: גרסה 2, גרסה 2.7, גרסה 2.71, וכו'. נכון ל-2020, הגרסה היציבה האחרונה (מתאריך 2014-01-07) היא 2.7182818.

ראו גם

• בעיית שטיינר

לקריאה נוספת

• Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994. מסת"ב 0-691-05854-7

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא E בוויקישיתוף

• ממיליון ועד עשרה מיליון הספרות הראשונות של e
• e ומספרים טרנסצנדנטיים, סרטון באתר יוטיוב (באנגלית)
• ניסיון לתאר את זהות אוילר והקבוע e, באופן פשוט ומובן, סרטון באתר יוטיוב (באנגלית)
• קבוע אוילר, סרטון באתר יוטיוב
• E, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות של הקבוע e, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• ריבית דריבית והמספר e | החסכן המשקיען | פרק 4, סרטון בערוץ "דביר רוס", באתר יוטיוב

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36208916E (קבוע מתמטי)